1、空间向量及其运算【例1】(1)在空间四边形OABC中，其对角线为OB，AC，M是OA的中点，G为ABC的重心，用基向量，表示向量.(2)已知三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)求以AB，AC为边的平行四边形的面积若|a|，且a分别与，垂直，求向量a的坐标解(1)如图，连接AG并延长交BC于点D.D为BC的中点，()G为ABC的重心，()，又，()(2)M为OA的中点，.(2).(2)由题意，可得(2，1,3)，(1，3,2)，所以cos，所以sin，所以以AB，AC为边的平行四边形的面积为S2|sin，147.设a(x，y，z)，由题意，得，解得或.所以向量a的坐标为(1,
2、1,1)或(1，1，1)(1)向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.(2)熟记空间向量的坐标运算公式,设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)， 加减运算：ab(x1x2，y1y2，z1z2). 数量积运算：abx1x2y1y2z1z2. 向量夹角：cosa，b. 向量长度：设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，则r(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2).提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算.1已知a(5,3,1)，b，若a与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围
3、解由已知ab5(2)3t13t.因为a与b的夹角为钝角，所以ab0，即3t0，所以t.若a与b的夹角为180，则存在0，使ab，即(5,3,1)，所以所以t，故t的范围是.利用空间向量证明平行、垂直问题【例2】四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：(1)PC平面EBD；(2)平面PBC平面FCD.证明如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设DCa，PDb，则D(0,0,0)，C(a,0,0)，B(a，a,0)，P(0,0，b)，E.(1)，(a，a,0)设平面EBD的一个法向量为n(x，y，z)，则即令
4、x1，得n，因为n(a,0，b)0，所以n，故PC平面EBD.(2)由题意得平面PDC的一个法向量为(0，a,0)，又(a，a，b)，(a,0，b)，设平面PBC的一个法向量为m(x1，y1，z1)，则即得y10，令x11，则z1，所以m，因为m(0，a,0)0，所以m，即平面PBC平面PCD.(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.(2)证明线面平行的方法 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线. 利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.(3)证明面面平行的方法 转化为线线平行、线面平
5、行处理. 证明这两个平面的法向量是共线向量.(4)证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直.(5)证明线面垂直的方法 证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量. 证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直.(6)证明面面垂直的方法 转化为证明线面垂直.证明两个平面的法向量互相垂直.2如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别在BB1，DD1上，且AMA1B，ANA1D.(1)求证：A1C平面AMN.(2)当AB2，AD2，A1A3时，问在线段AA1上是否存在一点P使得C1P平面AMN，若存在，试确定P的位置解(1)因为CB平面AA1B1B，AM平面AA1B1
6、B，所以CBAM，又因为AMA1B，A1BCBB，所以AM平面A1BC，所以A1CAM，同理可证A1CAN，又AMANA，所以A1C平面AMN.(2)以C为原点，CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，因为AB2，AD2，A1A3，所以C(0,0,0)，A(2,2,0)，A1(2,2,3)，B(0,2,0)，D(2,0,0)，C1(0,0,3)，因为M，N分别在BB1，DD1上，所以设N(2,0，z)，M(0,2，y)，则(2,0，y)，(0，2，z)，(2,0，3)，(0，2，3)，因为AMA1B，ANA1D，所以解得所以，由(1)知A1C平面AMN
7、.设平面AMN的法向量n(x，y，z)，则取z3，得n(2,2,3)，设线段AA1上存在一点P(2,2，t)，使得C1P平面AMN，则(2,2，t3)，因为C1P平面AMN，所以n443t90，解得t.所以P，所以线段AA1上存在一点P，使得C1P平面AMN.利用空间向量求角【例3】如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADDC，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M为PC的中点，PAPD2，BCAD1，CD.(1)求证：PQAB；(2)求二面角PQBM的余弦值解(1)在PAD中，PAPD，Q为AD的中点，所以PQAD.因为平面PAD底面ABCD，且平面PAD底
