1、四川省广元市2020-2021学年高二下学期理数期末考试试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数 （ i 是虚数单位），则 =（ ） A.B.C.D.2.同时抛掷两枚硬币，则两枚硬币一枚正面向上一枚反面向上的概率是（ ） A.B.C.D.3.设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.下列命题中错误的是（ ） A.如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B.如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C.如果平面 平面 ，那
2、么平面 内所有直线都垂直于平面 D.如果平面 平面 ，平面 平面 ， ， 那么 平面 5.已知递增等比数列 中， ， ，若 ，则 （ ） A.5B.6C.7D.86.三个数 ， ， 之间的大小关系是( ) A.B.C.D.7.函数 的图象大致为（ ） A.B.C.D.8.原始的蚊香出现在宋代根据宋代格物粗谈记载：“端午时，贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫”如图，为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下：在水平直线 上取长度为1的线段 ，做一个等边三角形 ，然后以点 为圆心， 为半径逆时针画圆弧，交线段 的延长线于点 ，再以点 为圆心， 为半径逆时针画圆弧，交线段
3、的延长线于点 ，以此类推，则如图所示的“螺旋蚊香”的总长度为（ ） A.B.C.D.9.执行如图的程序框图，若输出的 ，则输入的整数 的最小值是（ ） A.4B.5C.6D.1510.已知角 满足 ，则 （ ） A.B.C.D.11.椭圆 的左右焦点分别是 ， ，以 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点 ，若直线 恰好与圆 相切于点 ，则椭圆的离心率为（ ） A.B.C.D.12.设函数 ，其中 ，若有且只有一个整数 使得 ，则 的取值范围是（ ） A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.在平面直角坐标系中，将曲线 上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变
4、，所得新的曲线的方程为_ 14.已知向量 ， ，且 ，则 _ 15.抛物线 的焦点为 ，已知抛物线在 点处的切线斜率为2，则直线 与该切线的夹角的正弦值为_ 16.已知一族双曲线 ，设直线 与 在第一象限内的交点为 ，点 在 的两条渐近线上的射影分别为 、 ，记 的面积为 ，对任意 不等式 恒成立，则 的最小值为_ 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答17.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表：00200（1）根据表中数据求函数的
5、解析式；（2）求函数在区间上的最大值和最小值18.2021年是中国共产党成立100周年，广元市积极开展“青春心向党，建功新时代”系列主题活动我市某中学为了解学生对党史的认知情况，举行了一次党史知识竞赛，并从所有的学生竞赛试卷中随机抽取 份试卷进行成绩分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在 的试卷份数是24 （1）求 ， 的值； （2）用分层抽样的方法在成绩为 和 这两组中共抽取5份试卷，并从这5份试卷中任取2份试卷进行点评，求分数在 恰有1份的概率 19.如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， （1）求证 ； （2）求二面角 的余弦值 20.已知椭圆 以直线 所过的定点为一个
6、焦点，且短轴长为4 （1）求椭圆 的标准方程； （2）已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆 的长轴和短轴的长的 倍 ，过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两个不同的点，若 ，求 的面积的最大值 21.己知函数 （1）求函数 的极值； （2）对于函数 和 定义域内的任意实数 ，若存在常数 ， ， 使得不等式 和 都成立，则称直线 是函数 和 的“分界线”设函数 ， ，试问函数 和 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程若不存在请说明理由 22.已知曲线 的极坐标方程是 ，直线 的参数方程是 为参数） （1）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设直线 与
7、 轴的交点是 ，直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的值 23.已知函数 . （1）解不等式 ； （2）若函数 的最小值为 ,且 , 求 的最小值.答案解析部分四川省广元市2020-2021学年高二下学期理数期末考试试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数 （ i 是虚数单位），则 =（ ） A.B.C.D.【答案】 B 【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】解：z=3i-2i2=2+3i，则 故答案为：B 【分析】根据复数的运算，结合共轭复数的定义求解即可.2.同时抛掷两枚硬币，则两枚硬币一枚正
