1、一陷阱类型1.三角函数的图像变换2.单调性求法3.与三角函数有关的图像问题4.新定义下的三角函数5.三角函数的对称性6.利用三角函数的性质求值7.已知图像求解析式8.性质的综合应用9.五点作图法10.三角函数中的参数范围及最值问题二防陷阱举例1.三角函数的图像变换例1若将函数的图像向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为A. B. C. D. 【答案】B【防陷阱措施】三角函数的图象变换,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也常出现在题目中,所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数;函数是偶函数;函数是奇函数;函数是偶函数.练习1已知函数的最小正
2、周期为,且取图象向右平移个单位后得到函数的图象,则( )A. B. C. D. 【答案】A练习2把函数的图像向右平移个单位就得到了一个奇函数的图像,则的最小值是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】将函数的图象向右平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数,则,即,故 时, 的最小正值为,故选D.2.单调性求法例2. 对于函数f(x)sin2xsin2x有以下三种说法:(,0)是函数yf(x)的图象的一个对称中心;函数yf(x)的最小正周期是;函数yf(x)在, 上单调递减其中说法正确的个数是()A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】由题意得,f(x)= sin2xsi
3、n2x=sin2x (1cos2x)=sin(2x+)其对称中心横坐标满足2x+=k(kZ)即x=+,所以对称中心为:(+,)所以中,纵坐标不对,错;最小正周期T=,正确;当x, 时, 2x+,,为减区间,正确。故选:C.3.与三角函数有关的图像问题例3. 函数的图象大致为()A. B. C. D. 【答案】D【防陷阱措施】已知函数的解析式识别函数的图象时,往往从函数的定义域、单调性、对称性(周期性)、值域或最值、特殊点函数值等方面进行判定,如本题中先通过定义域排除选项A,再通过特殊函数值进行排除.练习1已知,函数的部分图象如图所示,则函数图象的一个对称中心是A. B. C. D. 【答案】C
4、【解析】由题意得.由图象得,。,又,解得。 。令,解得。当时, 。故是函数图象的一个对称中心。选C。点睛:由图象确定函数解析式的方法(1)由图象上的最高(低)点的纵坐标确定。(2)由周期T确定,根据图象得到函数的周期T,由求出。(3)的求法通常有以下两种:代入法:把图象上的一个已知点代入(此时已知),或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间)五点法:确定值时,往往以寻找“五点法”中的零点作为突破口,具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为;“第二点”(即图象的“峰点”)为;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为;“第四点”(即图象的“谷
5、点”)为;“第五点”为。练习2已知函数的部分图象如图所示,其中,将的图象向右平移个单位,得到函数的图象,则的解析式是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意, ,得,则, ,又,得, ,所以,则,故选A。练习3.函数的部分图象如图所示,则的单调递减区间为A. B. C. D. 【答案】D练习4函数的部分图象大致是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数为奇函数,排除C,又且当 时, 排除A,D;故选B.练习5函数且的图象可能为( )A. B. C. D. 【答案】D【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质,属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方
6、向,该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循. 解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势,利用排除法,将不合题意的选项一一排除.练习6函数在的图象为( )A. B. C. D. 【答案】A4.新定义下的三角函数例4已知函数 , ,若函数在区间内没有零点,则的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由行列式的定义可得: ,当时, , ,即不合题意,据此可排除BC选项;当时, ,函数的零点满足: ,则: ,取可得函数两个连续的零点为: ,此时函数在区间内没有零点,排除A选项;本题选择D选项.【防陷
7、阱方法】重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形练习1定义运算,将函数的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数为偶函数,则的最小值是( )A. B. C. D. 【答案】B5.三角函数的对称性例5. 已知函数 与轴的交点为,且图象上两对称轴之间的最小距离为,则使成立的的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】A可得:函数
