1、专题24 直线方程一【学习目标】1.理解直线的倾斜角、斜率、截距等概念，掌握直线的斜率计算公式.2.掌握直线方程的点斜式、两点式和一般式方程，了解直线方程的斜截式和截距式，能根据已知条件，选择恰当形式熟练地求出直线的方程.3.了解斜截式与一次函数的关系.4.掌握两直线平行、垂直、相交的条件，能灵活运用点到直线的距离公式及两直线平行、垂直的条件解决有关问题.5.掌握中心对称、轴对称等问题的几何特征和求解的基本方法.并能利用图形的对称性解决有关问题.二【方法规律总结】1.直线的倾斜角、斜率及直线在坐标轴上的截距是刻画直线位置状态的基本量，应正确理解.(1)要善于结合图形进行倾斜角与斜率间的相互转化
2、.由倾斜角探究斜率k须分和两类讨论.由斜率k探究倾斜角须分k0和k0两类讨论.(2)“截距”与“距离”是两个不同的概念.2.因为确立一条直线需两个独立的条件，所以直线方程也需要两个独立条件，其方法一般有两种：(1)直接法：直接选用直线方程的四种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)，写出适当的直线方程.(2)待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，方程中含有一待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数，最后将求得的系数代入所设方程，即得所求直线方程，概括起来三句话：设方程，求系数，代入.3.由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，可能产生遗漏情况，尤其是
3、选择点斜式、斜截式时一定要注意斜率不存在的情况.选择截距式时，注意截距为零的情况.4.判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形.在两条直线斜率都存在的条件下，才有l1l2k1k2且b1b2与l1l2k1k21.5.在运用公式d求平行直线间的距离时，一定要注意两直线的x，y项系数对应相等.6.求对称点的步骤：(1)设点设对称点为(x，y)；(2)列式利用中点公式(中心对称情况)或垂直、平分的条件(轴对称情形)来列关于x，y的方程组；(3)求解解所列方程组，求到的解就是所求对称点的坐标.7.求对称曲线的步骤：(1)设点设所求曲线上的点为P(x，y)；(2)求点
4、求出P点的对称点为Q(x，y)，即用x，y来表示x，y；(3)代入将Q点坐标代入已知曲线的方程，所得的x，y的关系式就是所求对称曲线的方程.注意记住几种特殊的对称性结论：对称中心是特殊点(如原点)；对称轴是特殊直线(如x轴，y轴，yxb，yxb等直线)，求对称点和对称曲线可采用代入法直接求解.三高考命题类型及解题方法1.直线的倾斜角例题1直线3x+3y+7=0的倾斜角为A. B. C. D. 【答案】D【解析】直线3x+3y+7=0的斜率 故选D.练习1直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线的倾斜角为（ ）A. 30 B. 45 C. 120 D. 135【答案】D2下列说法正确的是（ ）A.
5、截距相等的直线都可以用方程表示B. 方程不能表示平行轴的直线C. 经过点，倾斜角为的直线方程为D. 经过两点， 的直线方程为【答案】D【解析】A错误，比如过原点的直线，横纵截距均为0，这时就不能有选项中的式子表示；B当m=0时，表示的就是和y轴平行的直线，故选项不对。C不正确，当直线的倾斜角为90度时，正切值无意义，因此不能表示。故不正确。D根据直线的两点式得到斜率为，再代入一个点得到方程为： 。故答案为：D。3.若直线的倾斜角为，则_【答案】2.直线过定点例2. 无论取何值，直线必过定点_【答案】【解析】直线（+2）x（1）y+6+3=0，即（2x+y+3）+（xy+6）=0，由 求得x=3
6、，y=3，可得直线经过定点（3，3）故答案为（3，3）练习1. 直线，当变化时，所有直线都通过定点( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】直线方程整理为，当 ，解得 ，不管如何变化，直线都通过点，故选C.2. 已知直线（1）求证：直线过定点。（2）求过(1)的定点且垂直于直线直线方程.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：将直线化为，解不等式组即可得证；由（1）知定点为，结合题目条件计算得直线方程解析：（1）根据题意将直线化为的。解得，所以直线过定点。（2）由（1）知定点为，设直线的斜率为k， 且直线与垂直，所以， 所以直线的方程为。3.两条直线的平行和垂直问题例3.已知直线
7、与直线平行，则的值为_【答案】或【解析】若直线与直线平行，则，且，解得： 或练习1若直线： 与直线： 互相垂直，则实数的值为_【答案】-2【解析】由于两条直线垂直，故.2.已知直线与直线平行，则 的值为( )A. B. C. 1 D. 【答案】D【解析】由题意可得： ，解得故选3若两平行线与之间的距离是，则（ ）A. -2 B. -1 C. 0 D. 1【答案】A4两条直线， 互相垂直，则的值是（ ）A. 3 B. -1 C. -1或3 D. 0或3【答案】C【解析】由题意，解得，故选C5设，则“a=1”是“直线： 与直线： 平行”的（ ）A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分不必
