1、6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理课后训练提升基础巩固1.若向量e1,e2是平面内的一组基底,则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()A.e1-e2,2e2-2e1B.e1-e2,e1+e2C.2e2-e1,-2e2+e1D.2e1+e2,4e1+2e2解析不共线的向量才能作为基底,因为e1-e2=-12(2e2-2e1),所以向量e1-e2,2e2-2e1共线,排除A;因为2e2-e1=-(-2e2+e1),所以2e2-e1,-2e2+e1共线,排除C;因为2e1+e2=12(4e1+2e2),所以2e1+e2,4e1+2e2共线,排除D.故选B.答案B2.已知向量
2、a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1,e2不共线,则a+b与c=6e1-2e2的关系是()A.不共线B.共线C.相等D.不确定解析a+b=3e1-e2,c=2(a+b).a+b与c共线.答案B3.如图所示,在矩形ABCD中,BC=5e1,DC=3e2,则OC等于()A.12(5e1+3e2)B.12(5e1-3e2)C.12(3e2-5e1)D.12(5e2-3e1)解析OC=12AC=12(BC-BA)=12(BC+DC)=12(5e1+3e2).答案A4.设D为ABC所在平面内一点,BC=3CD,则()A.AD=-13AB+43ACB.AD=13AB-43ACC.AD=43AB+1
3、3ACD.AD=43AB-13AC解析由题意得AD=AC+CD=AC+13BC=AC+13AC-13AB=-13AB+43AC.答案A5.已知A,B,D三点共线,且对任一点C,有CD=43CA+CB,则等于()A.23B.13C.-13D.-23解析因为A,B,D三点共线,所以存在实数t,使AD=tAB,则CD-CA=t(CB-CA).所以CD=CA+t(CB-CA)=(1-t)CA+tCB.所以1-t=43,t=,解得=-13.答案C6.设点D为ABC中BC边上的中点,O为AD边上靠近点A的三等分点,则()A.BO=-16AB+12ACB.BO=16AB-12ACC.BO=56AB-16AC
4、D.BO=-56AB+16AC解析依题意,得BO=AO-AB=13AD-AB=1312(AB+AC)-AB=-56AB+16AC.故选D.答案D7.已知a=e1+e2,b=2e1-e2,c=-2e1+4e2(e1,e2是同一平面内的两个不共线向量),则c=.(用a,b表示)解析设c=a+b,R,则-2e1+4e2=(e1+e2)+(2e1-e2)=(+2)e1+(-)e2.因为e1,e2不共线,所以-2=+2,4=-,解得=2,=-2,故c=2a-2b.答案2a-2b8.如图,在MAB中,C是边AB上的一点,且AC=5CB,设MA=a,MB=b,则MC=.(用a,b表示)解析MC=MA+AC=
5、MA+56AB=MA+56(MB-MA)=16MA+56MB=16a+56b.答案16a+56b9.向量a在基底e1,e2下可以表示为a=2e1+3e2,若a在基底e1+e2,e1-e2下可表示为a=(e1+e2)+(e1-e2),则=,=.解析由条件,可知+=2,-=3,解得=52,=-12.答案52-1210.如图,在OAB中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取点D,使DB=13OB,设OA=a,OB=b,用a,b表示向量OC,DC.解OC=OA+AC=OA+BA=OA+OA-OB=2a-b.DC=OC-OD=OC-23OB=2a-b-23b=2a-53b.11.已知单位圆O上的两点A
6、,B及单位圆所在平面上的一点P,OA与OB不共线.(1)在OAB中,若点P在AB上,且AP=2PB,若AP=rOB+sOA,求r+s的值;(2)P满足OP=mOA+OB(m为常数),若四边形OABP为平行四边形,求m的值.解(1)AP=2PB,AP=23AB,AP=23(OB-OA)=23OB-23OA,又AP=rOB+sOA,r=23,s=-23,r+s的值为0.(2)如图,四边形OABP为平行四边形,OB=OP+OA,又OP=mOA+OB,OB=OB+(m+1)OA,依题意OA,OB是非零向量且不共线,m+1=0,解得m=-1.能力提升1.已知非零向量OA,OB不共线,且2OP=xOA+y
7、OB.若PA=AB(R),则x,y满足的关系式是()A.x+y-2=0B.2x+y-1=0C.x+2y-2=0D.2x+y-2=0解析由PA=AB,得OA-OP=(OB-OA),即OP=(1+)OA-OB.又2OP=xOA+yOB,且非零向量OA,OB不共线,x=2+2,y=-2,消去得x+y=2.故选A.答案A2.在ABC中,N是AC边上一点,且AN=12NC,P是BN上的一点,若AP=mAB+29AC,则实数m的值为()A.19B.13C.1D.3解析如图,因为AN=12NC,所以AN=13AC,AP=mAB+29AC=mAB+23AN.因为B,P,N三点共线,所以m+23=1,所以m=1
8、3.故选B.答案B3.如图所示,|OA|=|OB|=1,|OC|=3,AOB=60,OBOC,设OC=xOA+yOB,则()A.x=-2,y=-1B.x=-2,y=1C.x=2,y=-1D.x=2,y=1解析过点C作CDOB交AO的延长线于点D,连接BC(图略).由|OB|=1,|OC|=3,AOB=60,OBOC,知COD=30.在RtOCD中,可得OD=2CD=2,则OC=OD+OB=-2OA+OB,即x=-2,y=1.故选B.答案B4.若OP1=a,OP2=b,P1P=PP2(-1),则OP等于()A.a+bB.a+(1-)bC.a+bD.11+a+1+b解析P1P=PP2,OP-OP1
9、=(OP2-OP),(1+)OP=OP1+OP2,OP=11+OP1+1+OP2=11+a+1+b.故选D.答案D5.已知向量AB与AC的夹角为120,且|AB|=2,|AC|=3.若AP=AB+AC,且APBC,则实数的值为()A.37B.13C.6D.127解析AB与AC的夹角为120,且|AB|=2,|AC|=3,ABAC=|AB|AC|cos 120=23-12=-3.APBC,APBC=0,APBC=(AC+AB)(AC-AB)=AC2-AB2+(-1)ABAC=0,32-22+(-1)(-3)=0,解得=127.故选D.答案D6.如图,平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与O
10、B的夹角为120,OA与OC的夹角为30,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23.若OC=OA+OB(,R),求+的值.解如图,以OC为对角线作OMCN,使得M在直线OA上,N在直线OB上,则存在,使OM=OA,ON=OB,即OC=OM+ON=OA+OB.在RtCOM中,|OC|=23,COM=30,OCM=90,|OM|=4,OM=4OA.又|ON|=|MC|=2,ON=2OB,OC=4OA+2OB,即=4,=2.+=6.7.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b可以作为一组基底;(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式;(3)
11、若4e1-3e2=a+b,求,的值.解(1)证明:若a,b共线,则存在R,使a=b,则e1-2e2=(e1+3e2).(1-)e1-(3+2)e2=0.e1,e2不共线,1-=0,3+2=0,该方程组无解,不存在,故a与b不共线,可以作为一组基底.(2)设c=ma+nb(m,nR),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.m+n=3,-2m+3n=-1,解得m=2,n=1.c=2a+b.(3)由4e1-3e2=a+b,得4e1-3e2=(e1-2e2)+(e1+3e2)=(+)e1+(-2+3)e2.+=4,-2+3=-3,解得=3,=1.故所求,的值分别为3,1.
