1、2014-2015学年安徽省亳州市涡阳四中高二（下）第一次质检数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1曲线y=x2在点（1，1）处的切线方程是（） A 2xy1=0 B x2y+1=0 C 2x+y3=0 D x+2y3=02用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个大于或等于60”时，假设正确的是（） A 假设至多有一个内角大于或等于60 B 假设至多有两个内角大于或等于60 C 假设没有一内角大于或等于60 D 假设没有一个内角或至少有两个内角大于或等于603观察按下列顺序排序的等式：90+1=1，91+2=11，92+3=21，93+4=31，猜想第n（nN
2、*）个等式应为（） A 9（n+1）+n=10n+9 B 9（n1）+n=10n9 C 9n+（n1）=10n1 D 9（n1）+（n1）=10n104已知a=1+，b=+，c=4，则a，b，c的大小关系为（） A abc B cab C cba D bca5曲线y=cosx（0x）与x轴以及直线x=所围图形的面积为（） A 4 B 2 C D 36已知数列an满足a1=2，a2=3，an+2=|an+1an|，则a2015=（） A 1 B 2 C 3 D 07函数f（x）=xlnx的大致图象为（） A B C D 8已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（） A e B e C D
3、 9有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点以上推理中（） A 大前提错误 B 小前提错误 C 推理形式错误 D 结论正确10对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）f（x）0，则必有（） A f（0）+f（2）2f（1） B f（0）+f（2）2f（1） C f（0）+f（2）2f（1） D f（0）+f（2）2f（1）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11如图是导函数yf（x）的图象，那么函数的极大值点为1
4、2dx=13已知f（x）=x3+3x2+a（a为常数），在3，3上有最小值3，那么在3，3上f（x）的最大值是14我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值15已知函数f（x）=aex+blnx（a，b为常实数）的定义域为D，关于函数f（x）给出下列命题：对于任意的正数a，存在正数b，使得对于任意的xD，都有f（x）0当a0，b0时，函数f（x）存在最小值；若ab0时，则f（x）一定存在极值点；若ab0时，方程f（x）=f（x）在区间（1，2）内有唯一解；其中正确命题的序号是三、解答题：（本大题共6小题，共
5、75分）16（12分）（2012秋定西期末）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=与x=1时都取得极值，求a，b的值与函数f（x）的单调区间17（12分）（2015春亳州校级月考）求图中所示阴影部分的面积18（12分）（2007春徐州期末）ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：19（12分）（2014春滦南县期末）如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，设小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？最大值为多少？20（13分）（2015赫章县校级模拟）设数列an满足：an+1=an2nan+1，n=1，2，3，（1）当a1=2时
6、，求a2，a3，a4并由此猜测an的一个通项公式；（2）当a13时，证明对所的n1，有ann+221（14分）（2014淮南二模）已知函数f（x）=（2a）（x1）2lnx，g（x）=exx+1（a为常数，e为自然对数的底）（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（0，）无零点，求a的最小值；（3）若对任意给定的x0（0，1，在（0，e上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范围2014-2015学年安徽省亳州市涡阳四中高二（下）第一次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1
7、曲线y=x2在点（1，1）处的切线方程是（） A 2xy1=0 B x2y+1=0 C 2x+y3=0 D x+2y3=0考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题： 计算题分析： 求出导函数，令x=1求出切线的斜率；利用点斜式写出直线的方程解答： 解：y=2x当x=1得f（1）=2所以切线方程为y1=2（x1）即2xy1=0故选A点评： 本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值是切线的斜率属于基础题2用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个大于或等于60”时，假设正确的是（） A 假设至多有一个内角大于或等于60 B 假设至多有两个内角大于或等于60 C 假设没有一内角大于或等于60 D
8、假设没有一个内角或至少有两个内角大于或等于60考点： 反证法与放缩法 专题： 证明题；推理和证明分析： 熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接填空即可解答： 解：三角形中至少有一个内角大于等于60，第一步应假设结论不成立，即假设没有一内角大于或等于60故选：C点评： 此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定3观察按下列顺序排序的等式：90+1=1，91+2=11，92+3=21，93+4=
