1、2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系学 习 目 标核 心 素 养1.会判断空间两直线的位置关系(易错点)2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角(难点、易错点)3.能用公理4解决一些简单的相关问题. (重点)1.通过对空间直线位置关系的学习，培养直观想象的数学核心素养；2.通过求异面直线所成角及公理4的运用，培养逻辑推理、直观想象的数学核心素养1空间直线的位置关系(1)异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托 (3)空间两条直线的三种位置关系从是否有公共点的角度来分：从是否共
2、面的角度来分：思考：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？提示不一定. 可能平行、相交或异面2公理4及定理(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行符号表示：ab，bcac(2)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O作直线aa，bb，则异面直线a与b所成的角就是直线a与b所成的锐角(或直角).(2)范围：090特别地，当90时，a与b互相垂直，记作ab1空间任意两个角，且与的两边对应平行，60，则为()A60B120C30D60或120D与相等或互补，为60或120，故选D.2如果
3、两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是()A共面 B平行C异面 D平行或异面D平行直线和异面直线都没有公共点，故应选D.3如图所示，正方体ABCDABCD中，异面直线AB与BC所成的角为_异面直线AD与BC所成的角为_9045BCBC，ABC即异面直线AB与BC所成的角，ABC90，又BCAD，DAD是异面直线AD与BC所成的角，DAD45.空间两条直线位置关系的判定【例1】(1)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为 ()A.1B2C3D4C还原的正方体如图所示，是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与G
4、H.(2)以下选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是()ABCDC本题容易错选A或B或D.不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断，仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择A，B中，PQRS，D中，PQ和RS相交故选C.1判断空间中两条直线位置关系的诀窍：(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系特别关注异面直线(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.2判定两条直线是异面直线的方法：(1)证明两条直线既不平行又不相交(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个
5、平面内不经过此点的直线是异面直线用符号语言可表示为A，B，Bl，l，则AB与l是异面直线(如图).1(1)一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A平行或异面B相交或异面C异面 D相交(2)在空间四边形ABCD中，E，F分别为对角线AC，BD的中点，则BE与CF的位置关系为()A平行 B异面C相交 D以上均有可能(1)B(2)B(1)假设a与b是异面直线，而ca，则c显然与b不平行(否则cb，则有ab，矛盾)；因此c与b可能相交或异面(2)根据题意画出图形如图，BE与点C在平面ABC内，且BE不过点C，又点F平面ABC，故BE与CF既不平行也不相交，只能异面公理4及等角
6、定理的应用【例2】如图所示，在正方体ABCDABCD中，E、F、E、F分别是AB、BC、AB、BC的中点求证：EEFF.证明因为E、E分别是AB、AB的中点，所以BEBE，且BEBE.所以四边形EBBE是平行四边形所以EEBB，同理可证FFBB.所以EEFF. 1证明空间两条直线平行的方法(1)平面几何法三角形中位线、平行四边形的性质等(2)定义法用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点(3)公理4用公理4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得ab，同时bc，由公理4即可得到ac.2证明两个角相等或互补的方法(1)利用等角定理(2)利用三角形全等
7、或相似2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：BGCFD1E.证明因为F为BB1的中点，所以BFBB1，因为G为DD1的中点，所以D1GDD1.又BB1綊DD1，所以BF綊D1G.所以四边形D1GBF为平行四边形所以D1FGB，同理D1EGC.所以BGC与FD1E的对应边平行且方向相同，所以BGCFD1E.异面直线所成的角探究问题1.已知直线a，b是两条异面直线，如图，如何作出这两条异面直线所成的角？提示如图，在空间中任取一点O，作直线aa，bb，则两条相交直线a，b所成的锐角(或直角)，即两条异面直线a，b所成的角2异面直线a与b所成角的
8、大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？提示异面直线a与b所成角的大小只与a，b的相互位置有关，与点O的位置选择无关，一般情况下为了简便，点O常选取在两条异面直线中的一条上【例3】如图，三棱锥ABCD中，ACBD，E在棱AB上，F在棱CD上，并使AEEBCFFDm(m0)，设为异面直线EF和AC所成的角，为异面直线EF和BD所成的角，试求的值.解过点F作MFBD，交BC于点M，连接ME，则CMMBCFFD m，又因为AEEBCFFDm，所以CMMB AEEB，所以EMAC，所以MEF，MFE，所以AC与BD所成的角为EMF.因为ACBD，EMF90，所以 90.将本例变为：
9、如图所示，点A是平面BCD外一点，ADBC2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF，求异面直线AD和BC所成的角解如图，设G是AC的中点，连接EG，FG.因为E，F分别是AB，CD的中点，故EGBC且EGBC1，FGAD，且FGAD1，即EGF为所求角，又EF，由勾股定理逆定理可得EGF90.求两条异面直线所成的角的一般步骤(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角(2)计算角：求角度，常利用三角形(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角 1判定两直线的位置关系的依据就在
10、于两直线平行、相交、异面的定义很多情况下，定义就是一种常用的判定方法2在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0，90，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小1若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A共面B平行C异面 D平行或异面D若直线a和b共面，则由题意可知ab；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线2若OAOA，OBOB，且AOB130，则AOB为()A130 B50C130或50 D不能确定C根据定理，AOB
11、与AOB相等或互补，即AOB130或AOB50.3如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是_；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是_；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是_；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是_(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1D1BC，A1D1BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1BD1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内4如图所示，空间四边形ABCD中，ABCD，ABCD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角解取AC的中点G，连接EG，FG，则FGCD，EGAB，所以FEG即为EF与AB所成的角，且FGCD，EGAB，又ABCD，所以FGEG.又由ABCD得FGEG，所以FEG45.故EF和AB所成的角为45.
