1、山东省泰安第二中学2020届高三数学12月测试试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分1. 已知集合=，=，则等于（ ）A. （1,2）B. C. D. 【答案】D【解析】分析】分析两个集合中元素的类型可得.【详解】因为集合是数集,集合是点集,两个集合没有公共元素,所以两个集合的交集为空集.故选.【点睛】本题考查了集合的交集运算,属于基础题.2. 设,则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析】先由已知条件求得，再确定在复平面内对应的点位于的象限即可.【详解】解：由题意知,即，故在复平面内对应的点位于第四
2、象限，故选D.【点睛】本题考查了复数的运算及复数在复平面内对应的点的位置，属基础题.3. 己知向量，.若，则m的值为( )A. B. 4C. -D. -4【答案】B【解析】【分析】根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】依题意，由于，所以，解得.故选B.【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的坐标表示，考查向量减法的坐标运算，属于基础题.4. 的展开式中，项的系数为（ ）A. 280B. 280C. 560D. 560【答案】C【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求出r的值，即可求得结果【详解】在的展开式中，通项公式为Tr+1(1）r，令144，求得r3
3、，可得x4项的系数为560，故选C【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式及系数的求解，属于基础题5. 把直线绕原点逆时针转动，使它与圆相切，则直线转动的最小正角度（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据直线过原点且与圆相切，求出直线的斜率，再数形结合计算最小旋转角【详解】解析：由题意，设切线为，.或.时转动最小最小正角为.故选B.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题6. 如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（ ）A. 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B. 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C. 丙是甲的充要条件D.
4、 丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义来对各选项的正误进行判断.【详解】因为甲是乙的充要条件，所以乙甲；又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙乙，但乙丙综上，丙甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件故选A.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的定义，考查逻辑推理能力，属于基础题.7. 菱形的边长为2，现将沿对角线折起使，求此时所成空间四面体体积的最大值（）A. B. C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】在等腰三角形中，取的中点为，则有，通过，根据面面垂直的性质定理，可以证明出，设，在中，由题意可知：，这样可以求
5、出空间四面体体积的表达式，通过换元法，利用导数，可以求出空间四面体的体积的最大值.【详解】设的中点为，因为，所以， 又因为，所以，设，在中，由题意可知：，设，则，且，当时，当时，当时，取得最大值，四面体体积的最大值为故选【点睛】本题考查了空间四面体体积最大值问题，正确求出体积的表达式，利用同角的三角函数关系、二倍角的正弦公式、换元法、导数法是解题的关键.8. 己知函数有两个零点，则有（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将函数有两个零点，,转化为: 函数，则与的图象有两个交点,作出图象,根据图像可得: ,由此去绝对值,利用可得.【详解】解：因为函数有两个零点，故方程有两个解，
6、.设函数，函数，则与的图象有两个交点，如图所示:由图象知，所以,所以，因为且，所以，得，即， 整理得，.故选B.【点睛】本题考查了函数的零点,数形结合思想,指数函数的单调性与对数的运算,属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9. 已知，现有下面四个命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】AB【解析】【分析】当时，由可得，进而得，当时 ，利用指对互化及换底公式可得.【详解】当时，由，可得，则，此时，所以A正确；当时，由，可得，则，所以B正确.故选：AB.【点睛】本题主要考查了指数与对数的
7、运算性质，属于基础题.10. 若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中错误的是（ ）A. 若为椭圆,则B. 若为双曲线,则或C. 曲线可能是圆D. 若为椭圆，且长轴在轴上，则【答案】AD【解析】【分析】就的不同取值范围分类讨论可得曲线表示的可能的类型.【详解】若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；若，方程即为，它表示圆，综上，选AD.【点睛】一般地，方程为双曲线方程等价于，若，则焦点在轴上，若，则焦点在轴上；方程为椭圆方程等价于且，若，焦点在轴上，若，则焦点在轴上；若，则
8、方程为圆的方程.11. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，CC1的中点，MB1P的顶点P在棱CC1与棱C1D1上运动，则（ ）A. 平面MB1PND1B. 平面MB1P平面ND1A1C. MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值D. MB1P在侧面DD1C1C上的射影图形是三角形【答案】BC【解析】【分析】A. 由重合时判断；B. 结合由正方体的性质，利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理判断C. 由MB1P在底面ABCD上的射影的三角形的底边是MB，点P的射影到MB的距离不变判断；D. 由重合时判断.【详解】A. 当重合时，平面MB1PND1不可能，
9、故错误；B. 由正方体的性质得,所以MB1平面ND1A1 ，又平面MB1P，所以平面MB1P平面ND1A1，故正确；C. MB1P在底面ABCD上的射影的三角形的底边是MB，点P在底面ABCD上的射影在DC上，所以点P当MB的距离不变，即射影图形的面积为定值，故正确；D. 当重合时，在侧面DD1C1C上的射影重合，所以射影不能构成三角形，故错误；故选：BC【点睛】本题主要考查直线与平面，平面与平面的位置关系以及投影的概念，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题.12. 已知函数的定义域为R，且对任意xR，都有及成立，当且时，都有成立，下列四个结论中正确的是（ ）A. B. 函数在区间上为增函数C.
