1、第九章单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题中只有一项符合题目要求)1若直线l1：kxy30和l2：x(2k3)y20互相垂直，则k等于()A3B2C或1 D.或1答案A解析依题意，得直线l1和l2垂直的充要条件是k(2k3)0，即k3.2直线xy50与圆C：x2y22x4y40相交所截得的弦长等于()A1 B2C3 D4答案B解析圆C：x2y22x4y40，即(x1)2(y2)29，其圆心C(1,2)到直线xy50的距离d2，所以截得的弦长l22.3圆C1：x2y22y0，C2：x2y22x60的位置关系为()A外离 B外切C相交 D内切答案D解析配方得圆C1：x
2、2(y1)21，圆心C1(0,1)，半径r11.圆C2：(x)2y29，圆心C2(，0)，半径r23，而|C1C2|2r2r1，则两圆的位置关系为内切4若双曲线1的渐近线与圆(x3)2y2r2(r0)相切，则r()A. B2C3 D6答案A解析双曲线1的渐近线方程为yx，因为双曲线的渐近线与圆(x3)2y2r2(r0)相切，故圆心(3,0)到直线yx的距离等于r，即r.5若曲线ax2by21为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足()Aa2b2 B.C0ab D0b0，则0a0)中p的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离又p，故选D.7已知双曲线1的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，且双曲线的
3、离心率等于，则该双曲线的方程为()Ax21 B.y21Cx2y21 D.1答案B解析抛物线y24x的焦点为(，0)，所以双曲线1中c，所以a3，b1，所求方程为y21，故选B.8已知抛物线y22px(p0)与双曲线1有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为()A. B.1C.1 D.答案B解析由抛物线与双曲线的焦点相同，得c.又A是两曲线的交点，且AFx轴，则两曲线的半通径相等，得p.由，消去p，得b22ac.又c2a2b2，c2a22ac0.又双曲线的离心率e1，e22e10，e1.9直线4kx4yk0与抛物线y2x交于A，B两点，若|AB|4，则弦AB的中点到直线
4、x0的距离等于()A. B2C. D4答案C解析直线4kx4yk0，即yk(x)，可知直线4kx4yk0过抛物线y2x的焦点(，0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x24.故x1x2，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x0的距离是.10.如图所示，过抛物线x24py(p0)焦点的直线依次交抛物线与圆x2(yp)2p2于点A，B，C，D，则的值是()A8p2 B4p2C2p2 Dp2答案D解析|AF|pyA，|DF|pyB，|yAyBp2.因为，的方向相同，所以|yAyBp2.11已知点M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，分别过点M，
5、N且与圆C相切的两条直线相交于点P，则点P的轨迹方程为()Ax21(x1) Bx21(x0)Cx21(x0) Dx21(x1)答案A解析如图，设两切线分别与圆切于点S，T，则|PM|PN|(|PS|SM|)(|PT|TN|)|SM|TN|BM|BN|22a，所以所求曲线为双曲线的右支且不能与x轴相交，a1，c3，所以b28，故点P的轨迹方程为x21(x1)12已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A2 B3C. D.答案B解析设出直线AB的方程，用分割法表示出ABO的面积，将SABOSAFO表示为某一变量
6、的函数，选择适当方法求其最值设直线AB的方程为xnym(如图)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，2，x1x2y1y22.又yx1，yx2，y1y22.联立得y2nym0.y1y2m2，m2，即点M(2,0)又SABOSAMOSBMO|OM|y1|OM|y2|y1y2，SAFO|OF|y1|y1，SABOSAFOy1y2y1y123.当且仅当y1时，等号成立二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13过点A(1,0)且与直线2xy10平行的直线方程为_答案2xy2014已知正方形ABCD，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为_答案1解析令|AB|2
7、，则|AC|2.在椭圆中，c1,2a22a1.可得e1.15已知以yx为渐近线的双曲线D：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为双曲线D右支上任意一点，则的取值范围是_答案解析依题意，|PF1|PF2|2a，|PF1|PF2|2c，所以0.又双曲线的渐近线方程yx，则.因此e2，故0b0)和圆O：x2y2b2，若C上存在点P，使得过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，满足APB60，则椭圆C的离心率的取值范围是_答案，1)解析OAAP，由APB60，知OPA30.|OP|2|OA|2b.设P(x，y)，则消去x，得y2.由y20，得a24b20.即a24(a2c2)0，e.又
8、e1，故椭圆C的离心率的取值范围是，1)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)过点P(3,0)作一条直线，使它夹在两直线l1：2xy20和l2：xy30间的线段AB恰好被P平分，求此直线的方程答案8xy240解析若直线AB无斜率，则其方程为x3，它与两直线的交点分别为(3,4)，(3，6)，这两点的中点为(3，1)不是点P，不合题意所以直线AB必有斜率，设为k(k2且k1)，则直线AB的方程为yk(x3)由解得y1.由解得y2.据题意0，即0，解得k0或8.当k0时，它与两直线的交点分别为(1,0)，(3,0)，这两点的中点并不是
9、点P，不符合题意，舍去当k8时，它与两直线的交点分别为(，)，(，)，这两点的中点是点P，符合题意直线AB的方程为y8(x3)，即8xy240.18(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线xy4相切(1)求圆O的方程；(2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆O内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求的取值范围答案(1)x2y24(2)2,0)解析(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线xy40的距离，即r2，得圆O的方程为x2y24.(2)不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，x1x2.由x24，即得A(2,0)，B(2,0)设P(x，y)，由|PA|，|
