1、1.5全称量词与存在量词【素养目标】1理解全称量词、存在量词的含义(数学抽象)2掌握全称量词命题与存在量词命题的真假判断(逻辑推理)3能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定(数学抽象)4掌握全称量词命题和存在量词命题与它们的否定在形式上的变化规律(数学抽象)5能够用全称量词命题和存在量词命题解决简单的数学问题(逻辑推理)【学法解读】1本节的重点是对全称量词和存在量词的理解，难点是对含有一个量词的命题的否定2在本节的学习中，要重点关注全称量词命题与存在量词命题的真假判断和全称量词命题与存在量词命题的否定，熟记一些全称量词命题与存在量词命题的不同表述方法，并能够熟练运用其表示符号第1课时全称
2、量词与存在量词必备知识探新知基础知识知识点1 全称量词与全称量词命题1全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做_全称量词_，并用符号“_”表示2全称量词命题：含有_全称量词_的命题，叫做全称量词命题3全称量词命题的表述形式：全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为_xM，p(x)_4全称量词命题的真假判断：要判断一个全称量词命题是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；但要判断一个全称量词命题是假命题，只需列举出一个x0M，使得p(x0)不成立即可思考1：怎样判断一个命题是全称量词命题？提示：判断一个命题是否为全称量词命题，一是看该命题是否含有全
3、称量词；二是看该命题是否为省去全称量词的命题，如果是，我们可以先把全称量词补充出来再判断知识点2 存在量词与存在量词命题1存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做_存在量词_，并用符号“_”表示2存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做_存在量词命题_3存在量词命题的表述形式：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为_xM，p(x)_4存在量词命题的真假判断：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在集合M中，能找到一个元素x，使p(x)成立即可；否则这一命题就是假命题思考2：怎样判断一个命题是存在量词命题？提示：判断一个命题是否为存在量词命题，一是看该命题是
4、否含有存在量词；二是看该命题是否为省去存在量词的命题，如果是，我们可以先把存在量词补充出来再判断基础自测1下列命题中全称量词命题的个数是(C)任意一个自然数都是正整数；有的矩形是正方形；三角形的内角和是180A0B1C2 D3解析是全称量词命题2下列命题中，不是全称量词命题的是(D)A任何一个实数乘以0都等于0B自然数都是正整数C每一个向量都有大小D一定存在没有最大值的二次函数解析选项D是存在量词命题3下列存在量词命题是假命题的是(B)A存在xQ，使2xx30B存在xR，使x2x10C有的整数是偶数D有的有理数没有倒数解析对于任意的xR，x2x1(x)20恒成立，所以存在xR，使x2x10是假
5、命题4下列语句中，是全称量词命题的是_，是存在量词命题的是_菱形的四条边相等；所有含两个60角的三角形是等边三角形；负数的立方根不等于0；至少有一个负整数是奇数；所有有理数都是实数吗？解析是全称量词命题；是存在量词命题；不是命题关键能力攻重难题型探究题型一全称量词命题与存在量词命题的判断例1判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题(1)梯形的对角线相等；(2)存在一个四边形有外接圆；(3)二次方程都存在实数根；(4)过平面内两点有且只有一条直线分析解析(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称量词命题(2)命题为存在量词命题(3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数
6、根”，故为全称量词命题(4)命题是命题“过平面内任意两点有且只有一条直线”的简写，故为全称量词命题归纳提升判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤 【对点练习】 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题(1)对任意的nZ,2n1是奇数；(2)有些三角形不是等腰三角形；(3)有的实数是无限不循环小数；(4)所有的正方形都是矩形解析(1)含有全称量词“任意”，故为全称量词命题(2)含有存在量词“有些”，故为存在量词命题(3)含有存在量词“有的”，故为存在量词命题(4)含有全称量词“所有”，故为全称量词命题题型二全称量词命题与存在量词命题的真假判断例2判断下列命题的真假(1)xR，x21
7、；(2)，R，()2()2；(3)存在一个数既是偶数又是负数；(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(5)存在一个实数x，使等式x2x80成立分析对于全称量词命题，判断为真，需要证明，判断为假，举出反例；对于存在量词命题，判断为真，举出特例，判断为假，必须对给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为假解析(1)真命题，因为x21x2，因为x20，所以x211，x21恒成立(2)真命题，例如0，1，符合题意(3)真命题，如数2，4等，既是偶数又是负数(4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数(5)假命题，因为该方程的判别式310，故无实数解归纳提升判断全称量词命题和
8、存在量词命题真假的方法(1)要判断一个全称量词命题为真，必须给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假(2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为假【对点练习】 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；(3)x，yZ，使3x4y20；(4)任何数的0次方都等于1解
9、析(1)全称量词命题在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题(2)存在量词命题存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题(3)存在量词命题取x0，y5时，304(5)20成立，所以该命题是真命题(4)全称量词命题0的0次方无意义，所以该命题是假命题题型三全称量词命题与存在量词命题的应用例3(1)已知集合Ax|1x2，若命题“xA，一次函数yxm的图象在x轴上方”是真命题，则实数m的取值范围是_m|m1_(2)若命题“xR，使得方程ax22x10成立”是真命题，求实数a的取值范围解析(1)当1x2时，1mxm2m，因为一次函数
10、yxm的图象在x轴上方，所以1m0，即m1，所以实数m的取值范围是m|m1(2)由题意得，关于x的方程ax22x10有实数根，当a0时，方程为2x10，显然有实数根，满足题意；当a0时，44a0，解得a1，且a0综上知，实数a的取值范围是a|a1归纳提升解决含有量词的命题求参数范围问题的思路1全称量词命题求参数范围的问题，常以一次函数、二次函数为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语解决此类问题，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围2存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求
11、出参数范围，则假设成立；反之，假设不成立解决有关存在量词命题的参数取值范围问题时，应尽量分离参数【对点练习】 (1)已知命题p：“xR，关于x的一元二次方程x22xm0有实数根”是真命题，则实数m的取值范围是(C)Am3Bm3Cm3 Dm3(2)已知命题p：“xR，mx20”是真命题，则实数m的取值范围是_m0_解析(1)依题意，方程x22xm0有实数解，则(2)24m0，所以m3，故选C(2)当xR时，x20，若“xR，mx20”是真命题，则有m0课堂检测固双基1下列命题是全称量词命题的是(B)A有的三角形是等边三角形B所有2的倍数都是偶数C有一个实数，使|x|0D至少有一个xx|x是无理数
12、，x2是无理数2下列命题中是真命题的是(B)AxR，x210BxZ,3x1是整数CxR，|x|3DxQ，x2Z3下列命题不是“xR，x23”的表述方法的是(C)A有一个xR，使得x23成立B对有些xR，使得x23成立C任选一个xR，使得x23成立D至少有一个xR，使得x23成立解析A，C，D都是存在量词的表述方法，C为全称量词4指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假(1)有的集合中存在两个相同的元素(2)a，bR，(ab)(a2abb2)a3b3(3)存在一个xR，使0(4)对任意直角三角形的两个锐角A，B，都有sinAcosB解析(1)是存在量词命题，由集合中元素的互异性可知，此命题是假命题(2)是全称量词命题，a，bR，(ab)(a2abb2)a3a2bab2a2bab2b3a3b3是真命题(3)是存在量词命题因为不存在xR，使0成立，所以该命题是假命题(4)是全称量词命题，根据锐角三角形函数的定义可知，对任意直角三角形的两个锐角A，B，都有sinAcosB，是真命题
