1、模块综合评价(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1在极坐标系中,圆sin 的圆心的极坐标是()A.B(1,0)C. D.解析:将圆的极坐标方程sin 化成直角坐标方程为x2,可知圆心的直角坐标为,化为极坐标为.答案:C2在极坐标系中,过点且与极轴平行的直线方程是()A2 BCcos 2 Dsin 2解析:极坐标为的点的直角坐标为(0,2),过该点且与极轴平行的直线的方程为y2,其极坐标方程为sin 2.答案:D3在同一坐标系中,将曲线y2sin x变为曲线ysin 2x的伸缩变换是()A. B.
2、C. D.解析:设则ysin 2x,即ysin 2x,所以解得答案:B4若曲线C的参数方程为(t为参数),则下列说法中正确的是()A曲线C是直线且过点(1,2)B曲线C是直线且斜率为C曲线C是圆且圆心为(1,2)D曲线C是圆且半径为|t|解析:曲线C的参数方程为(t为参数),消去参数t得曲线C的普通方程为xy20.该方程表示直线,且斜率是.把(1,2)代入,成立,所以曲线C是直线且过点(1,2)答案:A5点M的极坐标是,它关于直线的对称点坐标是()A. B.C. D.解析:当0时,它的极角应在反向延长线上如图,描点时,先找到角的终边,又因为2b0)在极坐标系中,直线l的极坐标方程为cos,若直
3、线l与x轴、y轴的交点分别是椭圆C的右焦点、短轴端点,则a_.解析:椭圆C的普通方程为1(ab0),直线l的直角坐标方程为xy0,令x0,则y1,令y0,则x,所以c,b1,所以a2314,所以a2.答案:2三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(为参数)试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标解:因为直线l的参数方程为(t为参数),由xt1,得tx1,代入y2t,得到直线l的普通方程为2xy20.同理得到曲线C的普通方程为y22x.联立方程组
4、解得公共点的坐标为(2,2),.18(本小题满分12分)已知某圆的极坐标方程为24cos60,求:(1)圆的普通方程和参数方程;(2)圆上所有点(x,y)中,xy的最大值和最小值解:(1)原方程可化为2460,即24cos 4sin 60.因为2x2y2,xcos ,ysin ,所以可化为x2y24x4y60,即(x2)2(y2)22,即为所求圆的普通方程设所以参数方程为(为参数)(2)由(1)可知xy(2cos )(2sin )42(cos sin )2cos sin 32(cos sin )(cos sin )2.设tcos sin ,则tsin,t,所以xy32tt2(t)21.当t时,
5、xy有最小值1;当t时,xy有最大值9.19(本小题满分12分)已知曲线C的极坐标方程是2cos ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t为参数)(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)当m2时,直线l与曲线C交于A、B两点,求|AB|的值解:(1)由2cos ,得:22cos ,所以x2y22x,即(x1)2y21,所以曲线C的直角坐标方程为(x1)2y21.由得xym,即xym0,所以直线l的普通方程为xym0.(2)设圆心到直线l的距离为d,由(1)可知直线l:xy20,曲线C:(x1)2y21,圆C的圆心坐标为(1,0
6、),半径1,则圆心到直线l的距离为d.所以|AB|2 .因此|AB|的值为.20(本小题满分12分)已知圆C1的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为4sin.(1)将圆C1的参数方程化为普通方程,将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)圆C1,C2是否相交?若相交,请求出公共弦长;若不相交,请说明理由解:(1)由(为参数),得圆C1的普通方程为x2y24.由4sin,得24,即x2y22y2x,整理得圆C2的直角坐标方程为(x)2(y1)24.(2)由于圆C1表示圆心为原点,半径为2的圆,圆C2表示圆心为(,1),半径为2的圆,又圆
7、C2的圆心(,1)在圆C1上可知,圆C1,C2相交,由几何性质易知,两圆的公共弦长为2.21(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为2cos,直线l的参数方程为(t为参数),直线l与圆C交于A,B两点,P是圆C上不同于A,B的任意一点(1)求圆心的极坐标;(2)求PAB面积的最大值解:(1)圆C的直角坐标方程为x2y22x2y0,即(x1)2(y1)22.所以圆心坐标为(1,1),圆心极坐标为.(2)直线l的普通方程为2xy10,圆心到直线l的距离d,所以|AB|2,点P到直线AB距离的最大值为,故最大面积Smax.22(本小题满分
8、12分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a0)在以坐标原点为极点、x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:4cos .(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为0,其中0满足tan 02,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.解:(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2(y1)2a2,则C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆将xcos ,ysin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组若0,由方程组得16cos28sin cos 1a20,由已知tan 2,得16cos28sin cos 0,从而1a20,解得a1(舍去)或a1.当a1时,极点也为C1,C2的公共点,且在C3上所以a1.