8、图象关于x=t对称求|t|的最小值即可是求对称轴的最小值,f(x)=2sin(2x+ )的对称轴方程为:2x+ = (kZ),可得:x=时最小,故答案为:A .练习1已知A,B,C,D,E是函数ysin(x) 一个周期内的图象上的五个点,如图,A,B为y轴上的点,C为图象上的最低点,E为该函数图象的一个对称中心,B与D关于点E对称, 在x轴上的投影为,则,的值为()A. 2, B. 2,C. , D. ,【答案】A【解析】根据题意, ,所以,则,又,则,故选A。练习2已知函数(, ), ,若的最小值为,且的图象关于点对称,则函数的单调递增区间是( )A. , B. , C. , D. , 【答
9、案】B【解析】由题意可知的周期,则, 的图象关于点对称,则,因为,则,则,由,解得: , ,函数的单调递增区间是, ,选B.练习3.将函数向左平移个单位长度,则所得函数的一条对称轴是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得,向左平移个单位长度后所得图象对应的解析式为,由绝对值函数图象的特点知,所得函数的图象与x轴的交点和最值点都是函数对称轴经过的点,所以平移后所得函数图象的对称轴为,当时,函数图象的一条对称轴为。选C。练习4已知函数,且,又,则函数的图象的一条对称轴是( )A. B. C. D. 【答案】A6.利用三角函数的性质求值例6. 已知(, , )是定义域为的奇函数,且
10、当时, 取得最大值2,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】是奇函数, 当时, 取最大值则故选【防陷阱措施】由条件利用正弦函数的奇偶性求得,再根据当时, 取得最大值,求出,可得的解析式,再根据它的周期性,即可求得所给式子的值。练习1. 已知,则( )A. B. C. D. 【答案】B有: 所以.故选B.练习2. 已知函数,若存在满足,且,则的最小值为_【答案】8练习3. 已知,数列满足,则_【答案】20097.已知图像求解析式例7. 已知函数f(x)=Asin(x+)+b(A0,0)的图象如图所示,则f(x)的解析式为( )A. B. C. D. 【答案】D本题选择D选项.【防陷阱
11、措施】已知f(x)Asin(x)(A0,0)的部分图象求其解析式时,A比较容易看图得出,困难的是求待定系数和,常用如下两种方法:(1)由即可求出;确定时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0,则令x00(或x0),即可求出.(2)代入点的坐标,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图形解出和,若对A,的符号或对的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.8.性质的综合应用例8. 已知函数,则下列说法正确的是( )A. 函数的最小正周期为B. 函数的对称轴为()C. , D. 函数在上单调递增【答案】B【解析】A:最小正周期为, ,错误;B:
12、正确;所以,此时,不单调,错误。故选B。【防陷阱措施】本题考察三角函数的绝对值函数,难度较大。一般来说,三角函数的绝对值会将周期变为原来的一半,A错误;通过辅助角公式计算,C错误;通过整体思想的分析,得到在时,函数不单调,D错误,故选C,利用排除法分析。练习1已知函数,若互不相等,若 则的取值范围是( )A. (1,2018) B. (1,2019) C. (2,2018) D. (2,2019)【答案】D【解析】作函数的图象如图,不妨设abc,则结合图象可知,a+b=1,0log2018c1,故1c2018,故2a+b+c2019,故选D点睛:本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用,同
13、时考查了函数的零点与函数的图象的交点的关系应用;还有就是函数图象的对称性的应用,处理多个变量的方法;解决二元或三元问题,一是减元的思想,二是变量集中,再者就是转化为线规问题。练习2. 已知向量, ,记函数.(1)求函数的最大值及取得最大值时的取值集合;(2)求函数在区间内的单调递减区间.【答案】(1)最大值,且取得最大值时的集合为;(2)和【解析】 试题分析:()由题意,化简得,即可求解函数的最值,及其相应的的值. ()由题意:根据三角函数的图象与性质,即可求解在的单调递减区间试题解析: (2)由题意: , 即, 于是, 在的单调递减区间是和9.五点作图法例9. 已知函数f(x)sinxcos
14、xcos2x (0),经化简后利用“五点法”画其在某一周期内的图象时,列表并填入的部分数据如下表:x f(x)01010(1)请直接写出处应填的值,并求函数f(x)在区间上的值域;(2)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知f(A)1,bc4,a,求ABC的面积【答案】(1);(2).(2)由及(1)可得,由余弦定理可得的方程,结合可解得的值,从而得三角形面积.试题解析:(1)处应填入.f(x)sin2xsin2xcos2x.因为,所以,所以即f(x).因为,所以x,所以1sin,故f(x)的值域为.(2)f(A)sin1,因为0A,所以A,所以A,所以A.由余弦定理得a2b2c
