1、第八章单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题中只有一项符合题目要求)1设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题错误的是()A若a，b，则abB若a，ba，b，则C若a，b，则abD若a，a，则答案D解析由题意可得A，B，C选项显然正确，对于选项D：当，相交，且a与，的交线平行时，有a，a，但此时与不平行故选D.2如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是()AMN与CC1垂直BMN与AC垂直CMN与BD平行DMN与A1B1平行答案D解析连接C1D，BD.N是D1C的中点，N是C1D的中点，MNBD
2、.又CC1BD，CC1MN，故A，C正确ACBD，MNBD，MNAC，故B正确，故选D.3用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为()A.B.C8 D.答案B解析S圆r21r1，而截面圆圆心与球心的距离d1，球的半径为R.VR3，故选B.4某个长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()A4 B2C. D8答案D解析由三视图可知，该几何体如图所示，其底面为正方形，正方形的边长为2.HD3，BF1，将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体的体积为2248.5.如图所示，正四棱锥PABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的
3、中点，则PA与BE所成的角为()A. B.C. D.答案C解析连接AC，BD交于点O，连接OE，易得OEPA.所求角为BEO.由所给条件易得OB，OEPA，BE.cosOEB，OEB60，选C.6直三棱柱ABCA1B1C1的直观图及三视图如下图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是()AAB1平面BDC1BA1C平面BDC1C直三棱柱的体积V4D直三棱柱的外接球的表面积为4答案D解析由三视图可知，直三棱柱ABCA1B1C1的侧面B1C1CB是边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，ABBC，ABBC2.连接B1C交BC1于点O，连接AB1，OD.在CAB1中，O，D分别是B1C，A
4、C的中点，ODAB1，AB1平面BDC1.故A正确直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，AA1BD.又ABBC2，D为AC的中点，BDAC，BD平面AA1C1C.BDA1C.又A1B1B1C1，A1B1B1B，A1B1平面B1C1CB，A1B1BC1.BC1B1C，且A1B1B1CB1，BC1平面A1B1C.BC1A1C，A1C平面BDC1.故B正确VSABCC1C2224，C正确此直三棱柱的外接球的半径为，其表面积为12，D错误故选D.7在平面四边形ABCD中，ADAB，CDCB，且ADAB，现将ABD沿着对角线BD翻折成ABD，则在ABD折起至转到平面BCD内的过程中，直线AC与
5、平面BCD所成的最大角的正切值为()A1 B.C. D.答案C解析如图所示，OA1，OC2.当AC与圆相切时，直线AC与平面BCD所成的角最大，最大角为30，其正切值为.故选C.8一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分，余下的几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为()A.1 B231C. D.1答案A解析还原为直观图如图所示，圆锥的高为2，底面半径为，圆锥的母线长为，故该几何体的表面积为S22()2211.9二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为()A150 B45C60 D120答案C
6、解析由条件，知0，0，.|2|2|2|2222624282268cos，(2)2.cos，120，二面角的大小为60，故选C.10已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是()A28836 B60C28872 D28818答案A解析将几何体的三视图转化为直观图此几何体下面为长方体上面为半圆柱，根据三视图所标数据，可得V长方体686288，V半圆柱32836.此几何体的体积为V28836.11在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FBBC，则GB与EF所成的角为()A30 B120C60 D90答案D解
7、析方法一：连D1E，D1F，解三角形D1EF即可方法二：如图建立直角坐标系Dxyz，设DA1，由已知条件，得G(0,0，)，B(1,1,0)，E(1,1，)，F(，1,0)，(1,1，)，(，0，)cos，0，则.故选D.12已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长为1，点P在线段BD1上，当APC最大时，三棱锥PABC的体积为()A. B.C. D.答案B解析以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系，设，可得P(，)，再由cosAPC可求得当时，APC最大，故VPABC11.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13已知四个命题：
8、若直线l平面，则直线l的垂线必平行于平面；若直线l与平面相交，则有且只有一个平面经过直线l与平面垂直；若一个三棱锥每两个相邻侧面所成的角都相等，则这个三棱锥是正三棱锥；若四棱柱的任意两条对角线相交且互相平分，则这个四棱柱为平行六面体其中正确的命题是_答案解析正确，如右图，A1C与B1D互相平分，则四边形A1B1CD是平行四边形，同理四边形ABC1D1是平行四边形，则A1B1綊AB綊CD，因此四边形ABCD是平行四边形，进而可得这个四棱柱为平行六面体14(2013江苏)如图所示，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C
9、1ABC的体积为V2，则V1V2_.答案124解析由题意可知点F到面ABC的距离与点A1到面ABC的距离之比为12，SADESABC14.因此V1V2124.15已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为_答案解析正三棱锥PABC可看作由正方体PADCBEFG截得，如图所示，PF为三棱锥PABC的外接球的直径，且PF平面ABC.设正方体棱长为a，则3a212，a2，ABACBC2.SABC222.由VPABCVBPAC，得hSABC222，所以h，因此球心到平面ABC的距离为.16.如图所示是一几何体的平面展开图，其中A
10、BCD为正方形，E，F，分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：直线BE与直线CF异面；直线BE与直线AF异面；直线EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正确的有_个答案2解析将几何体展开图拼成几何体(如图)，因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EFADBC，即直线BE与CF共面，错；因为B平面PAD，E平面PAD，EAF，所以BE与AF是异面直线，正确；因为EFADBC，EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF平面PBC，正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，错三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)右图为
