1、第2课时一元二次不等式的应用学 习 目 标核 心 素 养1.掌握一元二次不等式的实际应用(重点).2.理解三个“二次”之间的关系.3.会解一元二次不等式中的恒成立问题(难点)1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养.2.借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养.1分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式0(0(a先移项转化为上述两种形式思考：0与(x3)(x2)0等价吗？将0变形为(x3)(x2)0，有什么好处？提示等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式2(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件不等式ax2bxc0ax
2、2bxc0b0，c0在区间2，3上恒成立的几何意义是什么？区间2，3与不等式x10的解集有什么关系？提示x10在区间2，3上恒成立的几何意义是函数yx1在区间2，3上的图象恒在x轴上方区间2，3内的元素一定是不等式x10的解，反之不一定成立，故区间2，3是不等式x10的解集的子集3从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)(3)解不等式(或求函数最值)(4)回扣实际问题思考：解一元二次不等式应用题的关键是什么？提示解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二
3、次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解1若集合Ax|12x13，B，则AB等于()Ax|1x0Bx|0x1Cx|0x2Dx|0x1BAx|1x1，Bx|0x2，ABx|0x12不等式5的解集是_原不等式0解得00在R上恒成立，则实数a的取值范围是_(0，8)因为x2ax2a0在R上恒成立，所以a242a0，所以0a0，y0，x40，y40，xy300，整理得yx40，将y40x代入xy300，整理得x240x3000，解得10x30.分式不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)0；(2)1.解(1)0(x3)(x2)02x3，原不等式的
4、解集为x|2x3(2)1，10，0，即0.此不等式等价于(x4)0且x0，解得x或x4，原不等式的解集为.1对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零2对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解1解下列不等式：(1)0；(2)3.即知原不等式的解集为x|x1或x3(2)不等式3可改写为30，即0.可将这个不等式转化成2(x1)(x1)0，解得1x1.所以，原不等式的解集为x|1x1一元二次不等式的应用【例2】国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨按规定，农
5、户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)为了减轻农民负担，制定积极的收购政策根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.思路探究：将文字语言转换成数学语言：“税率降低x个百分点”即调节后税率为(8x)%；“收购量能增加2x个百分点”，此时总收购量为m(12x%)吨，“原计划的78%”即为2 400m8%78%.解设税率调低后“税收总收入”为y元y2 400m(12x%)(8x)%m(x242x400)(0x8)依题意，得y2 400m8%78%，即m(x242x400)2 400m
6、8%78%，整理，得x242x880，解得44x2.根据x的实际意义，知0x8，所以x的范围为(0，22某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围解设花卉带的宽度为x m(0x600)，则中间草坪的长为(8002x)m，宽为(6002x)m.根据题意可得(8002x)(6002x)800600，整理得x2700x6001000，即(x600)(x100)0，所以00恒成立，如何求实数a的取值范围？提示若a0，显然f(x)0不能对一切xR都成立所以a0，此时
7、只有二次函数f(x)ax22x2的图象与直角坐标系中的x轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则解得a.2若函数f(x)x2ax3对x3，1上恒有f(x)0成立，如何求a的范围？提示要使f(x)0在3，1上恒成立，则必使函数f(x)x2ax3在3，1上的图象在x轴的下方，由f(x)的图象可知，此时a应满足即解得a2.故当a(，2)时，有f(x)0在x3，1时恒成立3若函数yx22(a2)x4对任意a3，1时，y0恒成立，如何求x的取值范围？提示由于本题中已知a的取值范围求x，所以我们可以把函数f(x)转化为关于自变量是a的函数，求参数x的取值问题，则令g(a)2xax24x4.要使对任意a3
8、，1，y0恒成立，只需满足即因为x22x40的解集是空集，所以不存在实数x，使函数yx22(a2)x4对任意a3，1，y0恒成立【例3】已知f(x)x2ax3a，若x2，2，f(x)0恒成立，求a的取值范围思路探究：对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解解设函数f(x)x2ax3a在x2，2时的最小值为g(a)，则(1)当对称轴x4时，g(a)f(2)73a0，解得a，与a4矛盾，不符合题意(2)当2，2，即4a4时，g(a)3a0，解得6a2，此时4a2.(3)当2，即a4时，g(a)f(2)7a0，解得a7，此时7a0的解集为R”求a的取值范围解
9、法一：不等式x22xa230的解集为R，函数f(x)x22xa23的图象应在x轴上方，44(a23)2或a0的解集为R，则a满足f(x)mina240，解得a2或a0，得a2x22x3，即a2(x1)24，要使该不等式在R上恒成立，必须使a2大于(x1)24的最大值，即a24，故a2或a0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a0时，b0，c0；当a0时，2不等式ax2bxc0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a0时，b0，cf(x)恒成立af(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，则af(x)恒成立a1的解集为xf(x)恒成立时，可转化为求解f(x)的最小值，从而求出m的范
10、围()答案(1)(2)提示(1)1100x|0xf(x)恒成立转化为mf(x)max，(2)错2不等式0的解集为_x|4x1原式可转化为(x1)(x2)2(x3)(x4)0，根据数轴穿根法，解集为4x1.3设x22xa80对于任意x(1，3)恒成立，则a的取值范围是_(，5原不等式x22xa80转化为ax22x8对任意x(1，3)恒成立，设f(x)x22x8，易知f(x)在1，3上的最小值为f(3)5.a(，54某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？解设每盏台灯售价x元，则x15，并且日销售收入为x302(x15)，由题意知，当x15时，有x302(x15)400，解得：15x20.所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x15，20)