15、22bccosA(bc)22bc2bccos(bc)23bc,即()2423bc,所以bc3,所以ABC的面积SbcsinA.10.三角函数中的参数范围及最值问题例10. 已知点, 是函数(, )图象上的任意两点,且角的终边经过点,若时, 的最小值为(1)求函数的解析式;(2)求函数的单调递增区间;(3)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围【答案】(1)(2)()(3)【解析】试题分析:(1)由题意先求,根据确定其值,再求出函数的周期,利用周期公式求出的值,从而可求函数解析式.(2)令,即可解得函数的单调减区间.(3)由题意可得, 恒成立,只需求时, 的最大值即可.试题解析:(1)角的终边经过
16、点, ,由时, 的最小值为,得,即,练习1已知函数(),将的图象向左平移个单位后得到的图象,且在区间内的最大值为.(1)求实数的值;(2)在中,角, , 所对的边分别为, , ,若,且,求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】试题分析:(1)根据两角和差公式化一得到,再由平移得到,由自变量的范围得到函数值的范围。(2)由第一问的表达式得到,再有余弦定理得到。解析:(1)由题设得,当时, ,由已知得,即时, ,.(2)由已知, 在中, ,即,又,由余弦定理得: 当且仅当时等号成立.又,练习2已知的面积为,且, ()若 的图象与直线相邻两个交点间的最短距离为,且,求的面积;()求的最大值【答案】
17、()()解析:()依题意的周期为2, 又, , ,设的三边长分别为, , ,从而是直角三角形由得,从而, ()由()知, ,设的外接圆为,则, ,故当时,所求最大值为点睛: 本题主要考查余弦函数的图象特征,正弦定理,两个向量的数量积的运算,属于中档题.一般出现关于边的齐次式或者角的齐次式,可以联想正弦定理.和正弦定理相关的还可以想到面积公式.再者就是球有关三角函数的值域时,多数是通过角的化一公式得到.练习3. 已知函数的最大值为.(1)求的值;(2)求使成立的的集合.【答案】(1) ;(2) 的集合是, .【解析】试题分析:试题解析:(1)由,所以的最大值为。令,解得.(2)由,得,所以,所以
18、, 所以, 所以使成立的的集合是, .练习4. 已知向量, , .(1)若,且,求的值;(2)将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像,若函数在上有零点,求的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】试题分析:(1)由向量平行得正切值,再利用弦化切得的值;(2)先根据向量数量积化简函数,再根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数,最后根据正弦函数性质求值域试题解析:(1)因为, ,所以.练习5. 已知两个不共线的向量满足, , .(1)若与垂直,求的值;(2)当时,若存在两个不同的使得成立,求正数的取值范围.【答案】(1) ;(2)【解析】试题分析:(1)已知与垂直,所以以,变形得,
19、由两向量的坐标可求得两向量的模分别为, ,代入上式可得,求得.求向量的模,应先求向量的平方。所以 ,故 . (2)由条件,得,整理,即,解一元二次不等式,又因为,所以.试题解析:解:(1)由条件知, ,又与垂直,所以,所以.所以 ,故 .(2)由,得,即,即, ,所以.由得,又要有两解,结合三角函数图象可得,即,又因为,所以.练习6. 己知函数,关于的为等式对所有都成立,则实数的范围为_【答案】【解析】在上为奇函数,即,且在上为单调递增关于的等式对所有都成立对所有都成立,即对所有都成立对所有都成立,即对所有都成立令, ,设当即时, (舍)当即时, 当即时, ,即综上所述, 故答案为点睛:对于求
20、值域范围的问题,一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性,再利用其单调性脱去函数的“”,转化为解不等式(组)的问题,若为偶函数,则练习7.函数若 对恒成立,则的取值范围是_.【答案】【解析】令,则, ,令,则,求其最大值可得,所以,故填.三高考真题演练1.【2017课标1,理9】已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+),则下面结论正确的是A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不
21、变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2【答案】D【解析】【考点】三角函数图像变换.【名师点睛】对于三角函数图像变换问题,首先要将不同名函数转换成同名函数,利用诱导公式,需要重点记住;另外,在进行图像变换时,提倡先平移后伸缩,而先伸缩后平移在考试中经常出现,无论哪种变换,记住每一个变换总是对变量而言.2.【2017课标3,理6】设函数f(x)=cos(x+),则下列结论错误的是Af(x)的一个周期为2By=f(x)的图像关于直线x=对称Cf(x+)的一个零点为x=Df(x)在(,)单调递减