10、 直线是函数的一条对称轴D. 方程在区间上有4个不同的实根【答案】ACD【解析】【分析】由，得到函数为偶函数，又由当且时，都有成立，得到在为增函数，再根据，得出函数为周期为4的函数，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，以为对于任意，都有，可得函数为偶函数，又因为当且时，都有成立，可得函数在区间为增函数，又由，令，可得，解得，所以，所以函数是周期为4的周期函数，则函数的图形，如图所示，由图象可得，所以A正确；函数在区间上为减函数，所以B不正确；直线是函数的一条对称轴，所以C正确；方程在区间上，共有个不同的实数根，所以D正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合
11、应用，此类问题解答的一般步骤为：先确定函数的定义域，再化简解析式，求出函数的解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数相似，根据函数的定义域和解析式画出函数的图象，结合函数的图象再分析函数的性质进行求解.三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 语文里流行一种特别的句子，正和反读起来都一样的，比如：“上海自来水来自海上”、“中山自鸣钟鸣自山中”，那么在所有的4位数中符合这个规律且四个数字不能都相同的四位数有_种【答案】81【解析】【分析】根据题意可知求4位数的回文数且四个数字不能都相同，由分步计数原理即可求解【详解】设4位数的回文数为，即可知4位数的回文数为，又因为四个数字不
12、能都相同，需减掉，即形如共，所以故答案为【点睛】本题考查分步计数原理，同时需理解“回文数”，属于基础题14. 双曲线的渐近线方程为_，设双曲线经过点(4,1),且与双曲线具有相同渐近线,则双曲线的标准方程为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】(1)由焦点在轴上的双曲线的渐近线方程可得；(2)设,代入点求得即可.【详解】(1)双曲线的焦点在轴上,且,渐近线方程为,故渐近线方程为 故答案为(2)由双曲线与双曲线具有相同渐近线,可设,代入有,故,化简得故答案为【点睛】本题主要考查双曲线渐近线的方程为, 与共渐近线方程可设为15. 若，则_.【答案】【解析】【分析】先逆用两角和的正弦得到，
13、令，则的值即为的值，利用二倍角的余弦值可求此值.【详解】由可以得到，所以，设，则则，所以.故答案为.【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.16. 在直三棱柱中，且，设其外接球的球心为O，已知三棱锥O-ABC的体积为2，则球O的表面积的最小值是_【答案】【解析】【分析】设，则，取，的中点分别为，外接球的球心为，则为的中点即为三棱柱外接球的球心，由三棱锥的体积可得，表示出，根据基本不
14、等式即可得到球的表面积的最小值【详解】如图，在中，设，则，取，的中点分别为，则，分别为和的外接圆的圆心，连接，又直三棱柱的外接球的球心为，则为的中点，连接，则为三棱柱外接球的半径设半径为，因为直三棱柱，所以，所以三棱锥的高为2，即，又三棱锥体积为2，所以在中，所以，当且仅当时取“=”，所以球的表面积的最小值是，故答案为.【点睛】本题主要考查借助直三棱柱的外接球，考查了基本不等式、球的表面积等，属于中档题三、解答题:本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知数列的前n项和为,（nN*）（1）证明数列是等比数列，求出数列的通项公式；（2）数列中是否存在三项，它们可
15、以构成等差数列？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析，；(2)不存在【解析】【分析】(1)由可求出、以及，即可证明数列是等比数列，进而写出的通项公式；(2)假设数列中存在三项构成等差数列：，、，由等差中项性质，结合(1)的通项公式有即出现矛盾，即不存在【详解】(1)当时，即当时，即所以数列是首项为6，公比为2的等比数列数列的通项公式为(2)若存在，令，、三项成等差数列，即，即，且、是偶数，而是奇数，故不成立故数列中不存在三项构成等差数列【点睛】本题考查了利用与的关系式求数列通项公式，注意时，求通项公式时需要验证是否也符合公式；应用等差中项的性质证法证明数列
16、中三项构成等差数列的存在性.18. 已知点，设，其中为坐标原点.（1）设点在轴上方，到线段所在直线的距离为，且，求和线段的大小；（2）设点为线段的中点，若，且点在第二象限内,求的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）过点作的垂线，垂足为点，可得出，由锐角三角函数的定义求出，可得出为等边三角形，可求出的值，然后在中利用余弦定理求出；（2）由题中条件求出、的坐标，化简的解析式为，再根据的取值范围，结合余弦函数的定义域与基本性质可求出的取值范围.【详解】（1）过作的垂线，垂足为，则，在直角三角形中，又，所以为正三角形.所以，从而.在中，；（2），点为线段的中点，且点在第二象限内，
