1、高考资源网（） 您身边的高考专家导数的几何意义【例1】已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程解(1)f(x)(x3x16)3x21，f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32.(2)法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.又直线l过点(0,0)，0(3x1)(x0)xx016.整
2、理得，x8，x02.y0(2)3(2)1626.k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)法二：设直线l的方程为ykx，切点为(x0，y0)，则k，又kf(x0)3x1，3x1.解得，x02，y0(2)3(2)1626.k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)(3)切线与直线y3垂直，切线的斜率k4.设切点坐标为(x0，y0)，则f(x0)3x14，x01.或即切点为(1，14)或(1，18)切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.1导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程yy0
3、f(x0)(xx0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线yf(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线yf(x)的切线方程”的异同点2围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则kf(x0)，y0f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到1直线ykxb与曲线yx3ax1相切于点(2,3)，则b_.15yx3ax1过点(2,3)，a3，y3x23，ky|x23439，bykx39215.函数的单调性与导数【例2】(1)f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a，b，若ab，则必有()Aaf(b)bf(a)Bbf(a)af(b
4、)Caf(a)bf(b) Dbf(b)af(a)(2)设f(x)aln x，其中a为常数，讨论函数f(x)的单调性(1)A令F(x)，则F(x).又当x0时，xf(x)f(x)0，F(x)0，F(x)在(0，)上单调递减又ab，F(a)F(b)，bf(a)af(b)，故选A.(2)解函数f(x)的定义域为(0，)f(x).当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当a时，0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a0时，0.设x1
5、，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零点，则x1，x2，由x10，所以x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减，x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增，x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减，综上可得：当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当a0时，函数f(x)在，上单调递减，在上单调递增利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用f(x)与其导数f(x)之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解.,求解参数范围的步骤为：(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f(x)；(2)
6、若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f(x)0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f(x)0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f(x)0.若f(x)0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常函数，舍去此参数值.2若函数f(x)x3ax2(a1)x1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，)上为增函数，试求实数a的取值范围解函数f(x)的导数f(x)x2axa1.令f(x)0，解得x1或xa1.当a11，即a2时，函数f(x)在(1，)上为增函数，不合题意当a11，即a2时，函数f(x)在(，1)上为增函数，在(1，a1)上为减函数
7、，在(a1，)上为增函数依题意当x(1,4)时，f(x)0，当x(6，)时，f(x)0.故4a16，即5a7.因此a的取值范围是5,7.函数的极值、最值与导数【例3】已知函数f(x)x3ax2b的图象上一点P(1,0)且在点P处的切线与直线3xy0平行(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值解(1)因为f(x)3x22ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f(1)32a，即32a3，a3.又函数过(1,0)点，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22，得f(x)3x26x.由f(x)0，得x0或x2.当
8、0t2时，在区间(0，t)上，f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.当2t3时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(x)22t33t22f(x)minf(2)2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个f(t)f(0)t33t2t2(t3)0，所以f(x)maxf(0)2.(变结论)在本例条件不变的情况下，若关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围解令g(x)f(x)cx33x22c，则g(x)3x26x3x(x2)在x1,2)上，
9、g(x)0；在x(2,3上，g(x)0.要使g(x)0在1,3上恰有两个相异的实根，则解得2c0.(1)求极值时一般需确定f(x)0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点.(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.3(2019全国卷节选)已知函数f(x)sin xln(1x)，f(x)为f(x)的导数证明：f(x)在区间存在唯一极大值点解设g(x)f(x)，则g(x)cos x，g(x)sin x，当x时，g(x)单调递减，而g(0)0，g0；当
10、x时，g(x)0.所以g(x)在(1，a)单调递增，在单调递减，故g(x)在存在唯一极大值点，即f(x)在存在唯一极大值点.生活中的优化问题【例4】某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为立方米假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元设该容器的总建造费用为y千元(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用解由题意可知r2l，l.又圆柱的侧面积为2rl，两端两个半球的表面积之和为
11、4r2.所以y34r248r2.又l0r2，所以定义域为(0,2)(2)因为y16r，所以令y0，得2r2；令y0，得0r2.所以当r2米时，该容器的建造费用最小，为96千元，此时l米解决优化问题的步骤(1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域(2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具(3)验证数学问题的解是否满足实际意义4现有一批货物由海上A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/小时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的
12、燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/小时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解(1)依题意得y(9600.6x2)300x，函数的定义域为(0,35，即y300x(0x35)(2)由(1)知y300x(0x35)，所以y300.令y0，解得x40或x40(舍去)因为函数的定义域为(0,35，所以函数在定义域内没有极值又当0x35时，y0，所以y300x在(0,35上单调递减，故当x35时，函数y300x取得最小值故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/小时的速度行驶.函数方程思想
13、【例5】设函数f(x)x36x5，xR.(1)求f(x)的极值点；(2)若关于x的方程f(x)a有3个不同实根，求实数a的取值范围；(3)已知当x(1，)时，f(x)k(x1)恒成立，求实数k的取值范围解(1)f(x)3(x22)，令f(x)0，得x1，x2.当x(，)(，)时，f(x)0，当x(，) 时，f(x)0，因此x1，x2分别为f(x)的极大值点、极小值点(2)由(1)的分析可知yf(x)图象的大致形状及走向如图所示要使直线ya与yf(x)的图象有3个不同交点需54f()af()54.则方程f(x)a有3个不同实根时，所求实数a的取值范围为(54，54)(3)法一：f(x)k(x1)
14、，即(x1)(x2x5)k(x1)，因为x1，所以kx2x5在(1，)上恒成立，令g(x)x2x5，由二次函数的性质得g(x)在(1，)上是增函数，所以g(x)g(1)3，所以所求k的取值范围是为(，3法二：直线yk(x1)过定点(1,0)且f(1)0，曲线f(x)在点(1,0)处切线斜率f(1)3，由(2)中草图知要使x(1，)时，f(x)k(x1)恒成立需k3.故实数k的取值范围为(，3论方程根的个数，研究函数图象与x轴或某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极(最)值的应用.问题破解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极(最)值列出，然后再借助单调性和
15、极(最)值情况，画出函数图象的草图，数形结合求解.5已知函数f(x)ex，aR，试讨论函数f(x)的零点个数解函数f(x)的定义域为x|xa(1)当xa时，ex0，xa0，f(x)0，即f(x)在(a，)上无零点(2)当xa时，f(x)，令g(x)ex(xa)1，则g(x)ex(xa1)由g(x)0得xa1.当xa1时，g(x)0；当xa1时，g(x)0，g(x)在(，a1)上单调递减，在(a1，)上单调递增，g(x)ming(a1)1ea1.当a1时，g(a1)0，xa1是f(x)的唯一零点；当a1时，g(a1)1ea10，f(x)没有零点；当a1时，g(a1)1ea10，f(x)有两个零点- 12 - 版权所有高考资源网
