1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.3.2圆的一般方程学 习 目 标核 心 素 养1了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径(重点)2会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题(重点)3灵活选取恰当的方法求圆的方程(难点)1通过圆的一般方程的学习，培养数学抽象的核心素养2借助圆的一般方程的求解及其应用，培养数学运算的数学核心素养.1圆的一般方程的概念当D2E24F0时，二元二次方程x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程2圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)表示的圆的圆心为，半径长为.3对方程x2y2DxEyF0的说明方程条件图
2、形x2y2DxEyF0D2E24F0不表示任何图形D2E24F0表示一个点x2y2DxEyF0D2E24F0表示以为圆心，以为半径的圆思考：所有二元二次方程均表示圆吗？提示不是，Ax2BxyCy2DxEyF0，只有在AC，B0且D2E24F0时才表示圆1若直线3xya0过圆x2y22x4y0的圆心，则a的值为()A1B1C3D3B圆x2y22x4y0的圆心为(1,2)，3xya0过点(1,2)，即32a0，a1.2圆x2y24x10的圆心坐标及半径分别为()A(2,0)，5B(2,0)，C(0,2)，D(2,2)，5Bx2y24x10可化为(x2)2y25，圆心为(2,0)，半径r.3圆x2y
3、22x6y80的周长为_2由圆的方程可求得圆的半径r，所以圆的周长为2.4过O(0,0)，A(3,0)，B(0,4)三点的圆的一般方程为_x2y23x4y0该圆的圆心为，半径为，故其标准方程为(y2)2.化成一般方程为x2y23x4y0.圆的一般方程的概念辨析【例1】若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径思路探究(1)根据表示圆的条件求m的取值范围；(2)将方程配方，根据圆的标准方程求解解(1)据题意知D2E24F(2m)2(2)24(m25m)0，即4m244m220m0，解得m，故m的取值范围为.(2)将方程x2y22mx2ym25m0写
4、成标准方程为(xm)2(y1)215m，故圆心坐标为(m,1)，半径r.形如x2y2DxEyF0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：1由圆的一般方程的定义令D2E24F0，成立则表示圆，否则不表示圆2将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2y2DxEyF0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解1下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径(1)x2y2x10；(2)x2y22axa20(a0)；(3)2x22y22ax2ay0(a0)解(1)D1，E0，F1，D2E24F1430，方程不表示任何图形(2)D2a，E0，Fa2，
5、D2E24F4a24a20，方程表示点(a,0)(3)两边同除以2，得x2y2axay0，Da，Ea，F0，a0，D2E24F2a20，方程表示圆，它的圆心为，半径r|a|.求圆的一般方程【例2】圆C过点A(1,2)，B(3,4)，且在x轴上截得的弦长为6，求圆C的方程思路探究由条件，所求圆的圆心、半径均不明确，故设出圆的一般方程，用待定系数法求解解设所求圆的方程为x2y2DxEyF0.圆过A(1,2)，B(3,4)，D2EF5，3D4EF25.令y0，得x2DxF0.设圆C与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2，则x1x2D，x1x2F.|x1x2|6，(x1x2)24x1x236，即D24F
6、36.由 得D12，E22，F27，或D8，E2，F7.故所求圆的方程为x2y212x22y270，或x2y28x2y70.应用待定系数法求圆的方程1如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；2如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.2已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，1)，求三角形ABC的外接圆的方程解设三角形ABC外接圆的方程为x2y2DxEyF0，由题意得解得即三角形ABC的外接圆方程为x2y28x2y120.求动点的轨迹方程探究问题1已知动点M
7、到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，你能求出点M的轨迹方程吗？提示设M(x，y)，则2，整理可得点M的轨迹方程为x2y216.2已知直角ABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)，请求出直角顶点C的轨迹方程提示设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|AB|2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(x3且x1)【例3】已知M(2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程
8、是()Ax2y24Bx2y24Cx2y24(x2)Dx2y24(x2)思路探究直角边垂直斜率相乘等于1转化为方程检验C设P(x，y)，由条件知PMPN，且PM，PN的斜率肯定存在，故kMPkNP1.即x2y24，又当P，M，N三点共线时，不能构成三角形，所以x2，即所求轨迹方程为x2y24(x2)1过点A(8,0)的直线与圆x2y24交于点B，则AB中点P的轨迹方程为_(x4)2y21设点P的坐标为(x，y)，点B为(x1，y1)，由题意，结合中点坐标公式可得x12x8，y12y，故(2x8)2(2y)24，化简得(x4)2y21，则AB中点P的轨迹方程为(x4)2y21.2设定点M(3,4)
9、，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹解如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，故，从而又N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求轨迹为圆：(x3)2(y4)24，但应除去两点和(点P在直线OM上的情况)求与圆有关的轨迹的方法1直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；2定义法：根据圆、直线等定义列方程；3几何法：利用圆的几何性质列方程；4代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将点Q的坐标代入
10、到已知圆的方程中得点P的轨迹方程1本节课的重点是了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径，会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题，初步掌握求动点的轨迹方程的方法难点是会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题2本节课要重点掌握的规律方法(1)二元二次方程表示圆的判定方法，(2)应用待定系数法求圆的方程的方法，(3)代入法求轨迹方程的一般步骤3本节课的易错点是忽略二元二次方程表示圆的条件.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程()(2)圆的一般方程和标准方程可以互化()(3)方程x2y2ax2ay2a
11、2a10表示圆心为，半径为的圆()(4)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xyDx0Ey0F0.()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)正确圆的方程都能写成一个二元二次方程(2)正确圆的一般方程和标准方程是可以互化的(3)错误当a2(2a)24(2a2a1)0，即2a，即xyDx0Ey0F0.2圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A(2,3)B(2,3)C(2，3)D(2，3)D圆的方程化为(x2)2(y3)213，圆心为(2，3)，选D.3已知A，B是圆O：x2y216上的两点，且|AB|6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，1)，则圆心M的轨迹方程是_(x1)2(y1)29设圆心为M(x，y)，由|AB|6知，圆M的半径r3，则|MC|3，即3，所以(x1)2(y1)29.4求经过三点A(1，1)，B(1,4)，C(4，2)的圆的一般方程解设圆的方程为x2y2DxEyF0，将A，B，C三点的坐标代入方程整理可得解得故所求圆的一般方程为x2y27x3y20.- 9 - 版权所有高考资源网
