1、函数问题一、命题陷阱1.定义域陷阱2.抽象函数的隐含条件陷阱3.定义域和值域为全体实数陷阱4.还原后新参数范围陷阱5.参数范围漏解陷阱6.函数求和中的倒序求和陷阱7.分段函数陷阱8.函数的解析式求法9.恒成立问题求参数范围问题二例题分析及防范措施1.定义域陷阱例1已知，且，函数的定义域为， 的定义域为，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】B故选B【防陷阱措施】与函数有关问题要先求定义域练习1下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）A. 与B. 与C. 与D. 与【答案】D练习2.下面各组函数中为相同函数的是_.（填上正确的序号）， ， ， ， 【答案】【解析】对于，函数的定义域为，故两函数
2、的定义域不同，不是相同函数。对于，由于两函数的定义域不同，故不是相同函数。对于，两函数的定义域、解析式都相同，故是相同函数。对于， = ，故两函数的解析式不同，故不是相同函数。综上正确。答案：练习3.若函数的定义域是，则函数的定义域是_【答案】【解析】函数y=f（x）的定义域是0，3，由02x3，得， 则由，解得 函数g（x）=的定义域是（0， 故答案为： 练习4.已知，则函数的定义域为_.【答案】(4，1)(1,4)2.抽象函数的隐含条件陷阱例2.函数对一切实数均有成立，且.（1）求的值；（2）在上存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）令，则 ；（2）令，易
3、得： .在上存在，使得成立，等价于方程在有解.即.设函数.【防陷阱措施】分析抽象函数隐含的性质及变量范围练习1.定义在上的函数满足 ， ， 等于（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】 因为， ， 所以令，得，所以， 再令，得，所以，故选A.3.定义域和值域为全体实数陷阱例3.已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【防陷阱措施】分析定义域和值域的区别，找到运用的最值练习1.已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数，若的值域为，只需取满，当时， ，值域为R 符合题意；当时，只需 ，解
4、得，综上可知.练习2.若函数的值域为，则实数的取值范围是_【答案】【解析】因为在 上是递减函数， 有最小值,所以的取值范围是，因为在上递减，所以,即在上的取值范围是，因为函数的值域为，所以， ，实数的取值范围是，故答案为.练习3.若函数的定义域为，则实数的取值范围是_【答案】练习4.若函数f(x)的定义域为R，则m的取值范围为_【答案】练习5.命题实数满足,命题函数的定义域为，若命题为假， 为真，求实数的取值范围.【答案】或或.【解析】试题分析：分别求出当命题为真命题时的取值范围，由为假， 为真可得则“真假”或“假真”，分两种情况分别求解即可。试题解析：当命题为真时，即，解得或；当命题为真时，
5、可得对任意恒成立，若，则满足题意 若，则有，解得, 所以， 为假， 为真，“真假”或“假真”， 当真假时，则，解得 或 当假真时，则，解得 综上或或。实数的取值范围是。4.还原后新参数范围陷阱例4.函数的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【防陷阱措施】凡是换元，都必须考虑新参数的范围练习1.已知x0，函数f(x)满足，则_.【答案】【解析】因为，所以，故答案为.练习2. 设，那么的解析式_，定义域为_.【答案】 5.参数范围漏解陷阱例5已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【防陷阱措施】分类讨论要做到不重不漏练习1已知函数的值域是，则实
6、数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】 当 时， 由解得 要使函数在 的值域是 则 ，故选C练习2.若函数yx23x4的定义域为0，m，值域为，则m的取值范围是()A. (0,4 B. C. D. 【答案】C【解析】当x0，x3时，y4，当x时，y.m，选C.练习3对实数，定义运算“”： 设函数，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得 ，函数的图象如下图所示：函数的图象与轴恰有两个公共点，即函数与的图象有2个交点，由图象可得或，故选A.练习4.已知函数若存在， 且，使得成立，则实数的取值范围是_【答案】练习
7、5.已知函数，若且，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题可知 ，由于，由，由，又，所以，从而， ，故选D。练习6.已知是上的奇函数，当时， .若在区间上的值域为，则实数的取值范围是_【答案】当，令，即，解得，或（舍去）。结合图象可得，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是.答案： 6.函数求和中的倒序求和陷阱例6. 已知函数 ，则_.【答案】【防陷阱措施】求较多函数值之和时要注意利用函数图象的对称性，找到定值，然后求解练习1.已知函数（1）求的值，并计算；求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析; （1）利用函数表达式，能求出的值,进而得到（2）由（1）可得，
8、则可证明则可求出的值.试题解析;（1） 练习2. 已知函数f(x).(1)求f(2)与f， f(3)与f；(2)由(1)中求得结果，你能发现f(x)与f有什么关系？并证明你的发现；(3)求f(1)f(2)f(3)f(2013)fff.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3) .【解析】试题分析：（1）利用 .，代入计算，求与， 与的值；（2） 利用，即可证明；（3）利用，可得结论试题解析：(1)f(x)，f(2)，f，f(3)，f.(2)由(1)发现f(x)f1.练习3. 已知，且对于任意的实数有，又，则_。【答案】2018【解析】对于任意的实数有，又，令 又， 故答案为2018.7.分
9、段函数陷阱例1. 已知函数则不等式的解集是_.【答案】【防陷阱措施】分段函数查，根据分段函数，对进行分情况讨论，最后是解具体不等式求解.练习1.已知函数则_.【答案】【解析】由题意可得： .练习2. 已知函数，则_【答案】2【解析】根据分段函数的表达式得到，要将-9化到的范围内才能求值； 故答案为：2.8.函数的解析式求法例1. 已知二次函数满足，且.（1）求函数的解析式；（2）令， 若函数在区间上不是单调函数，求实数的取值范围；求函数在区间的最小值.【答案】（1）；（2）； 【解析】由已知令；（1） 又（2）=其对称轴为， ， 当 当 当 综上， 【防陷阱措施】（1）设二次函数一般式，代入条
10、件，根据恒等式成立条件，利用待定系数法确定参数，即得解析式（2）即对称轴必在定义区间内（不含端点），解不等式可得实数的取值范围；根据对称轴与定义区间位置关系，分三者情况讨论最小值取法练习1.（1）已知，求在上的值域.（2）已知是一次函数，且满足，求的解析式.【答案】(1) ；(2) .【解析】(1)由函数的解析式可得函数单调递增，据此计算端点处的函数值可得函数在上的值域是；(2)利用待定系数法设函数的解析式为，由题意得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得函数的解析式是.试题解析：9.恒成立问题求参数范围问题例9. 已知是定义在上的奇函数，且当时， .（1）求函数的解析式，并画出函数的图象；
11、（2）若不等式对恒成立，求的取值范围.【答案】（1），图象见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）根据函数的奇偶性求解析式， 时， 0， ，最后分段写出即可。（2）根据函数的单调性得到： 等价于，转化为恒成立求参的问题，变量分离求函数最值即可。（1）当时， ， ，又是奇函数， ，故；当时， ，满足的解析式；故的图象为【防陷阱措施】把恒成立问题转化为最值问题练习1. 已知函数，（其中为常数且）的图象经过点（1）求的解析式（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由题意得，即可求解的解析式；（2）设，根据在上为减函数，得到，再由在上恒成立，得，即可求解实数的取值范围.试题解析：