9、31，猜想第n（nN*）个等式应为（） A 9（n+1）+n=10n+9 B 9（n1）+n=10n9 C 9n+（n1）=10n1 D 9（n1）+（n1）=10n10考点： 归纳推理 专题： 探究型分析： 本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的等式，分析等式两边的系数及各个部分与式子编号之间的关系，易得等式左边分别为9与编号减1的积加上编号，等式右边的是一个等差数列，归纳后即可推断出第n（nN*）个等式解答： 解：由已知中的式了，我们观察后分析：等式左边分别为9与编号减1的积加上编号，等式右边的是一个等差数列，根据已知可以推断：第n（nN*）个等式为：9（n1）+n=10n9
10、故选B点评： 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）4已知a=1+，b=+，c=4，则a，b，c的大小关系为（） A abc B cab C cba D bca考点： 不等式的实际应用；不等式比较大小 专题： 转化思想分析： 根据 ，则比较a，b，c的大小关系即可转化为比较2 ，2 ，24的大小关系即可解答： 解：，a2b2c2abc故选C点评： 此题主要考查了无理数的估算能力，两个正的二次根式比较大小可以通过平方的方法进行，两个式子平方的值大的，对应的式子的值就大5曲线y=cosx（0x）与x轴以及直线x=所
11、围图形的面积为（） A 4 B 2 C D 3考点： 余弦函数的图象 专题： 计算题；三角函数的图像与性质分析： 根据所围成图形用定积分可求得曲线y=cosx以及直线x=所围图形部分的面积，然后根据定积分的定义求出所求即可解答： 解：由定积分定义及余弦函数的对称性，可得曲线y=cosx以及直线x=所围图形部分的面积为：S=3cosxdx=3sinx|=3sin3sin0=3，所以围成的封闭图形的面积是3故选：D点评： 本题主要考查了定积分在求面积中的应用，考查运算求解能力，化归与转化思想思想，属于基本知识的应用6已知数列an满足a1=2，a2=3，an+2=|an+1an|，则a2015=（）
12、 A 1 B 2 C 3 D 0考点： 数列递推式 专题： 点列、递归数列与数学归纳法分析： 通过计算出前几项，得出规律，进而可得结论解答： 解：由题意，a3=|a2a1|=|32|=1，a4=|a3a2|=|13|=2，a5=|a4a3|=|21|=1，a6=|a5a4|=|12|=1，a7=|a6a5|=|11|=0，a8=|a7a6|=|01|=1，当n6且n为偶数时an=1，当n6且n为奇数时an=0，a2015=0，故选：D点评： 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题7函数f（x）=xlnx的大致图象为（） A B C D 考点： 函数的图象 专题：
13、作图题分析： 由已知函数f（x）=xlnx的解析式，我们可以分析出函数的零点个数及在区间（0，1）上的图象位置，利用排除法可得到答案解答： 解：函数f（x）=xlnx只有1一个零点可以排除CD答案又当x（0，1）时lnx0，f（x）=xlnx0，其图象在x轴下方可以排除B答案故选A点评： 本题考查的知识点是函数的图象，其中根据函数的解析式分析出函数的性质，是解答此类问题的关键8已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（） A e B e C D 考点： 导数的几何意义 专题： 计算题分析： 欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可
14、求出切线的斜率从而问题解决解答： 解：y=lnx，y=，设切点为（m，lnm），得切线的斜率为 ，所以曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：ylnm=（xm）它过原点，lnm=1，m=e，k=故选C点评： 本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题9有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点以上推理中（） A 大前提错误 B 小前提错误 C 推理形式错误 D 结论正确考
15、点： 演绎推理的基本方法 专题： 阅读型分析： 在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论解答： 解：大前提是：“对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，且满足当xx0时和当xx0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，大前提错误，故选A点评： 本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一
16、种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论10对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）f（x）0，则必有（） A f（0）+f（2）2f（1） B f（0）+f（2）2f（1） C f（0）+f（2）2f（1） D f（0）+f（2）2f（1）考点： 导数的运算 专题： 分类讨论分析： 分x1和x1两种情况对（x1）f（x）0进行讨论，由极值的定义可得当x=1时f（x）取得极小值也为最小值，故问题得证解答： 解：依题意，当x1时，f（x）0，函数f（x）在（1，+）上是增函数；当x1时，