22、【答案】D【解析】试题分析:函数的最小正周期为 ,则函数的周期为 ,取 ,可得函数 的一个周期为 ,选项A正确;函数的对称轴为 ,即: ,取 可得y=f(x)的图像关于直线x=对称,选项B正确;故选D.【考点】 函数 的性质【名师点睛】(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为yAsin(x)或yAcos( x)的形式,则最小正周期为;奇偶性的判断关键是解析式是否为yAsin x或yAcos xb的形式.(2)求f(x)Asin(x)(0)的对称轴,只需令,求x;求f(x)的对称中心的横坐标,只需令xk(kZ)即可.3.【2017天津,理7】设函数,其中,.若,且的最小正周期大于,则(A),
23、(B),(C),(D),【答案】 【解析】由题意,其中,所以,又,所以,所以,由得,故选A【考点】求三角函数的解析式【名师点睛】有关问题,一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围,一般先根据图象的最高点或最低点确定,再根据周期或周期或周期求出,最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式,求出满足条件的值,另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点,如对称轴或曲线经过的点的坐标,根据题意自己画出图象,再寻求待定的参变量,题型很活,求或的值或最值或范围等.4.【2016高考新课标1卷】已知函数 为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为( )(A)11(B)9(C)7(D)5【答案】B【解析】考点
24、:三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:的单调区间长度是半个周期;若的图像关于直线 对称,则 或.5.【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点( )(A)向左平行移动个单位长度 (B)向右平行移动个单位长度(C)向左平行移动个单位长度 (D)向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】试题分析:由题意,为了得到函数,只需把函数的图像上所有点向右移个单位,故选D.考点:三角函数图像的平移.【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移,在函数的图象平移变换中要注意人“”的影响
25、,变换有两种顺序:一种的图象向左平移个单位得,再把横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得的图象,另一种是把的图象横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得的图象,向左平移个单位得的图象6.【2015高考山东,理3】要得到函数的图象,只需要将函数的图象( )(A)向左平移个单位 (B)向右平移个单位(C)向左平移个单位 (D)向右平移个单位 【答案】B【考点定位】三角函数的图象变换.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象,重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握,能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题,反映学生对所学知识理解的深度.7.【2015高考陕西,理3】如图,某港口一天6时到1
26、8时的水深变化曲线近似满足函数,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )A5 B6 C8 D10【答案】C【解析】由图象知:,因为,所以,解得:,所以这段时间水深的最大值是,故选C【考点定位】三角函数的图象与性质【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质,属于容易题解题时一定要抓住重要字眼“最大值”,否则很容易出现错误解三角函数求最值的试题时,我们经常使用的是整体法本题从图象中可知时,取得最小值,进而求出的值,当时,取得最大值8.【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )(A) (B) (C) (D)【答案】B【解析】考点:
27、三角函数的图象变换与对称性.【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于x加减多少值9.【2015高考新课标1,理8】函数=的部分图像如图所示,则的单调递减区间为( )(A) (B)(C) (D) 【答案】D【考点定位】三角函数图像与性质【名师点睛】本题考查函数的图像与性质,先利用五点作图法列出关于方程,求出,或利用利用图像先求出周期,用周期公式求出,利用特殊点求出,再利用复合函数单调性求其单调递减区间,是中档题,正确求使解题的关键.10.【2016高考浙江理数】设函数,则的最小正周期( )A与b有关,且与c有关 B与b有关,但与c无关C与b无关,且与c无关
