1、课时作业(十六)1(2019课标全国，文)双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为()A2sin40B2cos40C. D.答案D解析根据题意可知tan130，所以tan50，离心率e.2已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线y21的离心率为()A. B.C.或 D.或7答案C解析4，m，9构成等比数列，m236，m6.当m6时，圆锥曲线方程为y21，其离心率为；当m6时，圆锥曲线方程为y21，其离心率为.故选C.3已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.y21 D
2、x21答案D解析由于双曲线右焦点F(2，0)与圆心重合，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则右焦点到渐近线的距离b，又a2b2c2，所以a1，所以双曲线的方程为x21.故选D.4(2017课标全国，文)已知F是双曲线C：x21右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则APF的面积为()A. B.C. D.答案D解析因为F是双曲线C：x21的右焦点，所以F(2，0)因为PFx轴，所以可设P的坐标为(2，yP)因为P是C上一点，所以41，解得yP3，所以P(2，3)，|PF|3.又因为A(1，3)，所以点A到直线PF的距离为1，所以SAPF|PF|131.故选D.5
3、已知双曲线x21的焦点为F1，F2，点M在双曲线上且0，则点M到x轴的距离为()A. B.C. D.答案C解析设|r1，|r2，由条件知道MF1MF2，r12r22(2c)212，|r1r2|2a2.由，得r1r24.设所求距离为h，则2chr1r2，h.6设F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，点P在双曲线上，若0，且|PF1|PF2|2ac(c)，则双曲线的离心率为()A. B.C2 D.答案A解析0，F1PF290.(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|F1F2|2，即4a24ac4c2，()210.7已知双曲线1(b0)的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为yx
4、，点P(，y0)在该双曲线上，则()A12 B2C0 D4答案C解析双曲线的一条渐近线方程为yx，1，即b，双曲线方程为1，焦点F1(2，0)，F2(2，0)点P(，y0)在双曲线上，y021，(2，y0)(2，y0)y0210.故选C.8若点O和点F(2，0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为()A32，) B32，)C，) D，)答案B解析F(2，0)为双曲线左焦点，c2，a2c2b23，故双曲线方程为y21，设点P的坐标为(x1，y1)(x1)，则y121.(x1，y1)(x12，y1)x122x1y12x122x112x11.函数f(
5、x1)2x11在，)上单调递增，故f(x)2132.应选B.9如图，B地在A地的正东方向4千米处，C地在B地的北偏东30方向2千米处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2千米现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物经测算，从M到B，C两地修建公路的费用都是a万元/千米，那么修建这两条公路的总费用最低是()A(1)a万元 B(22)a万元C2a万元 D(1)a万元答案B解析因为|MB|MA|2，且要让|MB|MC|最小，只要让|MA|MC|2最小，连接AC与曲线PQ的交点即为所求，解ABC.ABC120，|AB|4，|BC|2由余弦定理求得|AC|22.10
6、设双曲线1(a0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A BC1 D答案C解析由题意，得A1(a，0)，A2(a，0)，F(c，0)，将xc代入双曲线方程，解得y.不妨设B(c，)，C(c，)，则kA1B，kA2C，根据题意，有1，整理得1，所以该双曲线的渐近线的斜率为1.故选C.11过双曲线1左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，则|MF2|NF2|MN|的值为_答案812设中心在原点的椭圆与双曲线2x22y21有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_答案
7、y21解析双曲线焦点为(1，0)设椭圆的离心率为e1，双曲线离心率为e2，则e2.e11，e1.，a.b2()211.椭圆方程为y21.13给出问题：F1，F2是双曲线1的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离，某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由|PF1|PF2|8，即|9|PF2|8，得|PF2|1或17.该学生的解答是否正确，_若正确，请将他的解题依据填在后面空格内；若不正确，将正确结果填在后面空格内_答案不正确17解析a216，b220，c236，a4，c6，|PF2|min21，故|PF2|17.14求下列双曲线的标准方程(1)顶点A(0，6)
8、，离心率为1.5；(2)双曲线经过点P(10，3)，且它的渐近线方程为3x5y0.解析(1)顶点为(0，6)，设所求双曲线方程为1，a6.e1.5，cae61.59.故所求的双曲线方程为1.(2)渐近线的方程为yx，得渐近线上横坐标为10的点P为P(10，6)，36，双曲线的焦点在x轴上，设双曲线方程为1.双曲线过P(10，3)，有1.又.由可得a225，b29.故所求双曲线方程为1.15已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为.(1)求双曲线C的渐近线方程；(2)当a1时，若直线xym0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2y25上，求实数m的值解析(1)由题意得e，c23
9、a2，b2c2a22a2，即2，双曲线C的渐近线方程为yxx.(2)当a1时，双曲线C的方程为x21.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)由得x22mxm220(判别式0)，x0m，y0x0m2m.点M(x0，y0)在圆x2y25上，m2(2m)25，m1.1(2015课标全国，文)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_答案y21解析方法一：因为双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，故点(4，)在直线yx的下方设该双曲线的标准方程为1(a0，b0)，所以解得故双曲线方程为y21.方法二：因为双曲线的渐近线方程为
10、yx，故可设双曲线为y2(0)，又双曲线过点(4，)，所以()2，所以1，故双曲线方程为y21.2如图(甲)，在面积为18的ABC中，AB5，双曲线E过点A，且以B，C为焦点已知27，54.(1)建立适当的坐标系，求双曲线E的方程；(2)是否存在过点D(1，1)的直线l，使l与双曲线E交于不同的两点M，N，且0.如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由解析(1)以BC所在直线为x轴，线段BC的中点O为原点，线段BC的中垂线为y轴建立坐标系如图(乙)设BAC，ACB，|AC|m，|BC|n，则得两式平方相加，得m9.又得两式平方相加，得n2.设双曲线的方程为1.由双曲线的定义，得2a|
11、AC|AB|m5|4.a2.又2cn2，c. b2c2a29.双曲线E的方程为1.(2)假设存在满足条件的直线l，使l与双曲线E交于不同两点M，N，并设M(x1，y1)，N(x2，y2)，且x1x2.由0，知点D是线段MN的中点x1x22，y1y22.由于M，N都在双曲线E上，将两式相减，得0.此时直线l的方程为y1(x1)，即9x4y50.但由45x290x16900.不存在满足条件的直线l.3设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求
12、t的值及点D的坐标解析(1)由题意知a2，一条渐近线为yx，即bx2y0，b23，双曲线的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1x2tx0，y1y2ty0，将直线方程代入双曲线方程得x216x840，则x1x216，y1y212，t4，点D的坐标为(4，3)4P(x0，y0)(x0a)是双曲线E：1(a0，b0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求的值解析(1)点P(x0，y0)(x0a)在双曲线1上，有1，由题意，可得.a25b2，c2a2b26b2，则e.(2)联立得4x210cx35b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(*)设(x3，y3)，即又C为双曲线上一点，即x325y325b2.(x1x2)25(y1y2)25b2.化简，得2(x125y12)(x225y22)2(x1x25y1y2)5b2.又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，x125y125b2，x225y225b2.由(*)式又有x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2.由，得240，解出0或4.