1、课时作业(十六)1(2019课标全国,文)双曲线C:1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为130,则C的离心率为()A2sin40B2cos40C. D.答案D解析根据题意可知tan130,所以tan50,离心率e.2已知实数4,m,9构成一个等比数列,则圆锥曲线y21的离心率为()A. B.C.或 D.或7答案C解析4,m,9构成等比数列,m236,m6.当m6时,圆锥曲线方程为y21,其离心率为;当m6时,圆锥曲线方程为y21,其离心率为.故选C.3已知双曲线1(a0,b0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切,则双曲线的方程为()A.1 B.1C.y21 D
2、x21答案D解析由于双曲线右焦点F(2,0)与圆心重合,且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切,则右焦点到渐近线的距离b,又a2b2c2,所以a1,所以双曲线的方程为x21.故选D.4(2017课标全国,文)已知F是双曲线C:x21右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则APF的面积为()A. B.C. D.答案D解析因为F是双曲线C:x21的右焦点,所以F(2,0)因为PFx轴,所以可设P的坐标为(2,yP)因为P是C上一点,所以41,解得yP3,所以P(2,3),|PF|3.又因为A(1,3),所以点A到直线PF的距离为1,所以SAPF|PF|131.故选D.5
3、已知双曲线x21的焦点为F1,F2,点M在双曲线上且0,则点M到x轴的距离为()A. B.C. D.答案C解析设|r1,|r2,由条件知道MF1MF2,r12r22(2c)212,|r1r2|2a2.由,得r1r24.设所求距离为h,则2chr1r2,h.6设F1,F2是双曲线1(a0,b0)的两个焦点,点P在双曲线上,若0,且|PF1|PF2|2ac(c),则双曲线的离心率为()A. B.C2 D.答案A解析0,F1PF290.(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|F1F2|2,即4a24ac4c2,()210.7已知双曲线1(b0)的左、右焦点分别为F1,F2,其一条渐近线方程为yx
4、,点P(,y0)在该双曲线上,则()A12 B2C0 D4答案C解析双曲线的一条渐近线方程为yx,1,即b,双曲线方程为1,焦点F1(2,0),F2(2,0)点P(,y0)在双曲线上,y021,(2,y0)(2,y0)y0210.故选C.8若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为()A32,) B32,)C,) D,)答案B解析F(2,0)为双曲线左焦点,c2,a2c2b23,故双曲线方程为y21,设点P的坐标为(x1,y1)(x1),则y121.(x1,y1)(x12,y1)x122x1y12x122x112x11.函数f(
5、x1)2x11在,)上单调递增,故f(x)2132.应选B.9如图,B地在A地的正东方向4千米处,C地在B地的北偏东30方向2千米处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2千米现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B,C两地转运货物经测算,从M到B,C两地修建公路的费用都是a万元/千米,那么修建这两条公路的总费用最低是()A(1)a万元 B(22)a万元C2a万元 D(1)a万元答案B解析因为|MB|MA|2,且要让|MB|MC|最小,只要让|MA|MC|2最小,连接AC与曲线PQ的交点即为所求,解ABC.ABC120,|AB|4,|BC|2由余弦定理求得|AC|22.10
6、设双曲线1(a0,b0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点若A1BA2C,则该双曲线的渐近线的斜率为()A BC1 D答案C解析由题意,得A1(a,0),A2(a,0),F(c,0),将xc代入双曲线方程,解得y.不妨设B(c,),C(c,),则kA1B,kA2C,根据题意,有1,整理得1,所以该双曲线的渐近线的斜率为1.故选C.11过双曲线1左焦点F1的直线交双曲线的左支于M,N两点,F2为其右焦点,则|MF2|NF2|MN|的值为_答案812设中心在原点的椭圆与双曲线2x22y21有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是_答案