8、要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，直线： 与直线： ，两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件， 当两条直线平行时，得到，解得后者不能推出前者， 前者是后者的充分不必要条件，故选C.4.对称问题例4. 若点关于直线的对称点是，则直线在轴上的截距是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】点A（1，1）关于直线y=kx+b的对称点是B（3，3），由中点坐标公式得AB的中点坐标为，代入y=kx+b得 直线AB得斜率为，则k=2.代入得， 直线y=kx+b为 ，解得：y=4直线y=kx+b在y轴上的截距是4故选：D练习1光线
9、由点P（2，3）射到直线上，反射后过点Q（1，1），则反射光线所在的直线方程为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设点关于直线的对称点为，则，解得，即对称点为，则反射光线所在直线方程即： 故选2已知点与关于对称，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设，因为点与关于对称，则，解得，点的坐标为，故选D.3已知点与直线： ，则点关于直线的对称点坐标为A. B. C. D. 【答案】C【解析】设关于直线： 对称的点为，则，解得，即关于直线： 对称的点为.故选C.4.点和关于对称，则_【答案】5【解析】由题意，点（1，2）和（1，m）关于kxy+3=0对称，则点（， ）
10、在直线kxy+3=0上，可得： ，解得m=4那么：点（1，2）和（1，4）确定的直线的斜率为1与kxy+3=0垂直，故得：k=1则m+k=4+1=5，故答案为：5【方法总结】轴对称问题可分解为两个基本问题：中点问题：两点连线段的中点在轴上；垂直问题：两点连线的斜率与轴所在直线的斜率互为负倒数.5. 设直线， ， （1）若直线， ， 交于同一点，求的值；（2）若直线与直线关于直线对称，求直线的方程【答案】（1） （2）【解析】试题分析：（1）先求， 交点，再代入即得的值；（2）直线必过， 交点，再在直线取一点A，求其关于直线对称点B，则B在直线上，最后根据两点式求直线的方程试题解析：（1 ）（2
11、）取A（1,0）其关于直线对称点B（x,y） 5.最值及范围问题例5. 已知椭圆过点，且离心率。（1）求椭圆方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率可得，根据椭圆过点可得，求得， 后可得椭圆的方程（2）将直线方程代入椭圆方程后整理可得，由得由根与系数的关系求得弦MN的中点，由此可得直线AG的斜率，根据可得，由此可得，解得，即为所求范围试题解析：（1）椭圆的离心率，即；又椭圆过点，由得， ，椭圆的方程为（2）由消去整理得，直线与椭圆交于不同的两点，整理得（1）设，弦MN的中点A，则，点A的坐标为，直
12、线AG的斜率为，又直线AG和直线MN垂直，将上式代入（1）式，可得，整理得，解得实数的取值范围为【方法总结】：圆锥曲线中求最值（范围）问题的方法根据条件建立目标函数，再求这个函数的最值求解时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围练习1. 已知， ，动点在轴上，当取最小值时，则点的坐标为_【答案】【解析】因为关于轴的对称点为，所以，当为直线与轴的交点时等号成立，即当为直线与轴的交点时取最小值，因为 ，所以直线
13、的方程为 ，令 可得 ，所以 ，故答案为.2已知直线恒过定点，若点在直线上，则 的最小值为_.【答案】【解析】直线方程可整理为点点在直线上，当且仅当时取等号故答案为【方法总结】：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.3.已知椭圆的左、右顶点分别为， 为椭圆的右焦点，圆上有一动点， 不同于两点，直线与椭圆交于点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得， 设点的坐标为，则 ，又且，或，故的取值范围为选D
14、【方法总结】解决圆锥曲线中的范围问题时，可根据题意将所求范围的量表示为某一个变量的目标函数，然后再根据所得目标函数的特点选择相应的方法求得最值，其中运用基本不等式、利用二次函数求最值的方法在解题时经常用到四，高考真题演练1.【2015高考广东，理5】平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ） A或 B. 或 C. 或 D. 或【答案】【考点定位】直线与圆的位置关系，直线的方程【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，利用点到直线距离求直线的方程及转化与化归思想的应用和运算求解能力，根据题意可设所求直线方程为，然后可用代数方法即联立直线与圆的方程有且只有一解求得，也可以利用几何法转化为圆心与直线的距离等于半径求得，属于容易题