11、一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，ECPD，且PDAD2EC2.(1)请画出该几何体的三视图；(2)求四棱锥BCEPD的体积答案(1)略(2)2解析(1)该组合体的三视图如右图所示(2)因为PD平面ABCD，PD平面PDCE，所以平面PDCE平面ABCD.因为四边形ABCD为正方形，所以BCCD，且BCDCAD2.又因为平面PDCE平面ABCDCD，BC平面ABCD，所以BC平面PDCE.因为PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC.又因为ECPD，PD2，EC1，所以四边形PDCE为一个直角梯形，其面积S梯形PDCE(PDEC)DC323.所以四棱锥BCEPD的
12、体积VBCEPDS梯形PDCEBC322.18(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC45，ADAC1，O为AC的中点，PO平面ABCD，PO2，M为PD的中点(1)证明：PB平面ACM；(2)证明：AD平面PAC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值答案(1)略(2)略(3)解析(1)连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点又M为PD的中点，所以PBMO.因为PB平面ACM，MO平面ACM，所以PB平面ACM.(2)因为ADC45，且ADAC1，所以DAC90，即ADAC.又PO平面ABCD，AD平面A
13、BCD，所以POAD.而ACPOO，所以AD平面PAC.(3)取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MNPO，且MNPO1.由PO平面ABCD，得MN平面ABCD，所以MAN是直线AM与平面ABCD所成的角在RtDAO中，AD1，AO，所以DO.从而ANDO.在RtANM中，tanMAN，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.19(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB4，PA3，A点在PD上的射影为G点，E点在AB上，平面PEC平面PCD.(1)求证：AG平面PEC；(2)求AE的长；(3)求二面角EPCA的正弦值
14、答案(1)略(2)(3)解析(1)证明：PA平面ABCD，PACD.又CDAD，PAADA，CD平面PAD.CDAG.又PDAG，AG平面PCD.作EFPC于点F，连接GF，平面PEC平面PCD，EF平面PCD.EFAG.又AG平面PEC，EF平面PEC，AG平面PEC.(2)解：由(1)知A，E，F，G四点共面，又AECD，AE平面PCD，CD平面PCD，AE平面PCD.又平面AEFG平面PCDGF，AEGF.又由(1)知EFAG，四边形AEFG为平行四边形，AEGF.PA3，AD4，PD5，AG.又PA2PGPD，PG.又，GF，AE.(3)解：过E作EOAC于点O，连接OF，易知EO平面
15、PAC，又EFPC，OFPC.EFO即为二面角EPCA的平面角EOAEsin45，又EFAG，sinEFO.20(本小题满分12分)如图所示，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2.(1)求证：AB平面MCD；(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值答案(1)略(2)解析(1)证明：取CD中点O，因为MCD为正三角形，所以MOCD.由于平面MCD平面BCD，所以MO平面BCD.又因为AB平面BCD，所以ABMO.又AB平面MCD，MO平面MCD，所以AB平面MCD.(2)连接OB，则OBCD，又MO平面BCD.取O为原点，直线OC，BO，OM
16、为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示OBOM，则各点坐标分别为C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，0)，A(0，2)(1,0，)，(1，2)设平面ACM的法向量为n1(x，y，z)，由得解得xz，yz，取z1，得n1(，1,1)又平面BCD的法向量为n2(0,0,1)，所以cosn1，n2.设所求二面角为，则sin.21(本小题满分12分)圆锥PO如图所示，图是它的正(主)视图已知圆O的直径为AB，C是圆周上异于A，B的一点，D为AC的中点(1)求该圆锥的侧面积S；(2)求证：平面PAC平面POD；(3)若CAB60，在三棱锥APBC中，求点A到平面PBC的距离答案(1)(2)
17、略(3)解析(1)由圆锥的正视图可知，圆锥的高h，底面半径r1，所以其母线长为l，所以圆锥的侧面积Sl2r21.(2)证明：因为AB是圆O的直径，所以ACBC.又因为O，D分别为AB，AC的中点，所以ODBC，所以ODAC.因为PO平面ABC，所以ACPO.因为POODO，PO，OD平面POD，所以AC平面POD.因为AC平面PAC，所以平面PAC平面POD.(3)因为CAB60，AB2，所以BC，AC1.所以SABC.又因为PO，OCOB1，所以SPBC.设A到平面PBC的距离为h，由于VPABCVAPBC，得SABCPOSPBCh，解得h.22(本小题满分12分)如图所示，正三棱柱ABCA
18、1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点(1)求证：B1C平面A1BD；(2)求二面角A1BDA的大小；(3)在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E平面A1BD？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由答案(1)略(2)(3)存在且AE解析(1)如图所示，连接AB1交A1B于点M，连接B1C，DM.因为三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，所以四边形AA1B1B是矩形，所以M为AB1的中点因为D是AC的中点，所以MD是三角形AB1C的中位线，所以MDB1C.因为MD平面A1BD，B1C平面A1BD，所以B1C平面A1BD.(2)作COAB于点O，所以CO平面ABB1A1，所以
19、在正三棱柱ABCA1B1C1中建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为AB2，AA1，D是AC的中点，所以A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,0，)，A1(1，0)所以D(，0，)，(，0，)，(2，0)设n(x，y，z)是平面A1BD的法向量，所以即令x，则y2，z3.所以n(，2,3)是平面A1BD的一个法向量由题意可知(0，0)是平面ABD的一个法向量，所以cosn，.所以二面角A1BDA的大小为.(3)设E(1，y,0)，则(1，y，)，(1,0，)设平面B1C1E的法向量n1(x1，y1，z1)，所以即令z1，则x13，y1，所以n1(3，)又n1n0，即330，解得y.所以存在点E，使得平面B1C1E平面A1BD且AE.
