1、第四讲 数学归纳法证明不等式4.1 数学归纳法A级基础巩固一、选择题1用数学归纳法证明：123(2n1)(n1)(2n1)时，在验证n1成立时，左边所得的代数式为()A1B13C123 D1234解析：当n1时左边所得的代数式为123.答案：C2设f(n)1(nN*)，则f(n1)f(n)等于()A. B.C. D.解析：因为f(n)1，所以f(n1)1，所以f(n1)f(n).答案：D3已知a1，an1，猜想an等于()A. B.C. D.解析：a2，a3，a4，猜想an.答案：D4一个与自然数n有关的命题，当n2时命题成立，且由nk时命题成立推得当nk2时命题也成立，则()A该命题对于n2
2、的自然数n都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与k取什么值无关D以上答案都不对解析：由题意当n2时成立可推得n4，6，8，都成立，因此该命题对所有正偶数都成立答案：B5记凸k边形的内角和为f(k)，则凸(k1)边形的内角和f(k1)等于f(k)加上()A2 BC. D.解析：从nk到nk1时，内角和增加.答案：B二、填空题6当f(k)1，则f(k1)f(k)_解析：f(k1)1，所以f(k1)f(k).答案：7观察下列等式：132332，13233362，13233343102，根据上述规律，猜想132333435363_解析：已知等式可写为：132332(12)2，13233
3、362(123)2，13233343102(1234)2，根据上述规律，猜想132333435363(126)2212.答案：2128已知平面上有n(nN*，n3)个点，其中任何三点都不共线，过这些点中任意两点作直线，设这样的直线共有f(n)条，则f(3)_，f(4)_，f(5)_，f(n1)f(n)_解析：当nk时，有f(k)条直线当nk1时，增加的第k1个点与原k个点共连成k条直线，即增加k条直线，所以f(k1)f(k)k.又f(2)1，所以f(3)3，f(4)6，f(5)10，f(n1)f(n)n.答案：3610n三、解答题9在用数学归纳法证明，对任意的正偶数n，均有12成立时(1)第一
4、步检验的初始值n0是什么？(2)第二步归纳假设n2k(kN*)时等式成立，需证明n为何值时，等式成立(3)若第二步归纳假设nk(k为正偶数)时等式成立，需证明n为何值时，等式成立解：(1)n0为2，此时左边为1，右边为2.(2)假设n2k(kN*)时，等式成立，就需证明n2k2(即下一个偶数)时，等式也成立(3)若假设nk(k为正偶数)时，等式成立，就需证明nk2(即k的下一个正偶数)时，等式也成立10用数学归纳法证明n35n能被6整除证明：(1)当n1时，左边13516，能被6整除，结论正确(2)假设当nk时，结论正确，即k35k能被6整除则(k1)35(k1)k33k23k15k5k35k
5、3(k2k2)k35k3(k1)(k2)，因为k35k能被6整除，(k1)(k2)必为偶数，3(k1)(k2)能被6整除，因此，k35k3(k1)(k2)能被6整除即当nk1时结论正确根据(1)(2)可知，n35n对于任何nN都能被6整除B级能力提升1用数学归纳法证明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)时，从“nk到nk1”左端需乘以的代数式为()A2k1 B2(2k1)C. D.解析：当nk时，等式为(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)当nk1时，左边(k1)1(k1)2(k1)k(k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)比较nk和nk1时等式的左边
6、，可知左端需乘以2(2k1)答案：B2用数学归纳法证明34n152n1(nN)能被14整除，当nk1时，对于34(k1)152(k1)1应变形为_解析：34(k1)152(k1)134k552k38134k12552k18134k18152k15652k181(34k152k1)5652k1答案：81(34k152k1)5652k13平面内有n(n2，nN*)条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，那么这n条直线的交点个数f(n)是多少？并证明你的结论解：当n2时，f(2)1；当n3时，f(3)3；当n4时，f(4)6.因此猜想f(n)(n2，nN*)下面利用数学归纳法证明：(1)当n2时，两条相交直线有一个交点，又f(2)2(21)1.所以n2时，命题成立(2)假设当nk(k2且kN*)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)k(k1)，当nk1时，其中一条直线记为l，剩下的k条直线为l1，l2，lk.由归纳假设知，剩下的k条直线之间的交点个数为f(k).由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线l与l1，l2，l3，lk的交点共有k个，所以f(k1)f(k)kk，所以当nk1时，命题成立由(1)(2)可知，命题对一切nN*且n2时成立