8、面向上一枚反面向上的概率是（ ） A.B.C.D.【答案】 A 【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】【解答】同时抛掷两枚硬币的基本事件是：正正，正反，反正，反反， 所以两枚硬币一枚正面向上一枚反面向上的概率是 故答案为：A 【分析】同时抛掷两枚硬币的基本事件共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，再由概率公式求解即可.3.设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，一元二次不等式的解法，绝对值不等式的解法 【解析】【解答】解：由x2-5x0得0
9、x5，由|x-1|1得0x2，则 ， 是的必要不充分条件， 即 “”是“”的 必要不充分条件， 故答案为：B 【分析】根据一元二次不等式及绝对值不等式的解法，结合充分必要条件的判定求解即可.4.下列命题中错误的是（ ） A.如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B.如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C.如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 D.如果平面 平面 ，平面 平面 ， ， 那么 平面 【答案】 C 【考点】反证法的应用，直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定，平面与平面垂直的性质 【解析】【解答】解：对于A，如图所示，平面
10、a平面，a=l， ， ， 若a/l，则a/，所以A正确； 对于B，若平面内存在直线垂直于平面，根据面面垂直的判定定理，则有平面垂直于平面，与平面不垂直于平面矛盾， 所以如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面，故B正确； 对于C，如果平面平面，则平面内垂直于两平面的交线的直线与平面垂直，故C错误； 对于D，设=a，=b，在平面内取一点O，点O不在a,b上，过O作直线OA,OB，使OAa,OBb， 因为，OAa,，所以OA，则OAl， 同理有OBl， 又OAOB=O, ， 所以l 故D正确 故答案为：C 【分析】根据平面与平面垂直的性质定理可判断A，根据平面与平面垂直的判定定理，
11、结合反证法可判断B，根据平面与平面垂直的性质定理可判断C，根据平面与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的判定定理可判断D5.已知递增等比数列 中， ， ，若 ，则 （ ） A.5B.6C.7D.8【答案】 D 【考点】等比数列的通项公式，等比数列的性质 【解析】【解答】解：设等比数列 的公比为 ， 由题意可得 ，解得 或 ，因为数列是递增数列，所以 ，则由 ，得 ，解得 ，所以 ，由 ，得 ，解得 ，故答案为：D 【分析】 利用等比数列的性质,求出,求得公比q,再由通项公式得到通项，即可得出结论.6.三个数 ， ， 之间的大小关系是( ) A.B.C.D.【答案】 A 【考点】指数函数的单调
12、性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点 【解析】【解答】 ,故 故答案为：A 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性结合与特殊值大小比较，比较出a,b,c三者的大小关系。7.函数 的图象大致为（ ） A.B.C.D.【答案】 D 【考点】函数的图象 【解析】【解答】因为 的定义域为 ， ，所以 为偶函数，排除B，C选项； 又 时， ，排除A,所以D符合题意.故答案为：D 【分析】先判断函数的奇偶性，可排除A,B选项，再根据 时， ，排除A，即可得出答案。8.原始的蚊香出现在宋代根据宋代格物粗谈记载：“端午时，贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫”如图，为某校数学兴趣小组用数学软件制作的
13、“螺旋蚊香”，画法如下：在水平直线 上取长度为1的线段 ，做一个等边三角形 ，然后以点 为圆心， 为半径逆时针画圆弧，交线段 的延长线于点 ，再以点 为圆心， 为半径逆时针画圆弧，交线段 的延长线于点 ，以此类推，则如图所示的“螺旋蚊香”的总长度为（ ） A.B.C.D.【答案】 B 【考点】扇形的弧长与面积 【解析】【解答】由题意知：“螺旋蚊香”的总长度为 ， 故答案为：B 【分析】 运用圆的弧长公式和等差数列的通项公式与求和公式，根据条件计算即可.9.执行如图的程序框图，若输出的 ，则输入的整数 的最小值是（ ） A.4B.5C.6D.15【答案】 A 【考点】循环结构 【解析】【解答】解
14、：S=0p 满足条件,执行第一次循环， S=0+2=1, n=1+1=2 ; S=1p满足条件,执行第二次循环，s=1+2+=3，n=2+1=3 ; S=3p满足条件,执行第二次循环, S=3+2=7 , n=3+1=4 . S=7 P满足条件,调出循环体,输出n的值为4 . 由上可知，3p7 ,因此,输入的整数P的最小值是4. 故答案为：A. 【分析】根据循环结构逐步求解即可.10.已知角 满足 ，则 （ ） A.B.C.D.【答案】 D 【考点】二倍角的余弦公式，诱导公式 【解析】【解答】 ， 故答案为：D 【分析】 由已知利用诱导公式可求 ， 根据诱导公式，二倍角公式化简所求即可计算得解