10、PO|，|PB|成等比数列，得x2y2，即x2y22.(2x，y)(2x，y)x24y22(y21)由于点P在圆O内，故由此得y22)，其离心率为，故，解得a4.故椭圆C2的方程为1.(2)方法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24.所以x.将ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x.又由2，得x4x，即，解得k1.故直线AB的方程为yx或yx.方法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共
11、线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24.所以x.由2，得x，y.将x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k1.故直线AB的方程为yx或yx.20(本小题满分12分)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C经过A(7,5)，B(1，1)两点(1)求双曲线C的方程；(2)设直线l：yxm交双曲线C于M，N两点，且线段MN被圆E：x2y212xn0(nR)三等分，求实数m，n的值答案(1)2y2x21(2)m2，n26解析(1)设双曲线C的方程是x2y21，依题意有解得所以所求双曲线的方程是2y2x21.(2)将l：yxm代入2y2x
12、21，得x24mx(2m21)0.(4m)24(2m21)8m240.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则x1x24m，x1x22m21.所以x02m，y0x0mm，所以P(2m，m)又圆心E(6,0)，依题意kPE1，故1，即m2.将m2代入式，得x28x70，解得x11，x27.所以|MN|x1x2|6.故直线l截圆E所得弦长为|MN|2.又E(6,0)到直线l的距离d2，所以圆E的半径r.所以圆E的方程是(x6)2y210.所以m2，n26.21(本小题满分12分)(2014陕西理)如图，曲线C由上半椭圆C1：1(ab0，y0)和部分抛物线C2：yx21(
13、y0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若APAQ，求直线l的方程答案(1)a2，b1(2)8x3y80解析(1)在C1，C2的方程中，令y0，可得b1，且A(1,0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点设C1的半焦距为c，由及a2c2b21，得a2.a2，b1.(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为x21(y0)易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为yk(x1)(k0)，代入C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)设点P的坐标为(xP，yP)，直线l过点B
14、，x1是方程(*)的一个根由求根公式，得xP，从而yP.点P的坐标为.同理，由得点Q的坐标为(k1，k22k)(k，4)，k(1，k2)APAQ，0，即k4(k2)0.k0，k4(k2)0，解得k.经检验，k符合题意故直线l的方程为8x3y80.22(本小题满分12分)已知抛物线C：y24x，点M(m,0)在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A，B两点，O为坐标原点(1)若m1，且直线l的斜率为1，求以线段AB为直径的圆的方程；(2)问是否存在定点M，不论直线l绕点M如何转动，使得恒为定值答案(1)(x3)2(y2)216(2)存在M(2,0)使其恒为定值解析(1)设A，B两点坐标为A(x
15、1，y1)，B(x2，y2)，AB中点P的坐标为P(x0，y0)由题意，得M(1,0)，直线l的方程为yx1.由得x26x10.则x1x26，x1x21，且x03，y0x012.故圆心为P(3,2)，直径|AB|x1x2|8.以AB为直径的圆的方程为(x3)2(y2)216.(2)若存在这样的点M，使得恒为定值，设直线l的方程为xkym.由得y24ky4m0.于是y1y24k，y1y24m.又|AM|2y(1k2)，|BM|2y(1k2)，().要与k无关，只需1，即m2，进而.存在定点M(2,0)，不论直线l绕点M如何转动，恒为定值.1已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x4y4
16、0与圆C相切，则圆C的方程为()Ax2y22x30 Bx2y24x0Cx2y22x30 Dx2y24x0答案D解析设圆心C(a,0)(a0)，由2，得a2.故圆的方程为(x2)2y24，即x2y24x0.2已知在ABC中，点A，B的坐标分别为(，0)，B(，0)，点C在x轴上方(1)若点C坐标为(，1)，求以A，B为焦点且经过点C的椭圆的方程；(2)过点P(m,0)作倾斜角为的直线l交(1)中曲线于M，N两点，若点Q(1,0)恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值答案(1)1(2)m解析(1)设椭圆方程为1，c，2a|AC|BC|4，b，所以椭圆方程为1.(2)直线l的方程为y(xm)，令M
17、(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程解得3x24mx2m240.若Q恰在以MN为直径的圆上，则1，即m21(m1)(x1x2)2x1x20,3m24m50，解得m.3(2015山东潍坊一模)已知椭圆C：1，过原点O的动直线与椭圆C交于A，B两点若点P满足|PA|PB|，求证：为定值答案定值为2解析由|PA|PB|，知P在线段AB的垂直平分线上由椭圆的对称性可知A，B关于原点对称(1)若A，B在椭圆的短轴顶点上，则点P在椭圆的长轴顶点上，此时2()2.同理若点A，B在椭圆的长轴顶点上，则点P在短轴顶点上，此时2()2.(2)当点A，B，P不是椭圆顶点时，设直线l的方程为ykx(k0)，则直线OP的方程为yx，设A(x1，y1)，由解得x，y.所以|OA|2|OB|2xy.用代换k，得|OP|2.所以2.综上，为定值2.