7、y21解析双曲线焦点为(1,0)设椭圆的离心率为e1,双曲线离心率为e2,则e2.e11,e1.,a.b2()211.椭圆方程为y21.13给出问题:F1,F2是双曲线1的焦点,点P在双曲线上,若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离,某学生的解答如下:双曲线的实轴长为8,由|PF1|PF2|8,即|9|PF2|8,得|PF2|1或17.该学生的解答是否正确,_若正确,请将他的解题依据填在后面空格内;若不正确,将正确结果填在后面空格内_答案不正确17解析a216,b220,c236,a4,c6,|PF2|min21,故|PF2|17.14求下列双曲线的标准方程(1)顶点A(0,6)
8、,离心率为1.5;(2)双曲线经过点P(10,3),且它的渐近线方程为3x5y0.解析(1)顶点为(0,6),设所求双曲线方程为1,a6.e1.5,cae61.59.故所求的双曲线方程为1.(2)渐近线的方程为yx,得渐近线上横坐标为10的点P为P(10,6),36,双曲线的焦点在x轴上,设双曲线方程为1.双曲线过P(10,3),有1.又.由可得a225,b29.故所求双曲线方程为1.15已知双曲线C:1(a0,b0)的离心率为.(1)求双曲线C的渐近线方程;(2)当a1时,若直线xym0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2y25上,求实数m的值解析(1)由题意得e,c23
9、a2,b2c2a22a2,即2,双曲线C的渐近线方程为yxx.(2)当a1时,双曲线C的方程为x21.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0)由得x22mxm220(判别式0),x0m,y0x0m2m.点M(x0,y0)在圆x2y25上,m2(2m)25,m1.1(2015课标全国,文)已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为yx,则该双曲线的标准方程为_答案y21解析方法一:因为双曲线过点(4,),且渐近线方程为yx,故点(4,)在直线yx的下方设该双曲线的标准方程为1(a0,b0),所以解得故双曲线方程为y21.方法二:因为双曲线的渐近线方程为
10、yx,故可设双曲线为y2(0),又双曲线过点(4,),所以()2,所以1,故双曲线方程为y21.2如图(甲),在面积为18的ABC中,AB5,双曲线E过点A,且以B,C为焦点已知27,54.(1)建立适当的坐标系,求双曲线E的方程;(2)是否存在过点D(1,1)的直线l,使l与双曲线E交于不同的两点M,N,且0.如果存在,求出直线l的方程;如果不存在,请说明理由解析(1)以BC所在直线为x轴,线段BC的中点O为原点,线段BC的中垂线为y轴建立坐标系如图(乙)设BAC,ACB,|AC|m,|BC|n,则得两式平方相加,得m9.又得两式平方相加,得n2.设双曲线的方程为1.由双曲线的定义,得2a|
11、AC|AB|m5|4.a2.又2cn2,c. b2c2a29.双曲线E的方程为1.(2)假设存在满足条件的直线l,使l与双曲线E交于不同两点M,N,并设M(x1,y1),N(x2,y2),且x1x2.由0,知点D是线段MN的中点x1x22,y1y22.由于M,N都在双曲线E上,将两式相减,得0.此时直线l的方程为y1(x1),即9x4y50.但由45x290x16900.不存在满足条件的直线l.3设A,B分别为双曲线1(a0,b0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使t,求
12、t的值及点D的坐标解析(1)由题意知a2,一条渐近线为yx,即bx2y0,b23,双曲线的方程为1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则x1x2tx0,y1y2ty0,将直线方程代入双曲线方程得x216x840,则x1x216,y1y212,t4,点D的坐标为(4,3)4P(x0,y0)(x0a)是双曲线E:1(a0,b0)上一点,M,N分别是双曲线E的左、右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率;(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足,求的值解析(1)点P(x0,y0)(x0a)在双曲线1上,有1,由题意,可得.a25b2,c2a2b26b2,则e.(2)联立得4x210cx35b20.设A(x1,y1),B(x2,y2),则(*)设(x3,y3),即又C为双曲线上一点,即x325y325b2.(x1x2)25(y1y2)25b2.化简,得2(x125y12)(x225y22)2(x1x25y1y2)5b2.又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,x125y125b2,x225y225b2.由(*)式又有x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2.由,得240,解出0或4.