1、微专题(十一)含ex，ln x与x的组合函数的解题策略近几年高考压轴题常以x与ex，ln x组合的函数为基础来命制，将基本初等函数的概念，图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值)预计今后高考试题除了延续往年的命题形式，还会更着眼于知识点的巧妙组合，注重对函数与方程、转化与化归、分类整合和数形结合等思想的灵活运用，突出对数学思维能力和数学核心素养的考查策略一分离参数，设而不求例1已知函数f(x)ln x，h(x)ax(aR)(1)若函数f(x)的图象与h(x)的图象无公共点，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数m，
2、使得对任意的x，都有yf(x)的图象在g(x)的图象下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，请说明理由解析：(1)函数f(x)的图象与h(x)的图象无公共点，等价于方程a在(0，)上无解，令t(x)，则t(x)，令t(x)0，得xe.随着x的变化，t(x)，t(x)的变化如下表所示x(0，e)e(e，)t(x)0t(x)单调递增极大值单调递减因为xe是函数t(x)唯一的极值点，所以t(x)maxt(e)，故要使方程a在(0，)上无解，需满足a，故实数a的取值范围为.(2)假设存在实数m满足题意，则不等式ln x对任意的x恒成立，即mexxln x对任意的x恒成立令v(x)exxln x，
3、则v(x)exln x1，令(x)exln x1，则(x)ex.易知(x)在上单调递增，20且(x)的图象在上连续，所以存在唯一的x0，使得(x0)0，即0，则x0ln x0.当x时，(x)单调递减；当x(x0，)时，(x)单调递增则(x)在xx0处取得最小值，且最小值为(x0)ln x01x012110，所以v(x)0，即v(x)在上单调递增，所以mlnln 21.995 29，故存在整数m满足题意，且m的最大值为1.名师点评本题分离参数后导数零点不可求，且不能通过观察得到，此时往往可以采用设而不求的方法在第(2)小问中，通过虚设零点x0得到x0ln x0，将ln x01转化为普通代数式x0
4、1，然后使用基本不等式求出最值，同时消掉x0，即借助(x0)0作整体代换，采取设而不求的方法，达到化简并求解的目的变式练1证明exln x2.策略二分离ln x与ex例2已知函数f(x)ax2xln x.(1)若函数f(x)在(0，)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若ae，证明：当x0时，f(x)0时，f(x)0，即2a恒成立令g(x)(x0)，则g(x)，易知g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则g(x)maxg(1)1，所以2a1，即a.故实数a的取值范围是.(2)证明：若ae，要证f(x)xex，只需证exln xex，即exex0)，则h(x)，易知h(x)在上
5、单调递减，在上单调递增，则h(x)minh0，所以ln x0.再令(x)exex，则(x)eex，易知(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则(x)max(1)0，所以exex0.因为h(x)与(x)不同时为0，所以exex1时，不等式.策略三借助exx1和ln xx1进行放缩例3已知函数f(x)exa.(1)若函数f(x)的图象与直线l：yx1相切，求a的值；(2)若f(x)ln x0恒成立，求整数a的最大值解析：(1)f(x)ex，因为函数f(x)的图象与直线yx1相切，所以令f(x)1，即ex1，得x0，即f(0)1，解得a2.(2)现证明exx1，设F(x)exx1，则F
6、(x)ex1，令F(x)0，则x0，当x(0，)时，F(x)0，当x(，0)时，F(x)ln x，当a2时，ln x0恒成立当a3时，存在x，使exaln x不恒成立综上，整数a的最大值为2.名师点评利用exx1，ln xx1可将超越函数转化为一次函数，有效地降低了试题的难度变式练3已知函数f(x)ex，g(x)ln(xa)b.(1)若函数f(x)与g(x)的图象在点(0,1)处有相同的切线，求a，b的值；(2)当b0时，f(x)g(x)0恒成立，求整数a的最大值微专题(十一)变式练1证明：设f(x)exln x(x0)，则f(x)ex，令h(x)f(x)，h(x)ex0，f(x)在(0，)上
7、是增函数，又f20，函数f(x)在上存在极小值点x0且，即x0ln.f(x0)2，故f(x)2，即exln x2.变式练2解析：(1)f(x)，曲线yf(x)在点(e，f(e)处的切线斜率为.又切线与直线e2xye0垂直，可得f(e)，所以，a1，所以f(x)，f(x)(x0)，当0x0，f(x)为增函数；当x1时，f(x)0，f(x)为减函数所以x1是函数f(x)的极大值点又f(x)在(m，m1)上存在极值，所以m1m1，即0m变形为分别构造函数g(x)和h(x)，则g(x)，令(x)xln x，则(x)1.因为x1，所以(x)0，所以(x)在(1，)上是增函数，所以(x)(1)10，所以g(x)0，所以g(x)在(1，)上是增函数，所以x1时，g(x)g(1)2，故，h(x)，x1，1ex0.h(x)1时，h(x)h(x)，即.变式练3解析：(1)因为函数f(x)和g(x)的图象在点(0,1)处有相同的切线，所以f(0)g(0)且f(0)g(0)，解得a1，b1.(2)现证明exx1，设F(x)exx1，则F(x)ex1，当x(0，)时，F(x)0，当x(，0)时，F(x)ln(x2)，当a2时，ln(xa)ln(x2)0恒成立，当a3时，e00不恒成立故整数a的最大值为2.
