1、第6课时直线与双曲线的位置关系基础达标(水平一 )1.已知直线l过点(2,0),且与双曲线x2-y2=2仅有一个公共点,则这样的直线有().A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】点(2,0)即为双曲线的右顶点,过该点的直线有2条与双曲线渐近线平行且与双曲线仅有一个公共点,另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点,故这样的直线只有3条.【答案】C2.已知双曲线C:x2a2-y24=1的一条渐近线方程为2x+3y=0,F1、F2分别是双曲线C的左、右焦点,点P在双曲线C上,且|PF1|=2,则|PF2|等于().A.4B.6C.8D.10【解析】依题意,有2a=23,所以a=3,因为|
2、PF1|=2,所以点P在双曲线的左支上,所以|PF2|-|PF1|=2a,解得|PF2|=8,故选C.【答案】C3.已知点P(3,-4)是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)渐近线上的一点,E,F是左、右两个焦点,若EPFP=0,则双曲线的方程为().A.x23-y24=1B.x24-y23=1C.x29-y216=1D.x216-y29=1【解析】由题意知,点E(-c,0),F(c,0),则EPFP=(3+c,-4)(3-c,-4)=9-c2+16=0,所以c2=25.可排除A,B选项.又D选项中双曲线的渐近线方程为y=34x,点P不在渐近线上,排除D选项,故C正确.【答案】C4.若直
3、线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是().A.-153,153B.0,153C.-153,0D.-153,-1【解析】由y=kx+2,x2-y2=6,得(1-k2)x2-4kx-10=0.由题意得1-k20,=16k2+40(1-k2)0,4k1-k20,10k2-10,解得-153k0)右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点.则双曲线离心率的取值范围为.【解析】由题意可知5-a20,25-a2a23,从而45-a2a20,b0)的左焦点,定点A为双曲线虚轴的一个端点,过F
4、,A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B,若AB=3FA,则此双曲线的离心率为.【解析】因为F为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点,定点A为双曲线虚轴的一个端点,所以可设点F(-c,0),A(0,b),B(xB,yB),直线AF:y=bcx+b.由题意知,直线AF与渐近线y=bax相交.联立两直线y=bcx+b,y=bax,消去x,得yB=bcc-a.由AB=3FA,得yB=4b,所以bcc-a=4b,解得离心率e=43.【答案】437.从双曲线x2-y2=1上一点Q作直线x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程.【解析】设点P(x,y),Q(x0
5、,y0),则点N(2x-x0,2y-y0),代入x+y=2,得2x-x0+2y-y0=2.因为PQ垂直于直线x+y=2,所以y-y0x-x0=1,即x-y-x0+y0=0.由得x0=32x+12y-1,y0=12x+32y-1.由点Q(x0,y0)在双曲线x2-y2=1上,代入双曲线方程,得点P的轨迹方程为2x2-2y2-2x+2y=1.拓展提升(水平二)8.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0),若存在过右焦点F的直线与双曲线交于A,B两点,且AF=3BF,则该双曲线离心率的最小值为().A.2B.3C.2D.22【解析】因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A,B两点,且AF=3BF,
6、所以直线与双曲线相交只能交于左、右两支,即A在左支,B在右支.设点A(x1,y1),B(x2,y2),右焦点F(c,0),因为AF=3BF,所以c-x1=3(c-x2),即3x2-x1=2c.因为x1-a,x2a,所以-x1a,3x23a,所以3x2-x14a,即2c4a,ca2,即e2,故选C.【答案】C9.已知双曲线x22-y23=1上存在两点P,Q关于直线y=x+b对称,且PQ的中点M在直线2x+y-2=0上,则实数b的值为().A.-10B.-8C.-2D.2【解析】因为点P,Q关于直线y=x+b对称,所以线段PQ的垂直平分线的方程为y=x+b,所以直线PQ的斜率为-1.设直线PQ的方
7、程为y=-x+m,令点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM),由y=-x+m,x22-y23=1,得x2+4mx-2m2-6=0,所以xP+xQ=-4m,所以xM=-2m,所以点M(-2m,3m).又因为PQ的中点M在直线2x+y-2=0上,所以-4m+3m-2=0,解得m=-2,由PQ的中点M也在直线y=x+b上,得b=5m,所以b=-10,故选A.【答案】A10.连接双曲线x2a2-y2b2=1和y2b2-x2a2=1(其中a0,b0)的四个顶点的四边形的面积为S1,连接四个焦点的四边形的面积为S2,则当S1S2的值最大时,双曲线y2b2-x2a2=1的离心率为.【解析】由题
8、意可知S1=122a2b=2ab,S2=122c2c=2c2,S1S2=abc2=aba2+b2=1ba+ab12,当且仅当ba=ab,即a2=b2=c2-a2时等号成立,此时双曲线y2b2-x2a2=1的离心率为e=ca=2.【答案】211.直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A,B.(1)求实数k的取值范围.(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.【解析】(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.依题意,直线l与双曲线C的
9、右支交于不同两点,故k2-22,=(2k)2-8(k2-2)0,-2kk2-20,2k2-20,解得-2k-2.(2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由式得x1+x2=2k2-k2,x1+x2=2k2-2.假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0).则由FAFB,得(x1-c)(x2-c)+y1y2=0,即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0.把式及c=62代入式,化简得5k2+26k-6=0,解得k=-6+65或k=6-65(舍去).可知当k=-6+65时使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F.