8、面ABCDAD，所以PQ底面ABCD.又AB平面ABCD，所以PQAB.(2)在直角梯形ABCD中，ADBC，BCAD，Q为AD的中点，所以四边形BCDQ为平行四边形因为ADDC，所以ADQB.由(1)，可知PQ平面ABCD，故以Q为坐标原点，建立空间直角坐标系Qxyz如图所示，则Q(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0，)，C(1，0)，B(0，0)，(0，0)因为AQPQ，AQBQ，所以AQ平面PQB，即为平面PQB的一个法向量，且(1,0,0)因为M是棱PC的中点，所以点M的坐标为，所以.设平面MQB的法向量为m(x，y，z)，则，即，令z1，得x，y0，所以m(，0,1)，所以c
9、os，m.由题意，知二面角PQBM为锐角，所以二面角PQBM的余弦值为.用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角范围为090，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面所成的角，先求这个平面的法向量n与直线a的方向向量a的夹角的余弦cosn，a，再利用公式sin |cosn，a|，求.(3)二面角：如图，有两个平面与，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面与所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角3(2019全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点
10、E在棱AA1上，BEEC1.(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，求二面角BECC1的正弦值解(1)由长方体ABCDA1B1C1D1可知B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，B1C1BE，又因为BEEC1，EC1C1B1C1，EC1平面EB1C1，C1B1面EB1C1，BE平面EB1C1.(2)以CD，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，设AEA1E1，BE面EB1C1，BEEB1，AB1，设E(1,1,1)，A(1,1,0)，B1(0,1,2)，C1(0,0,2)，BCEB1，EB1面EBC，故可取平面EBC的法向量为m(1,0,1)设平面
11、ECC1的法向量为n(x，y，z)，由可得令x1，则n(1，1,0)，cosm，n，故二面角BECC1的正弦值为.数学思想在向量中的应用【例4】如图所示，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点，N为BC的中点(1)证明：直线MN平面OCD；(2)求异面直线AB与MD所成角的大小解作APCD于点P，分别以AB，AP，AO所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，P，D，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N.(1)证明：，.设平面OCD的法向量为n(x，y，z)，由n0，n0，
12、得令z，得n(0,4，)n04(1)0，n.又MN平面OCD，MN平面OCD.(2)设异面直线AB与MD所成的角为.(1,0,0)，cos，.与所成的角为.故异面直线AB与MD所成的角.空间向量的具体应用主要体现为两种方法向量法和坐标法.这两种方法的思想都是利用空间向量表示立体图形中的点、线、面等元素，建立立体图形和空间向量之间的联系，然后进行空间向量的运算，最后把运算结果回归到几何结论.这样就把立体几何问题转化为为空间向量来研究，体现了化归与转化思想.4在直角梯形ABCD中，ADBC，BC2AD2AB2，ABBC，如图所示，把ABD沿BD翻折，使得平面ABD平面BCD.(1)求证：CDAB.
13、(2)若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离(3)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为60？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解(1)证明：在直角梯形ABCD中，ADBC，BC2AD2AB2，ABBC，所以ADAB，BD2，DBCADB45，CD2，所以BD2CD2BC2，所以CDBD.因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，CD平面BCD，所以CD平面ABD，又AB平面ABD，所以CDAB.(2)由(1)知CDBD.以点D为原点，DB所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，过点D作垂直于平面BCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示
14、，由已知得A(1，0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0，0)，M(1,1,0)，所以(0，2,0)，(1,0，1)，(1,1,0)设平面ACD的一个法向量为n(x，y，z)，则n0，n0，即令x1，得z1，y0，则平面ACD的一个法向量为n(1,0，1)，所以点M到平面ACD的距离为d.(3)假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为60.设(01)，N(a，b,0)，则(a2，b,0)(2,2,0)，所以N(22，2，0)，(12，2，1)又平面ACD的一个法向量为n(1,0，1)，且直线AN与平面ACD所成的角为60，所以sin 60，即，可得82210，解得或(舍去)综上所述，在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为60，此时.
