1、秘密启用前“超级全能生”2021高考全国卷地区1月联考乙卷数学(理科)注意事项:1.本试题卷共4页,满分150分,考试时间120分钟。2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题卷上无效。4.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡。上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。5.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合AxR|2x10,则ABA.(1,2) B.(1,2) C.(2
2、,) D.1,22.已知0(i为虚数单位),则实数a等于A.1 B.0 C.1 D.13.若,(,),则sin()A. B. C. D.4.如图,大正方形ABCD边长为8,其内有一心形曲线,由两个半圆和关于对称轴EF对称的两段半个周期上的余弦曲线围成,且余弦曲线两端点恰为曲线的最高点和最低点,则在大正方形ABCD内任取一点,该点取自心形曲线内部的概率为A. B. C. D.5.若定义在R上的函数f(x)在(,1上单调递减。若f(x)f(2x),且f(4)0,则不等式0的解集为A.4,13,) B.4,1(0,1C.4,02,) D.1,0)5,)6.已知非零向量a,b满足|a|b|ab|1,c
3、2ab,则cosA.0 B. C. D.7.如图,粗线画出的是某几何体的三视图,则在该几何体侧面,从A到B的最短路径长为A.2 B.3 C.4 D.8.为了落实“精准扶贫”工作,某市抽调4名工作人员,去A,B,C三个贫困村开展驻点帮扶。若每个村至少去1人,则不同的分配方法种数为A.24 B.36 C.42 D.489.已知数列an中,a11,1(nN*),若,则mA.8 B.9 C.10 D.1110.在由三棱柱截得的几何体ABCA1B1C1中,CC1平面ABC,AB上AC,AA12,BB1CC11,AC2,点D,E,F分别是棱B1C1,A1C1,BB1的中点。若直线A1D与EF所成角的余弦值
4、为,则ABA.1 B.2 C. D.411.已知抛物线y28x的焦点为F,过点F斜率为的直线l交该抛物线于A,B(A在第一象限),直线l与圆x2y24x30交于点C,D(C在第一象限),O为坐标原点,则OAC与OBD的面积之比为A.8:3 B.5:3 C.21:5 D.7:112.已知函数f(x)是定义域为(,0)(0,)的偶函数。当x0时,函数f(x),若关于x的方程f2(x)af(x)b0(a,bR)有且仅有6个不同实数根,则实数a的取值范围是A.(,) B.(,2) C.(x,) D.(2,)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在声学中,用声压水平(单位:分贝)来度量声
5、音的强弱,定义为Lp20lg。其中,p0是听觉下限阈值20 Pa,p是实际声压。假设第一次测得声音的强度是10分贝,第二次测得声音的强度是100分贝,则第二次与第一次的声压比值约为 。(104.531623,2.1544,1.414,2.2361)14.设正项等比数列an的前n项和为Sn,且a6a2a5,S37,设a1a2an,则的值为 。15.如图所示,直角三角形的三边勾股弦的长分别为a,b,c,以边长为a,b,c的三边分别向外作相似的图形,其面积分别为S2,S3,S1。试猜想这些图形的面积S1,S2,S3满足的关系式为 。16.双曲线的光学性质:从双曲线一个焦点发出的光,经过双曲线反射后,
6、反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。已知双曲线E:(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2沿倾斜角120出发的光线,经双曲线右支反射,若反射光线的倾斜角为30,则该双曲线的离心率为 。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22,23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)20152019年,全国从事节能服务业务的企业数量逐年上升,但增速缓慢。根据中国节能协会发布的2019节能服务产业发展报告,截至2019年底,全国从事节能服务的企业数量统计如表所示:(I)作出散点图,并
7、根据散点图说明全国从事节能服务的企业数量与时间的相关关系;(II)令xt2017,求y关于x的回归直线方程;(III)预测2021年,全国从事节能服务的企业数量约为多少家?附:回归直线中斜率和截距的最小二乘法估计公式为。18.(12分)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若4ccos2b2(abcosAacosB)。(I)求C;(II)若c4,求ABC的面积的最大值。19.(12分)已知五边形PABCD是平面图形(如图1),四边形ABCD是矩形,PAPD,PAPD。现在沿AD折叠PAD,使得PAB90,得到四棱锥PABCD(如图2)。(I)求证:PD平面PAB;(II)若二面角A
8、PBC的余弦值为,求的值。20.(12分)已知椭圆E:与圆x2y22相切于长轴的端点,且离心率为。(I)求椭圆E的方程;(II)已知F是椭圆E的右焦点,设ABC的顶点A,B在椭圆上,角C的平分线与x轴重合,若,且AB与x轴不垂直,求点C的坐标。21.(12分)已知函数f(x)ex2x。(I)当xcosx;(II)若函数g(x)f(x)cosxln(x1),试问:函数g(x)是否存在极小值?若存在,求出极小值;若不存在,请说明理由。(二)选考题:共10分。请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时,请用2B铅笔在答题卡。上将所选题号后的方框涂黑。22.选修44:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l与极轴交于点N,且动点M满足|MN|1。(I)求直线l的极坐标方程和点M的轨迹的极坐标方程C;(II)若直线(R)分别交直线l、曲线C于点A,B(非极点),求的值。23.选修45:不等式选讲(10分)设函数f(x)|x1|x1|。(I)求不等式f(x)3的解集;(II)若f(x)xt对任意xR恒成立,求实数t的取值范围。