1、2.1.8 圆锥曲线与方程（学案）一、 知识梳理1、平面内与两个定点，的（大于）的点的轨迹称为椭圆即：。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围顶点轴长焦点、焦距对称性关于轴、轴、原点对称离心率3、 平面内与两个定点，的（小于）的点的轨迹称为双曲线即：。这两个定点称为双曲线的焦点，称为双曲线的焦距4、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围或，或，顶点轴长焦点、焦距对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称离心率渐近线方程5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线6、平面内与一个定点和一条定直线的距离相
2、等的点的轨迹称为抛物线定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线7、抛物线的几何性质：标准方程图形顶点对称轴轴轴焦点准线方程离心率范围8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即二、典例解析探究点一 直线与圆锥曲线的位置关系判断例1、 已知直线l：kxy2k0，双曲线C：x24y24，当k为何值时，(1)l与C无公共点；(2)l与C有唯一公共点；(3)l与C有两个不同的公共点总结：判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线l的方程代入曲线C的方程，消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2bxc0.(1)当a0时，若0，则直线l与曲线C
3、相交；若0，则直线l与曲线C相切；若0，则直线l与曲线C相离(2)当a0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点此时，若C为双曲线，则l平行于双曲线的渐近线；若C为抛物线，则l平行于抛物线的对称轴(3)当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时，直线与双曲线或抛物线可能相切，也可能相交探究点二 相交弦长问题例2、 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线yx1与椭圆交于P，Q两点，且OPOQ，|PQ|，求椭圆的方程总结：若直线l与圆锥曲线F(x，y)0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：(1)把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B的坐标，然后用两点间距离公式
4、，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦(2)不求交点坐标，可用一元二次方程根与系数的关系求解设直线方程为ykxm，与圆锥曲线F(x，y)0交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|；或当k0时，|AB|y1y2|.当k0时，直线平行于x轴，|AB|x1x2|.探究三 中点弦问题例3、 已知椭圆1，求：(1)以P(2，1)为中点的弦所在直线的方程；(2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；(3)过Q(8,2)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程总结：对中点弦问题，常用的解题方法平方差法，其解题步骤为：(1)设点，即设出弦的两端点坐标；(2)代入，即代入圆锥曲线方程；(3)作差，即
5、两式相减，然后用平方差公式把上式展开，整理三、当堂检测1.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（ ）ABC D2.双曲线的离心率为，则它的渐近线方程是（ ）A B C D3.以双曲线的顶点为焦点，长半轴长为4的椭圆方程为（）ABCD4过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若则椭圆的离心率为 （ ）ABCD5椭圆上一点到左焦点的距离是2，是的中点，为坐标原点，则6.过双曲线的右焦点和虚轴端点作一条直线，若右顶点到直线的距离等于，则双曲线的离心率7抛物线上与点距离最近的点的坐标是8已知抛物线的顶点在原点，焦点为，设点与抛物线上的点的距离的最小值，求的表达式。
