1、第2课时线性规划的实际应用学 习 目 标核 心 素 养理解并初步运用线性规划的图解法解决一些实际问题(重点、难点)借助线性规划的实际应用，培养数学建模和直观想象素养.应用线性规划解决实际问题的类型思考：一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业投资和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，假设信贷部用于企业投资的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元那么x和y应满足哪些不等关系？提示分析题意，我们可得到以下式子1已知目标函数z2xy，且变量x，y满足约束条件则()Azmax12，zmin3Bzmax12，无最小值C
2、zmin3，无最大值Dz既无最大值又无最小值D画出可行域如图所示，z2xy，即y2xz在平移过程中的纵截距z既无最大值也无最小值2完成一项装修工程，请木工需付工资每人每天50元，请瓦工需付工资每人每天40元现有工人工资预算每天2 000元，设请木工x人，请瓦工y人，则请工人的约束条件是_答案3某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为_元36 800设租用A型车x辆，B型车y辆，租金为z元，则画出可行域(如图中阴影部分内的整
3、点)，则目标函数z1 600x2 400y在点(5，12)处取得最小值zmin36 800元线性规划的实际应用问题探究问题1某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元设投资甲、乙两个项目的资金分别为x、y万元，那么x、y应满足什么条件？提示2若公司对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，设该公司所获利润为z万元，那么z与x，y有何关系？提示根据公司所获利润投资项目甲获得的利润投资项目乙获得的利润，可得z与x，y的关系为z0.4x0.6y.3x，y应在什么条件下取值，x
4、，y取值对利润z有无影响？提示x，y必须在线性约束条件下取值x，y取不同的值，直接影响z的取值【例1】某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售已知生产每张书桌需要木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元. 怎样安排生产可使所获利润最大思路探究：可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题来求解解设生产书桌x张，生产书橱y个，利润为z元，则目标函数为z80x120y，根据题意知，约束条件为即画出可行域如图所示，作直线l：80x120y0，并平移直线l，由
5、图可知，当直线l过点C时，z取得最大值，解得C(100，400)，所以zmax8010012040056 000，即生产100张书桌，400个书橱，可获得最大利润(变结论)例题中的条件不变，如果只安排生产书桌可获利润多少？如果只安排生产书橱呢？解(1)若只生产书桌，则y0，此时目标函数z80x，由图可知zmax8030024 000，即只生产书桌，可获利润24 000元(2)若只生产书橱，则x0，此时目标函数z120y，由图可知zmax12045054 000，即只生产书橱，可获利润54 000元解答线性规划应用题的一般步骤(1)审题仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限
6、制条件，起关键作用的变量有哪些由于线性规划应用题中的变量比较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺(2)转化设元写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题(3)求解解这个纯数学的线性规划问题(4)作答就应用题提出的问题作出回答线性规划中的最优整数解问题【例2】某运输公司有7辆载重量为6吨的A型卡车，4辆载重量为10吨的B型卡车，有9名驾驶员在建筑某段高速公路的工程中，此公司承包了每天运送360吨沥青的任务已知每辆卡车每天往返次数为：A型车8次，B型车6次，每辆卡车每天往返的成本费为：A型车160元，B型车280元每天派出A型车与B型车各多少辆时，公司花的
7、成本费最低？思路探究：本题的线性约束条件及目标函数分别是什么？根据实际问题的需要，该题是否为整点问题？解设公司每天所花成本费为z元，每天派出A型车x辆，B型车y辆，则z160x280y, x，y满足的约束条件为作出不等式组的可行域，如图作直线l：160x280y0，即l：4x7y0.将l向右上方移至l1位置时，直线l1经过可行域上的M点，且此时直线与原点的距离最近，z取得最小值由方程组，解得.但y0.4不是整数，故取x7，y1，此时z取得最小值所以，当每天派出A型车7辆、B型车1辆时，公司所花费用最低寻找整点最优解的三种方法(1)平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整
8、点便是最优整点解， 这种方法应充分利用整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解(2)小范围搜寻法：即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来，代入目标函数，直接求出目标函数的最大(小)值(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再调整最优值，最后筛选出整点最优解某厂有一批长为18 m的条形钢板，可以割成1.8 m和1.5 m长的零件它们的加工费分别为每个1元和0.6元售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元问如何下料能获得最大利润解设割成的1.8 m和1.5 m长的零件分别为x个、y个，利润为z元，则z
9、20x15y(x0.6y)即z19x14.4y且作出不等式组表示的平面区域如图，又由解出x，y，所以M，因为x，y为自然数，在可行域内找出与M最近的点为(3，8)，此时z19314.48172.2(元)又可行域的另一顶点是(0，12)，z19014.412172.8(元)：过顶点(8，0)的直线使z19814.40152(元)M附近的点(1，10)，(2，9)，直线z19x14.4y过点(1，10)时，z163；过点(2，9)时z167.6.所以当x0，y12时，z172.8元为最大值答：只截1.5 m长的零件12个，可获得最大利润1画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的
10、，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范2在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，应结合可行域与目标函数微调.1判断正误(1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解()(2)当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，最优解可能有无数个()答案(1)(2)2一农民有基本农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为400公斤；若种花生，则每季每亩产量为100公斤，但水稻成本较高，每季每亩240元，而花生只需80元，且花生每公斤卖5元，稻米每公斤卖3元，现该农民手头有400元，那么获得最大收益为_元1 650设该农民种x亩水稻，y亩花生时能获
11、得利润z元，则即z960x420y，作出可行域如图阴影部分所示，将目标函数变形为yx，作出直线yx，在可行域内平移直线yx，可知当直线过点B时，z有最大值，由解得B，故当x1.5，y0.5时，zmax1 650元，故该农民种1.5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1 650元3某厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，这些产品分别需要在A，B，C，D四种不同的设备上加工，按工艺规定，产品甲和产品乙分别在各种设备上需要加工的台时数如下：设备产品ABCD甲2140乙2204已知各设备在计划期内有效台时数分别为12，8，16，12(1台设备工作1小时称为1台时)，该厂每生产一件甲产品可
12、得到利润2元，每生产一件乙产品可得到利润3元 ，若要获得最大利润，则生产甲产品和乙产品的件数分别为_4，2设在计划期内生产甲产品x件，乙产品y件，则由题意得约束条件为即作出可行域如图阴影部分所示，目标函数为z2x3y，由图可知当直线z2x3y经过点A时，z有最大值，解得即安排生产甲产品4件，乙产品2件时，利润最大4某工厂制造A种仪器45台，B种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m2，每张可作A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3 m2，每张可作A种仪器外壳6个和B种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)解设用甲种钢板x张，乙种钢板y张，依题意钢铁总面积z2x3y.作出可行域，如图所示由图可知当直线z2x3y过点P时，z最小由方程组得所以甲、乙两种钢板各用5张用料最省
