1、补充一、空间直角坐标系与空间向量的坐标运算【知识精讲】一、 空间直角坐标系：1。坐标系的建立：一般作空间直角坐标系O-xyz时，使xOy=135（或45），yOz=90A(x,y,z)okaxyizjPQR让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，中指能指向z轴的正方向，则称为右手直角坐标系。这本书中都是右手直角坐标系。空间的一任点A，过点A作Z轴的平行线交平面XOY于点P，过点P分别作X、Y轴的平行线分别交X、Y轴于点Q、R，则有向线段OQ=x、OR=y、PA=z分别叫做点A的横坐标、纵坐标和竖坐标，记作A（x,y,z）ABzyxB1C1D1F1CDE1A1如：对于棱长为a的正方体建立如
2、图的坐标系，分别求点八个顶点及中心O的坐标和棱上的中点 的坐标。2空间直角坐标系下的中点坐标、线段的定比分点坐标、两点间的距离公式等等都可由平面直角坐标系中的公式移植而得到，若，则AB的中点M；若，P；例1。知A(3，3，1)，B(1，0，5)，求：（1）线段AB的中点坐标和长度（2）到A、B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件。二、 空间向量的坐标形式和运算：1空间向量的坐标形式：在空间直角坐标系O-xyz中的X、Y、Z轴正向上分别取单位向量，j，k，则对于任意一个空间向量a，存在唯一的实数组（x，y，z）使a= x+yj+zk有序数组（x，y，z）叫空间向量a在空间
3、直角坐标系O-xyz中的坐标。特别地，空间向量a的起点为坐标原点时a，这里A（x，y，z）2空间向量的坐标运算：设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2）则a+b=() ；a-b=() ；a=（x1，y1，z1）（R）；ab=ab（R）；ab =0设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）则（x2，y2，z2）-（x1，y1，z1）=( )。即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。3、夹角和距离公式设a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3）则 (夹角)例2。已知a=（2，-3，5），b=（-3，1，-4）求a+b, a-b
4、,8 a ,ab.例3。如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1，E,F分别是BB1、CD的中点。求证D1F平面ADE例4。在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求BE1与DF1所成的角的余弦值。例5。例6已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,AB=5,AD=3,AA1=7,BAD=600, BAA1=DAA1=450，求AC1的长。如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记为如果，那么向量a叫做平面的法向量向量位置与立体几何中位置对照:(1)AB/CD 线线角即为两向量的夹角或其补角线面角即为线所在向量与面的法向量的夹角的余角或再减900面面角即为两面的法向量的夹角或其补角距离可通过求在法向量上投影的长度得到【课堂小结】1、空间直角坐标系的建立： 2、空间中点的坐标的表示： 3、空间向量的坐标形式： 4、空间向量的坐标运算：5、异面直线所成角的向量计算
