1、第五节 直接证明与间接证明第五节 直接证明与间接证明 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1直接证明(1)综合法利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的_，最后推导出所要证明的结论_，这种证明方法叫做综合法推理论证成立框图表示即 PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ(其中 P 表示已知条件，Q 表示结论)(2)分析法定义：从_出发，逐步寻求使它成立的_直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法 框 图 表 示：QP1 P1P2 P2P3 得到一个明显成立的条件.结论充
2、分条件2间接证明(1)反证法：假设原命题_，经过正确的推理，最后得出_，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法(2)反证法中的矛盾主要是指：与_矛盾；与_、_、_、_或_矛盾；与_矛盾；与题设矛盾不成立矛盾假设数学公理定理公式定义已被证明了的结论公认的简单事实思考感悟综合法和分析法有什么区别和联系？提示：分析法是执果索因，一步步寻求上一步成立的充分条件，仅是充分条件，而不需要充要条件综合法是由因导果因此分析法的证明过程，恰好是综合法的分析、思考的逆过程课前热身 1(2011年扬州调研)用反证法证明“如果 ab，那么3 a3 b”，假设内容应是_答案：3 a3 b 2设
3、alg2lg5，bex(x0)，则a与b的大小关系为_答案：ab3 设 a、bR，已 知 命 题 pa b；命 题q(ab2)2a2b22，则 p是 q成立的_条件答案：充分不必要4已知 a，b 是不相等的正数，x a b2，y ab，则 x，y 的大小关系是_答案：x0，故只要证 a2 1a22 2a1a 2 2，即 a2 1a24 a2 1a24a22 1a22 2(a1a)2.从而只要证 2 a2 1a2 2(a1a)，只要证 4(a2 1a2)2(a22 1a2)，即 a2 1a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立【名师点评】用分析法证题时，一定要严格按格式书写，否则极易出错证明
4、：因为 a，bR，ab1，要证(a2)2(b2)2252，变式训练 2 已知 a，bR，ab1，求证：(a2)2(b2)2252.只需证 a2b24(ab)8252a2b212a2(1a)212(a12)20，(a12)20 显然成立，故(a2)2(b2)2252 成立.反证法 1用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须要罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)
5、推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的2常见的“结论词”与“反设词”如下：原结论词 反设词 原结论词 反设词 至少有一个 一个也没有 对所有x成立 存在某个x不成立 至多有一个 至少有两个 对任意x不成立 存在某个x成立 至少有n个 至多有n1个 p或q p且q 至多有n个 至少有n1个 p且q p或q 已知 a，b，c，dR，且 adbc1，求证：a2b2c2d2abcd1.例3【思路分析】本题要证的结论是以否定形式给出的，并且从正面入手不太好处理，因此想到了使用反证法来证明【证明】假设 a2b2c2d2abcd1.adbc1，a
6、2b2c2d2abcdadbc.a2b2c2d2abcdbcad0.2a22b22c22d22ab2cd2bc2ad0.(ab)2(bc)2(cd)2(ad)20.ab0，bc0，cd0，ad0，abcd0，adbc0 这与 adbc1 矛盾，从而假设不成立，原命题成立，即 a2b2c2d2abcd1 成立【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器方法感悟 方
7、法技巧1综合法是“由因导果”，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法综合法格式：从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就是顺推法的格式，它的常见书面表达是“，”或“”2分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件，因此分析法又叫做逆证法或执果索因法分析法格式：与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等等)这种证明方法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的，它的常见书面表达是“要证，
8、只需证”或“”3应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤：第一步：分清命题“pq”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相矛盾的假设q；第三步：由p和q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假设q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题pq为真所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等各种情况失误防范1综合法与分析法的推理过程正好相反，因而易混淆两种证明方法的推理过程2反证法证明问题时，假设相反的结论时，容易设错，不符合题意造成推理错误考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年的江苏
9、高考试题来看，综合法、反证法证明问题是高考的热点，题型大多为解答题，难度为中、高档题；主要是在知识点交汇处命题，像数列、立体几何中的平行、垂直，不等式、解析几何等都有可能考查，在考查数学基本概念的同时，注重考查等价转化，分类讨论思想以及学生的逻辑推理能力预测2012年江苏高考仍将以综合法证明为主要考点，偶尔会出现反证法证明题目，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力规范解答(本题满分14分)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点(1)若CD2，平面ABCD平面DCEF，求MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线例【解】(1)取CD的中
10、点G，连结MG，NG.因为四边形 ABCD，DCEF 为正方形，且边长为 2，2 分所以 MGCD，MG2，NG 2.因为平面 ABCD平面 DCEF，所以 MG平面 DCEF.可得 MGNG.4 分所以 MN MG2NG2 6.6 分(2)证明：连结 EN，假设直线 ME 与 BN 共面，则 AB平面 MBEN，且平面 MBEN 与平面DCEF 交于 EN.由已知，两正方形不共面，故 AB平面 DCEF.8 分又 ABCD，所以 AB平面 DCEF.而 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线，所以 ABEN.10 分又 ABCDEF，所以 ENEF.12 分这与 ENEFE 矛盾，
11、故假设不成立所以 ME 与 BN 不共面，它们是异面直线.14 分【名师点评】推理证明在数学大多数题目中是必需要用到的解题思维，明确推理论证的方法，熟悉其思维过程对解题至关重要，如本例利用反证法证明问题，必须明确反证法的解题步骤名师预测 1下列条件：ab0，ab0，a0，b0，a0，b0，其中能使baab2 成立的条件的个数是_答案：32已知 a，b，cR，且 abc0，abc0，则1a1b1c的值的符号为_解析：(abc)2a2b2c22(abbcca)0，又 abc0，a，b，c 均不为 0，a2b2c20，abbcca0，1a1b1cabbccaabc0.答案：负3设函数 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，若 f(1)1，f(2)3a4a1，则 a 的取值范围是_解析：f(x)以 3 为周期，所以 f(2)f(1)，又 f(x)是 R 上的奇函数，f(1)f(1)，则 f(2)f(1)f(1)，再由 f(1)1，可得 f(2)1，即3a4a1 1，解得1a34.答案：(1，34)4欲证命题“若a，b都是偶数，则ab是偶数”为真，则应假设的内容是：_.答案：ab不是偶数本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