28、D与b无关,但与c有关【答案】B【解析】试题分析:,其中当时,此时周期是;当时,周期为,而不影响周期故选B考点:1、降幂公式;2、三角函数的最小正周期【思路点睛】先利用三角恒等变换(降幂公式)化简函数,再判断和的取值是否影响函数的最小正周期11.【2016年高考北京理数】将函数图象上的点向左平移() 个单位长度得到点,若位于函数的图象上,则( )A.,的最小值为B. ,的最小值为C.,的最小值为D.,的最小值为【答案】A【解析】试题分析:由题意得,故此时所对应的点为,此时向左平移个单位,故选A.考点:三角函数图象平移【名师点睛】三角函数的图象变换,有两种选择:一是先伸缩再平移,二是先平移再伸缩
29、特别注意平移变换时,当自变量x的系数不为1时,要将系数先提出翻折变换要注意翻折的方向;三角函数名不同的图象变换问题,应先将三角函数名统一,再进行变换12.【2016高考山东理数】函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x sin x)的最小正周期是( )(A) (B) (C) (D)2【答案】B【解析】【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题目,可谓相当经典.解答本题,关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质,本题较易,能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.13.【2015高考安徽,理10】已知
30、函数(,均为正的常数)的最小正周期为,当时,函数取得最小值,则下列结论正确的是( ) (A) (B) (C) (D)【答案】A【考点定位】1.三角函数的图象与应用;2.函数值的大小比较.【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题,一般的步骤是:第一步,根据题中所给的条件写出三角函数解析式,如本题通过周期判断出,通过最值判断出,从而得出三角函数解析式;第二步,需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断,本题中代入函数值计算不太方便,故可以根据函数图象的特征进行判断即可.14.【2015湖南理2】将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像,若对满足的,有,则( )A. B. C. D.【
31、答案】D.【解析】试题分析:向右平移个单位后,得到,又,不妨,又,故选D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质,属于中档题,高考题对于三角函数的考查,多以为背景来考查其性质,解决此类问题的关键:一是会化简,熟悉三角恒等变形,对三角函数进行化简;二是会用性质,熟悉正弦函数的单调性,周期性,对称性,奇偶性等.15.【2016高考江苏卷】定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是 .【答案】7【解析】由,因为,所以共7个考点:三角函数图像【名师点睛】求函数图像交点个数,可选用两个角度:一是直接求解,如本题,解一个简单的三角方程,此方法立足于易于求解,二是
32、数形结合,分别画出函数图像,数交点个数,此法直观,但对画图要求较高,必须准确,尤其明确增长幅度.16.【2016高考新课标3理数】函数的图像可由函数的图像至少向右平移_个单位长度得到【答案】【解析】考点:1、三角函数图象的平移变换;2、两角和与差的正弦函数【误区警示】在进行三角函数图象变换时,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也经常出现在题目中,所以也必须熟练掌握,无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角”变化多少17.【2015高考湖北,理12】函数的零点个数为 【答案】2【解析】因为 所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数,函
33、数与图象如图,由图知,两函数图象有2个交点,所以函数有2个零点.【考点定位】二倍角的正弦、余弦公式,诱导公式,函数的零点【名师点睛】数形结合思想方法是高考考查的重点. 已知函数的零点个数,一般利用数形结合转化为两个图象的交点个数,这时图形一定要准确。这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题.由“数”想图,借“图”解题.18.【2015高考湖北,理17】某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:0050()请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数的解析式;()将图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到的图象. 若图象的一个对称中心为,求的最小值. 【答案】();().【解析】()根据表中已知数据,解得. 数据补全如下表:00500且函数表达式为. ()由()知 ,得. 因为的对称中心为,. 令,解得, . 由于函数的图象关于点成中心对称,令,解得,. 由可知,当时,取得最小值. 【考点定位】“五点法”画函数在某一个周期内的图象,三角函数的平移变换,三角函数的性质.【名师点睛】“五点法”描图:(1)的图象在0,2上的五个关键点的坐标为:(0,0),(,0),(2,0)(2)的图象在0,2上的五个关键点的坐标为:(0,1),(,1),(2,1)