15、.11.椭圆 的左右焦点分别是 ， ，以 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点 ，若直线 恰好与圆 相切于点 ，则椭圆的离心率为（ ） A.B.C.D.【答案】 C 【考点】椭圆的定义，椭圆的简单性质 【解析】【解答】由题意 ， ，所以 ， 所以 ，所以离心率为 故答案为：C 【分析】 利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可.12.设函数 ，其中 ，若有且只有一个整数 使得 ，则 的取值范围是（ ） A.B.C.D.【答案】 D 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【解答】已知函数 ，且 ， 所以 令 ，所以 ，当 时， ，当 时， ，所以 在 上递减，在 上
16、递增，所以当 时， 取得最小值 ，故 的图象如图所示：曲线 在 处切线的斜率为 ，因为 ，故 在直线 的下方.所以 在直线 的上方，故 即 ，故 的取值范围是 .故答案为：D. 【分析】令 ，对g(x)求导，将问题转化为存在唯一的整数使得 在直线 的下方， 在直线 的上方，故 即 ， 求得a的取值范围.二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.在平面直角坐标系中，将曲线 上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，所得新的曲线的方程为_ 【答案】【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换 【解析】【解答】曲线 上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，所得新的曲线的方程为
17、 故答案为： 【分析】 把原函数解析式中的每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，即得所求函数的解析式.14.已知向量 ， ，且 ，则 _ 【答案】 8 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】【解答】解： ， ， (-4)6+3m=0 解得m=8 故答案为：8 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可.15.抛物线 的焦点为 ，已知抛物线在 点处的切线斜率为2，则直线 与该切线的夹角的正弦值为_ 【答案】【考点】导数的几何意义，斜率的计算公式 【解析】【解答】解：由 ，得 ，则 ， 设点 的坐标为 ，则由题意可得 ，解得 ，则 ，所以 ，因为抛物线 的焦点 ，所以 ，设切线与
18、的夹角为 ，则 ，所以 ，故答案为： 【分析】 利用函数的导数,通过切线的斜率，求解切点坐标，然后求解直线与该切线的夹角的正弦值 .16.已知一族双曲线 ，设直线 与 在第一象限内的交点为 ，点 在 的两条渐近线上的射影分别为 、 ，记 的面积为 ，对任意 不等式 恒成立，则 的最小值为_ 【答案】 4 【考点】数列与不等式的综合，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质，双曲线的应用 【解析】【解答】解：如图，双曲线 的双曲线为l1:x+y=0与l2:x-y=0，则l1l2 设An(x0,y0)在两渐近线上的射影为Bn,Cn 则|AnBn|为点An到直线x-y=0的距离 则|AnCn|为点An到
19、直线x+y=0的距离 l1l2 BnOCn=90，OBnAn=90，OCnAn=90 BnAnCn=360-BnOCn-OBnAn=90-OCnAn=90 BnAnCn是直角三角形， SBnAnCn=|AnBn|AnCn| 又点An(x0,y0)在双曲线 x02+y02=n2 SBnAnCn nN+ 若对任意不等式恒成立 则4 则的最小值为4. 故答案为：4 【分析】根据双曲线的几何性质，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式，结合运用裂项相消法求数列之和，结合不等式恒成立的解法求解即可三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第17-21题为必考题，每个试题
20、考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答17.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表：00200（1）根据表中数据求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最大值和最小值【答案】 （1）根据表格可得 ， 根据表格可得 ， ，再根据五点法作图可得 ， ，故解析式为： （2）因为 ，所以 ， 得 ，所以，当 ，即 时， 在区间 上的最小值为 ，当 ，即 时， 在区间 上的最大值为1【考点】正弦函数的单调性，由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，正弦函数的零点与最值 【解析】【分析】（1）由函数的最值求出A,由周期求出,由五点法作图求出的值,可
21、得函数的解析式； （2）利用正弦函数的定义域、值域，求得函数 在区间上的最大值和最小值。18.2021年是中国共产党成立100周年，广元市积极开展“青春心向党，建功新时代”系列主题活动我市某中学为了解学生对党史的认知情况，举行了一次党史知识竞赛，并从所有的学生竞赛试卷中随机抽取 份试卷进行成绩分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在 的试卷份数是24 （1）求 ， 的值； （2）用分层抽样的方法在成绩为 和 这两组中共抽取5份试卷，并从这5份试卷中任取2份试卷进行点评，求分数在 恰有1份的概率 【答案】 （1）由于其中成绩在 的学生人数为24， 又在 间的频率为 ， 又概率和为1，
