1、第十四章 推理与证明、新定义一基础题组1. 【湖北宜昌一中、龙泉中学2016届高三年级十月联考8】老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况， 四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好”； 乙说：“我们四人中有人考的好”； 丙说：“乙和丁至少有一人没考好”； 丁说：“我没考好” 结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中 两人说对了（）A甲 丙 B乙 丁 C丙 丁 D乙 丙【答案】D【解析】试题分析：如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对，如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故选D考点：合情推理2. 【山东潍坊一中2016届高三10月考5】
2、下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则+=B由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D在数列中，计算，由此推测通项【答案】A考点：归纳推理、演绎推理、类比推理的区别。3. 【湖北宜昌一中、龙泉中学2016届高三年级十月联考16】 定义表示实数中的较大的数已知数列满足 ，若，记数列的前项和为，则的值为 【答案】7254考点：周期数列【名师点晴】本题考查新定义问题，考查周期数列的知识，解决此类问题常采取从特殊到一般的方法，可先按新定义求出数列的前几
3、项（象本题由依次求出），从中发现周期性的规律，本题求解中还要注意由新定义要对参数进行分类讨论解决新定义问题考查的学生的阅读理解能力，转化与化归的数学思想，即把新定义的“知识”、“运算”等用我们已学过的知识表示出来，用已学过的方法解决新的问题4. 【山东潍坊一中2016届高三10月考13】观察下列式子：，根据上述规律，第个不等式应该为 【答案】【解析】试题分析：由归纳推理易知，答案为。考点：归纳推理。5. 【辽宁省葫芦岛市一高2016届上学期期中考试14】的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以的所有正约数之和为，参照上述方法，可求得的所有正约数之和为 .【答案】.考点：1、合情推理.二能力
4、题组1. 【湖北宜昌一中、龙泉中学2016届高三年级十月联考3】 能够把圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“和谐函数”,下列函数不是圆的“和谐函数”的是（）A B C D【答案】A【解析】试题分析：由题意“和谐函数”的图象过原点且关于原点成中心对称，即其为奇函数，对A，由于，是偶函数，对B，是奇函数，对C，是奇函数，对D，是奇函数，故选A考点：新定义问题，函数的奇偶性2. 【临川一中20152016学年度高三第二次月考7】 能够把椭圆:的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“亲和函数”，下列函数是椭圆的“亲和函数”的是（） A B C D【答案】B考点：椭圆的简单性质三
5、拔高题组1. 【黑龙江牡丹江市一中2016届高三10月月考12】若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，有下列命题：在内单调递增；和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；和之间存在唯一的“隔离直线”.其中真命题的个数有( )A.个 B.个 C.个 D. 个【答案】C【解析】试题分析：.由得，,故函数的单调递增区间为。因此命题正确。设函数图像上任意一点（,）,则函数在该点处的切线方程为。同理，设函数图像上任一点,则函数在该点处的切线方程为.当两切线重合时，可得且，解得，,故两曲线的公切线方
6、程为：.从图像可看出，当直线绕点（-1，0）且在x轴和公切线之间时都复合题意。因此同时，可得。所以命题正确。命题错误。由“隔离直线的定义可做如下推测：函数与函数之间存在唯一的“隔离直线”只需两函数有唯一的交点，且除去该点外，一个函数图形恒在另一函数图像的上方。设,所以,可得，当时，,此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增。因此函数.即。所以如果存在”隔离直线“，那么”隔离直线“必过点,且为两曲线的共切线，可得方程为.可以证明和在x0时恒成立。故命题正确。综上，命题正确。故选C。考点：创新题型，抓住问题的本质转化为熟知的问题。【思路点睛】本题属创新题型，高考常考，难度较大。首先应脱去“新的外衣
7、”，抓住问题的本质，转化为熟知的知识和题型上来，使题目“新而不新”。命题是同一问题的两个方面，判断难度较大，应从新定义出发，结合函数图像就可找到突破口，即公切线和x轴。命题的唯一性，使我们想到两函数图像恰有一个公共点，从而为求“隔离直线”提供条件。2. 【江苏省泰州中学2016届上学期高三第二次月考20】已知为实数，函数（1） 当时，求在处的切线方程；（2） 定义：若函数的图象上存在两点、，设线段的中点为，若在点处的切线与直线平行或重合，则函数是“中值平衡函数”，切线叫做函数的“中值平衡切线”试判断函数是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由；（3） 设
8、，若存在，使得成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）当时，函数是“中值平衡函数”，且函数的“中值平衡切线”有无数条；当时，不是“中值平衡函数”；（3）试题解析：（1）函数的定义域为，当时，所以在处的切线方程为4分（2） 若函数是“中值平衡函数”，则存在使得，即，（）（3） 由，得，记，所以当时，递减，当时，递增；所以，记，时，递减；时，递增；，故实数的取值范围为16分考点：1.导数的几何意义；2.新定义型题目；导数与函数的单调性、最值3. 【浙江宁波效实中学201届上学期高三期中考试19】若满足，则称为的不动点.（1）若函数没有不动点，求实数的取值范围；（2）若函数的不动点，求的值；（3）若函数有不动点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）根据条件可知，没有不动点，等价于方程无实数根，利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）根据零点定理求得的根所在的区间，即可求得的值；（3）有不动点，等价于有解，从而可知，从而问题进一步等价于关于的一元二次方程至少有一正根，利用韦达定理，即可求解的取值范围考点：1.材料阅读；2.零点存在定理；3.韦达定理