17、从而，则，因为，所以，从而，因此，的取值范围为.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算与三角恒等变换的综合问题，同时也考查了三角函数的值域问题，在解题时应充分利用三角恒等变换思想将三角函数式化简，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19. 如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，是的中点.（1）证明：；（2）若，求二面角平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，可得，即面，即可得证；（2）以 为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，显然二面角是锐二面角，利用二面角的向量公式即可求出.【详解】（1）如图，取的中点，连接， 为等边三角形， ，是的中
18、点，面，面，面，.（2）如图，以 为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设，设面的法向量为：，则由 得： ，设面的法向量为：，则由 得： ，二面角平面角的余弦值为：.【点睛】（1）证明异面直线垂直，可以构造一个平面，先证明线面垂直，再得线线垂直；（2）求二面角的平面角一般利用空间向量求解，建系之前如果没有三条线两两垂直关系，要先经过证明再建系，关键是点的坐标要找对，一般中点和等分点可以利用向量求解点的坐标.20. 如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图：（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明;（2）建立y关于t回归方程（
19、系数精确到0.01），预测2020年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：，参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，【答案】(1) ，y与t有高度线性正相关关系；(2) ，2020年我国生活垃圾无害化处理量约为2.22亿吨【解析】【分析】应用相关系数公式求其值，由说明y与t有高度线性正相关性；利用最小二乘法公式求回归方程的参数，写出回归方程，进而预测2020年我国生活垃圾无害化处理量【详解】(1)由相关系数公式知：，而，而综上，有y与t有高度线性正相关关系(2) 由，知：而，知：系数精确到0.01有：，则回归方程为2020年我国生活垃圾无害化处理量，即时，(亿吨)【
20、点睛】本题考查了相关系数的计算，利用最小二乘法求回归方程参数并写出回归方程并计算预测值，属于简单题21. 已知椭圆的左、右焦点为、，若圆Q方程，且圆心Q在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）已知直线交椭圆于A、B两点，过直线上一动点P作与垂直的直线交圆Q于C、D两点，M为弦CD中点，的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明你的理由【答案】（1）（2）为定值，定值是【解析】【分析】（1）由椭圆的定义求得，再根据焦点坐标得，再由得到的值，从而得到椭圆的方程；（2）设，将直线的方程代入椭圆方程，利用弦长公式求得；由题设条件得，从而有，所以的面积为定值，利用面积公式可得答案.【详解】解：（
21、1）由题意可知：，椭圆的方程为.（2）设，由消去y，得，,M为线段CD中点，又，又点Q到的距离，.【点睛】本题考查利用待定系数法求椭圆的方程、直线与椭圆位置关系中的定值问题，考查坐标法思想、数形结合思想的应用，考查运算求解能力，求解过程中注意平面几何知识的应用，即两平行线间的距离处处相等.22. 已知函数 (1)判断函数在上的单调性(2)若恒成立，求整数的最大值(3)求证：【答案】（1）函数在上为减函数 （2）整数的最大值为3 （3）见解析【解析】【分析】（1）由导数的应用，结合，得函数在上为减函数；（2）原命题可转化为即恒成立，即，再构造函数，利用导数求其最小值即可；（3）由（2）知，令，再求和即可证明不等式，得解.【详解】解：（1）因为，所以，又因为 ，所以，所以 ，即函数在上减函数；（2）由恒成立，即恒成立，即，设， 所以，令，则，即在为增函数，又 ，即存在唯一的实数根，满足，且，当时，当时，即函数在为减函数，在为增函数，则，故整数的最大值为3；（3）由（2）知，令，则 ，则=，故【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性、构造函数求解不等式恒成立问题及利用证明的结论证明不等式，属综合性较强的题型.