17、f（x）0，f（x）在（，1）上是减函数，故当x=1时f（x）取得极小值也为最小值，即有f（0）f（1），f（2）f（1），f（0）+f（2）2f（1）故选C点评： 本题以解不等式的形式，考查了利用导数求函数极值的方法，同时灵活应用了分类讨论的思想，是一道好题二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11如图是导函数yf（x）的图象，那么函数的极大值点为x2考点： 利用导数研究函数的单调性 专题： 导数的概念及应用分析： 利用函数取得极大值的充分条件即可得出解答： 解：只有一个极大值点x2，当x1xx2时，f（x）0，当x2xx3时，f（x）0，且f（x2）=0，函数f（x）在x=x
18、2处取得极大值而其它点处不满足极大值的条件故答案为：x2点评： 熟练掌握函数取得极大值的充分条件是解题的关键12dx=考点： 定积分 专题： 导数的综合应用分析： 利用微积分基本定理的几何意义即可得出解答： 解：令y=，画出图象：由微积分基本定理的几何意义可得：=故答案为点评： 熟练掌握微积分基本定理的几何意义是解题的关键13已知f（x）=x3+3x2+a（a为常数），在3，3上有最小值3，那么在3，3上f（x）的最大值是57考点： 利用导数求闭区间上函数的最值 专题： 计算题分析： 要求f（x）的最大值，先求出函数的导函数，令其等于0求出驻点，在3，3上分三种情况讨论得函数的极值，然后比较取
19、最大值即可解答： 解析：f（x）=3x2+6x，令f（x）=0，得3x（x+2）=0x=0，x=2（i）当0x3，或3x2时，f（x）0，f（x）单调递增，（ii）当2x0时，f（x）单调递减，由最小值为3知，最小为f（3）或f（0）f（3）=（3）3+3（3）2+a=a，f（0）=a，则a=3，f（x）=x3+3x2+3，其最大值为f（2）或f（3），f（2）=（2）3+3（2）2+3=7，f（3）=33+332+3=57，则最大值为57故答案为：57点评： 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的能力14我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为a的
20、正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值考点： 类比推理 专题： 计算题分析： 由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质解答： 解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF=a，BO=AO=，在直角三
21、角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4a=a，故答案为：a点评： 本题是基础题，考查类比推理及正四面体的体积的计算，转化思想的应用，考查空间想象能力，计算能力15已知函数f（x）=aex+blnx（a，b为常实数）的定义域为D，关于函数f（x）给出下列命题：对于任意的正数a，存在正数b，使得对于任意的xD，都有f（x）0当a0，b0时，函数f（x）存在最小值；若ab0时，则f（x）一定存在极值点；若ab0时，方程f（x）=f（x）在区间（1，2）内有唯一解；其中正确命题的序号是考点： 命题的真假判断与应用 专题：
22、 阅读型；导数的综合应用分析： 求出函数f（x）的导函数，对于，可知原函数为增函数，由x0时的函数值的情况可知不正确；对于，把导函数变形，得到两个辅助函数，利用两函数图象在交点两侧的图象高低判断出原函数在定义域内先减后增，有最小值；对于，利用的判断方法加以判断；对于，把方程f（x）=f（x）等价变形，然后由函数零点的判断方法加以判断解答： 解：由f（x）=aex+blnx，得，原函数定义域为（0，+），若a，b（0，+），则f（x）0，f（x）单调递增，当x0且x0时，ex1，lnx，不能保证任意的xD，都有f（x）0；当a0，b0时，y=aex与的图象在第一象限有交点（x1，y1），且x（0
23、，x1）时，当x（x1，+）时，f（x）在定义域内先减后增，故存在最小值；ab0等价于a0，b0或a0，b0，当a0，b0时相当于在条件下提取一负号即可，正确；由f（x）=f（x），得，即，方程的解即为的零点，而g（1）0且，方程f（x）=f（x）在区间（1，2）内有唯一解正确正确命题的序号是故答案为：点评： 本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数的单调性与其导函数的符号间的关系，训练了函数零点的判断方法，是中档题三、解答题：（本大题共6小题，共75分）16（12分）（2012秋定西期末）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=与x=1时都取得极值，求a，b的值与函数f（x）的单调区间
24、考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 专题： 计算题；导数的概念及应用分析： 求出f（x），因为函数在x=与x=1时都取得极值，所以得到f（）=0且f（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间解答： 解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f（x）=3x2+2ax+b由f（）=a+b=0，f（1）=3+2a+b=0解得，a=，b=2f（x）=3x2x2=（3x+2）（x1），函数f（x）的单调区间如下表：x （，） （，1） 1 （1，+）f（x） + 0 0 +f（x） 极大值 极小值 所以函数f（
25、x）的递增区间是（，）和（1，+），递减区间是（，1）点评： 考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，比较基础17（12分）（2015春亳州校级月考）求图中所示阴影部分的面积考点： 定积分在求面积中的应用 专题： 计算题；导数的概念及应用分析： 利用定积分表示面积，再计算，即可得出结论解答： 解：由题意，S=+=）+（）=点评： 本题考查利用定积分求面积，考查学生的计算能力，比较基础18（12分）（2007春徐州期末）ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：考点： 综合法与分析法(选修） 专题： 证明题分析： ABC的三个内角A，B，C成等差数列B=60，利用余弦