22、 （2） ，第四组 的频数： ； 第五组 的频数： ；用分层抽样的方法抽取5份试卷得：第四组 抽取： ；第五组 抽取： 记抽到第四组 的三份试卷为 ， ， ，第五组 的两份试卷为 ， ，则从5份试卷中任取2份的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共10种其中分数在 恰有1份有： ， ， ， ， ， ，共6种所求概率 【考点】分层抽样方法，频率分布直方图，古典概型及其概率计算公式 【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可； （2）根据分层抽样，以及古典概型，结合列举法求解即可.19.如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， （1）求证 ； （2）求二面角 的余弦值
23、 【答案】 （1）解：在 中，因为 ， ，所以 ， 所以在 中， ，所以 ，又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 （2）如图，设 的中点为 ， 的中点为 ，连接 ， ， 易知 、 、 两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，设平面 的一个法向量 ，则 ,即 ，令 ，则 ， ，即 ，又因为平面 的一个法向量 ， ，由图知二面角 为锐二面角，所以其余弦值为 【考点】直线与平面垂直的性质，平面与平面垂直的性质，用空间向量求平面间的夹角 【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得 ，再由面面垂直的性质定理可得 平面 即可证得 ； （2） 建立空
24、间直角坐标系，根据向量法即可求出二面角的余弦值。20.已知椭圆 以直线 所过的定点为一个焦点，且短轴长为4 （1）求椭圆 的标准方程； （2）已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆 的长轴和短轴的长的 倍 ，过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两个不同的点，若 ，求 的面积的最大值 【答案】 （1）解：由题意直线过定点 ，故椭圆的焦点为 ， 又由题意可知 ， ，椭圆 的标准方程为 （2）由题意设椭圆 的方程为 ， 易知直线 的斜率存在且不为0，设直线 的方程为 ，由 ，消去 整理得 ，设 ， ，则 ， ，且点 ， ， ，故 ，即 ， 当且仅当 ，即 时等号成立，此时 满足
25、 ， 面积的最大值为1.【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1）由已知直线方程可知直线所过定点为 ，从而可得椭圆焦点在x轴，再由已知得到b=2，结合隐含条件求得a， 椭圆的标准方程； （2） 由题意设椭圆的方程为， ， ， ,联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得 ， ，由 ， 且点 得 ， ， 根据基本不等式即可求出 的面积的最大值 。 21.己知函数 （1）求函数 的极值； （2）对于函数 和 定义域内的任意实数 ，若存在常数 ， ， 使得不等式 和 都成立，则称直线 是函数 和 的“分界线”设函数 ， ，试问函数 和 是否存在“分界线”？若存在，求
26、出“分界线”的方程若不存在请说明理由 【答案】 （1）令 得 ，所以 在 上单调递减， 上单调递增，所以 极小值 ， 无极大值（2）由 极小值 ， 可知函数 和 的图象在 处有公共点 设函数 和 存在“分界线”，方程为 ，应有 在 时恒成立，即 在 时恒成立，于是 ，得 ，则“分界线”的方程为 ，记 ，则 ，令 得 ，所以 在 上单调递增， 上单调递减，当 时，函数 取得最大值0，即 在 时恒成立综上所述，函数 和 存在“分界线”，方程为 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值，直线的点斜式方程 【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的极值即可；
27、 （2）先根据（1）知F(x)极小值=0，结合“分界线”的定义，易得分界线方程为 ， 再根据化归思想，将不等式恒成立问题等价转化求函数G(x)的最值问题，利用导数G(x)研究函数G(x)的单调性以及最值问题求解即可22.已知曲线 的极坐标方程是 ，直线 的参数方程是 为参数） （1）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设直线 与 轴的交点是 ，直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的值 【答案】 （1）曲线 的极坐标方程是 ， 即为 ，由 ， ， ，可得 ，即 ；（2）直线 的参数方程是 为参数） 令 ，可得 ， ，即 ，将直线 的参数方程代入曲线 ，可得： ，即为 ，解得 ， ，由参数
28、 的几何意义可得， 【考点】简单曲线的极坐标方程，参数的意义，参数方程化成普通方程 【解析】【分析】 (1)将曲线C变形为 ， 由 ， ， ， 代入即可得到所求曲线C的直角坐标方程； (2)令y=0,可得P(1,0),将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,求得t的两解，由参数的几何意义，计算即可得到所求和. 23.已知函数 . （1）解不等式 ； （2）若函数 的最小值为 ,且 , 求 的最小值.【答案】 （1）由 知 ,于是 , 解得 ,故不等式 的解集为 .（2）由条件得 , 当且仅当 时等号成立, ,即 ,又 ,所以 的最小值为 ,此时 .【考点】基本不等式，绝对值不等式的解法 【解析】【分析】 (1)由 ,则 ， 则 ，即可求得x的取值范围，即可求得不等式 的解集； (2)由 ,当且仅当时等号成立,得,即 ， 由基本不等式的性质可知: ,即可求得 的最小值 。
