1、课时分层训练抓基础自主学习明考向题型突破第二章 函数、导数及其应用第五节 指数函数 考纲传真 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2,3,10，12，13的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型1根式的性质(1)(n a)n_.(2)当 n 为奇数时，n an_.(3)当 n 为偶数时，n an|a|aa0，aa0.(4)负数的偶次方根_(5)零的任何次方根_aa无意义都等于零2有理指数幂(1)分数指数幂正分数指数幂：a _(a0，m，nN*，且 n1
2、)；负分数指数幂：a_(a0，m，nN*，且 n1)；0 的正分数指数幂等于_,0 的负分数指数幂_(2)有理数指数幂的运算性质aras_(a0，r，sQ)；(ar)s_(a0，r，sQ)；(ab)r_(a0，b0，rQ)0没有意义n am1n amarsarsarbr3指数函数的图象与性质a10a1图象定义域_值域_过定点_当 x0 时，y1；当 x0 时，0y1当 x0 时，0y1；当 x0 时，y1性质在 R 上是_在 R 上是_R(0，)(0,1)增函数减函数答案(1)(2)(3)(4)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)4 444.()(2)(1)(1
3、)1.()(3)函数 y2x1 是指数函数()(4)函数 yax21(a1)的值域是(0，)()2化简(2)6(1)0 的结果为()A9 B7C10D9B 原式(26)1817.3函数 yaxa(a0，且 a1)的图象可能是()【导学号：31222044】A B C DC 法一：令 yaxa0，得 x1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项 C.法二：当 a1 时，yaxa 是由 yax 向下平移 a 个单位，且过(1,0)，A，B，D 都不合适；当 0a1 时，yaxa 是由 yax 向下平移 a 个单位，因为 0a1，故排除选项 D.4(教材改编)已知 0.2m0.2n，则 m
4、_n(填“”或“”)设 f(x)0.2x，f(x)为减函数，由已知 f(m)f(n)，mn.5指数函数 y(2a)x 在定义域内是减函数，则 a 的取值范围是_(1,2)由题意知 02a1，解得 1a2.指数幂的运算 化简求值：(1)235022214(0.01)0.5；解(1)原式11449110011423 110116 1101615.6 分(2)原式1a.12 分规律方法 1.指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序2当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数3运算结果不能同时含有根号
5、和分数指数，也不能既有分母又含有负指数变式训练 1 化简求值：(1)(0.027)172279(21)0；(2)56a b2(3a b1)(4a b3).解(1)原式271 000722591103 4953145.6 分 54 1ab35 ab4ab2.12 分指数函数的图象及应用(1)函数 f(x)1e|x|的图象大致是()A B C D(2)若曲线 y|2x1|与直线 yb 有两个公共点，求 b 的取值范围(1)A 将函数解析式与图象对比分析，因为函数 f(x)1e|x|是偶函数，且值域是(，0，只有 A 满足上述两个性质(2)曲线 y|2x1|与直线 yb 的图象如图所示，由图象可得，
6、如果曲线 y|2x1|与直线 yb 有两个公共点，8 分则 b 的取值范围是(0,1).12 分规律方法 指数函数图象的画法(判断)及应用(1)画(判断)指数函数 yax(a0，a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，1，1a.(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.变式训练 2(1)函数 f(x)axb 的图象如图 2-5-1，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是()【导学号：31222045】Aa1，b0Ba1，b0C0a1，b0D0a
7、1，b0(2)方程 2x2x 的解的个数是_图 2-5-1(1)D(2)1(1)由 f(x)axb 的图象可以观察出，函数 f(x)axb 在定义域上单调递减，所以 0a1，函数 f(x)axb 的图象是在 yax 的基础上向左平移得到的，所以 b0.(2)方程的解可看作函数 y2x 和 y2x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解指数函数的性质及应用角度 1 比较指数式的大小(1)(2016全国卷)已知 a2，b3，c25，则()Abac BabcCbcaDcab(2)(2016浙江高考)已知函数 f(x)满足：f(x)|x|且 f(x
8、)2x，xR.()A若 f(a)|b|，则 abB若 f(a)2b，则 abC若 f(a)|b|，则 abD若 f(a)2b，则 ab(1)A(2)B(1)a2 4，b3，c25 5.yx 在第一象限内为增函数，又 543，cab.(2)f(x)|x|，f(a)|a|.若 f(a)|b|，则|a|b|，A 项错误若 f(a)|b|且f(a)|a|，无法推出 ab，故 C 项错误f(x)2x，f(a)2a.若 f(a)2b，则2b2a，故 ba，B 项正确若 f(a)2b 且 f(a)2a，无法推出 ab，故 D 项错误故选 B.角度 2 解简单的指数方程或不等式(2015江苏高考)不等式 2x
9、2x4 的解集为_x|1x2或1，2 2x2x4，2x2x22，x2x2，即 x2x20，1x2.角度 3 探究指数型函数的性质 已知函数 f(x)13ax24x3.(1)若 a1，求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值；(3)若 f(x)的值域是(0，)，求 a 的值解(1)当 a1 时，f(x)13x24x3，令 g(x)x24x3(x2)27，则 g(x)在区间(，2)上单调递增，2 分在区间2，)上单调递减，又函数 y13x 在 R 上是减函数，因此 f(x)的单调递增区间是2，)，单调递减区间是(，2).4 分(2)由 f(x)有最大值 3 知，ax24
10、x3 有最小值1，则有a0，12a164a1，解得 a1.8 分(3)由 f(x)的值域是(0，)知，ax24x3 的值域为 R，则必有 a0.12 分规律方法 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小2解简单的指数方程或不等式可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解3探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数 a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论思想与方法1根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算2判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令 x1 得到底数的值再进行比较易错与防范1指数函数的单调性取决于底数 a 的大小，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应分 0a1 和 a1 两种情况分类讨论2对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域3对可化为 a2xbaxc0 或 a2xbaxc0(0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围课时分层训练（八）点击图标进入
