1、教学内容学习指导即使感悟【学习目标】1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。会判断函数的奇偶性。能利用函数的奇偶性解决有关问题。2、结合具体函数，了解函数周期性的含义。会判断函数的周期。能利用函数的周期性解决有关问题。【学习重点】奇偶性的含义，用函数的性质解决有关问题【学习难点】奇偶性的含义，用函数的性质解决有关问题【回顾知识】奇偶性定义图象特点偶函数如果函数 f(x)的定义域内 x 都有 ，那么函数f(x)是偶函数.关于 对称奇函数如果函数f(x)的定义域内 x都有 ，那么函数f(x)是奇函数关于 对称一、函数的奇偶性1、定义及图象特点2、判断函数的奇偶性的步骤(1) 判断函数的定义域是否关
2、于原点对称(若是执行(2)，若否为非奇非偶)(2)判断f(x)与f(x)间的关系(相等为偶函数，相反为奇函数)3、结论：(1)定义域含零的奇函数有f(0)0(可用于求参数)；若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性(2)奇函数在对称的两个单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的两个单调区间内有相反的单调性二、函数的对称性如果函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)，则函数f(x)的图象关于直线 对称。一般的，若f(a+x)=f(b-x)，则函数f(x)的对称轴方程是 。三、函数的周期性1、函数的周期性的定义：设函数y=f(x),xD，若存在非零常数T，使
3、得对任意的xD都有 ，则函数f(x)为周期函数，T为y=f(x)的一个周期.2、几个结论(1) f(x+a)=-f(x) T= (2) f(x+a)= T= (3) f(x+a)= T= 二、基础自测：1、已知f(x)ax2bx是定义在上的偶函数，那么ab的值是(B)A B CD2、已知f(x)是奇函数，则实a的值等于(A) A1 B1 C0 D13、(2009年陕西卷)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2(x1x2)，有0，则(A)Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(1)f(2)4、已知偶函数f(x)在区间且在闭区间上，只有
4、(）试判断函数的周期性；(）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论.解：易知，对任意实数xR,恒有f(4-x)=f(x)且f(14-x)=f(x).f(4-x)=f(14-x).即f(4-x)=f.f(x+10)=f(x).即函数f(x)在R上是以10为周期的周期函数。【1】 由f(10+x)=f(x),及f(3)=0可知，f(-3)=f(7)。若f(-3)=f(3)=0.则f(7)=0.这与题设“在上仅有f(1)=f(3)=0”矛盾。f(-3)f(3).若f(-3)+f(3)=0.同样有f(7)=0.矛盾。f(3)+f(-3)0.综上可知，在R上，函数f(x)非奇非偶。【2】 【2】由
5、f(10+x) =f(x)及题设“在上，仅有f(1)=f(3)=0“可知，f=f=0.(k,mZ).由此可得-20081+10k2008,且-20083+10m2008.=-200.9k200.7且-201.1m200.5=k=-200,-199,-198,.199,200.计401个。m=-201,-200,-199,.198,199,200.计402个。满足题设的解共有803个。例3、函数f(x)是定义在(1,1)上的奇函数， f.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(1,1)上是增函数；(3)解不等式f(t1)f(t)0.解析：f（x）=(ax+b)/( x2+1)
6、是奇函数，f(-x)=-f(x)(-ax+b)/(x2+1)=- (ax+b)/(x2+1),-ax+b=-ax-b, b=-b,所以b=0.又f(1/2)=2/5，所以(a/2)/(1/4+1)=2/5,a=1.f(x)=x/(x2+1).(2)设任意-1x1x20 x1(1+x22)-x2(1+x12)=x1+x1x22-x2-x2x12=x1x2(x2-x1)+(x1-x2)=(x2-x1)(x1x2-1)(x2-x1)0(x1x2-1)0所以：f(x1)-f(x2)0f(x1)f(x2)x1x2所以：f（x）在（1，1）上是增函数 (3)f(0)=0,化为f(t-1)-f(t)又f(x
7、)是奇函数f(t-1)f(-t)由已知得-1t-11-1-t1t-11时ax是增函数，a(-x)递减，因此-a(-x)递增,二增函数在其公共定义域上的和是增函数，a/(a2-1)0，f(x)都是增函数。【拓展延伸】1、函数的图象关于 ( D )A.轴成轴对称图形B.轴成轴对称图形C.直线轴成轴对称图形D.原点成中心对称2、奇函数的定义域为,若当时, 的图象如下图,则不等式的解是. 3、设f(x)是定义在R上的偶函数,它的图象关于直线对称,已知时,函数f(x)=,则时,f(x)=-x2-8x-154、(2008年湖北卷)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(7)等于_-2_回顾知识