26、定理可知b2=a2+c2ac，利用分析法证明，要使原结论成立，只需证+=1，左端通分整理后将b2=a2+c2ac，代入，再整理即可解答： 证明：要证原式，只要证+=3，即+=1，即只要证=1，而A+C=2B，B=60，b2=a2+c2ac，=1成立故原结论成立点评： 本题考查分析法，着重考查推理证明，考查余弦定理与整体代换，属于中档题19（12分）（2014春滦南县期末）如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，设小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？最大值为多少？考点： 函数模型的选择与应用 专题： 计算题分析： 设小正方形的边长为xc
27、m，则盒子容积为：y=（82x）（52x）x为三次函数，用求导法，可得x=1时，函数y取得最大值，此时盒子容积最大解答： 解：设小正方形的边长为xcm，则x（0，）；盒子容积为：y=（82x）（52x）x=4x326x2+40x，对y求导，得y=12x252x+40，令y=0，得12x252x+40=0，解得：x=1，x=（舍去），所以，当0x1时，y0，函数y单调递增；当1x时，y0，函数y单调递减；所以，当x=1时，函数y取得最大值18；所以，小正方形的边长为1cm，盒子容积最大，最大值为18cm3点评： 本题考查了简单的三次函数模型的应用，利用求导法求得三次函数在其定义域上的最值问题，是
28、中档题20（13分）（2015赫章县校级模拟）设数列an满足：an+1=an2nan+1，n=1，2，3，（1）当a1=2时，求a2，a3，a4并由此猜测an的一个通项公式；（2）当a13时，证明对所的n1，有ann+2考点： 数学归纳法；归纳推理 专题： 证明题；压轴题分析： 本题考查的知识点是归纳推理和数学归纳法（1）由列an满足：an+1=an2nan+1，n=1，2，3，及a1=2，我们易得到a2，a3，a4的值，归纳数列中每一项的值与序号的关系，我们可以归纳推理出an的一个通项公式（2）ann+2的证明可以使用数学归纳法，先证明n=1时不等式成立，再假设n=k时不等式成立，进而论证n
29、=k+1时，不等式依然成立，最终得到不等式ann+2恒成立的证明用数学归纳法比较复杂，观察到不等式的结构形式，可采用放缩法进行证明解答： 解（1）由a1=2，得a2=a12a1+1=3由a2=3，得a3=a222a2+1=4由a3=4，得a4=a323a3+1=5由此猜想an的一个通项公式：an=n+1（n1）（2）（i）用数学归纳法证明：当n=1时，a13=1+2，不等式成立假设当n=k时不等式成立，即akk+2，那么ak+1=ak（akk）+1（k+2）（k+2k）+1=2k+5k+3也就是说，当n=k+1时，ak+1（k+1）+2据和，对于所有n1，有ann+2（ii）由an+1=an（
30、ann）+1及（i）可得：对k2，有ak=ak1（ak1k+1）+1ak1（k1+2k+1）+1=2ak1+1ak2k1a1+2k12+1=2k1（a1+1）1于是，k2点评： 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）但归纳推理的结论不一定正确，我们要利用数学归纳法等方法对归纳的结论进行进一步的论证21（14分）（2014淮南二模）已知函数f（x）=（2a）（x1）2lnx，g（x）=exx+1（a为常数，e为自然对数的底）（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（0，）无零点，求a的最
31、小值；（3）若对任意给定的x0（0，1，在（0，e上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范围考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 专题： 导数的综合应用分析： （1）求导函数，令f（x）0，可得f（x）的单调递增区间；令f（x）0，可得f（x）的单调递减区间；（2）若函数f（x）在区间（0，）无零点转化为对，f（x）0恒成立；将参数a分离出，求函数的最小值（3）利用导数判定出函数g（x）在区间（0，1上是增函数，求出g（x）（2，e；进一步利用导数求出f（x）的最值，再根据函数的零点存在性定理求出参数a满足的条件解答： 解：（1）当
32、a=1时，f（x）=x12lnx（x0）则令f（x）0得x2；令f（x）0得0x2故f（x）的单调递减区间为（0，2，单调递增区间为2，+）（3分）（2）函数f（x）0在区间上不可能恒成立，故要使函数f（x）在区间上无零点，只要对，f（x）0恒成立即对，恒成立（4分）令（）则再令，则，m（x）0故函数m（x）在区间上单调递减，即l（x）0，函数l（x）在区间上单调递增，（6分）故只要a24ln2函数f（x）在区间上无零点，所以amin=24ln2（7分）（3）g（x）=ex1，当x（0，1，g（x）0，函数g（x）在区间（0，1上是增函数g（x）（2，e（8分）当a=2时，f（x）=2lnx，
33、不符题意当a2时，当时，f（x）=0，由题意有f（x）在（0，e上不单调，故x f（x） 0 +f（x） 单调递减 最小值 单调递增（9分）当x变化时，f（x），f（x）变化情况如右：又因为x0时，f（x）+所以，对于给定的x0（0，1，在在（0，e上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，当且仅当满足下列条件即（2a）（e1）2e（11分）令，则，令h（a）=0，得a=0故a（，0）时，h（a）0，函数h（a）单调递增时，h（a）0，函数h（a）单调递减所以对任意的，h（a）h（0）=02由得，由当时，在（0，e上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立 （14分）点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于难题
