1、要点导学各个击破幂函数的图象与性质(2014上海卷)若f(x)=-,则满足f(x)0的x取值范围是.答案(0,1)解析根据幂函数的性质,由于,所以当0x1时1时,因此f(x)的解集为(0,1).(2014临沂模拟)若幂函数f(x)=x的图象过点(2,4),则函数f(x)的单调增区间是.答案0,+)解析因为函数过点(2,4),所以4=2,=2,故函数解析式为y=x2,单调增区间为0,+).求函数的零点(2014湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-3x,那么函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为.答案-2-,1,3解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时
2、,f(x)=x2-3x,所以f(x)=故g(x)=由解得x=1或3.由解得x=-2-.所以函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为-2-,1,3.根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个零点所在的区间为(k,k+1)(kN),则k的值为.x-10123ex0.3712.727.3920.09x+212345思维引导根据零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条连续的曲线,且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间a,b内有零点.答案1解析设由f(x)=ex-x-2,由表格可知f(1)0,所以k的值为1.函数零点的应用若函数y=ax2-x-1只有一个零
3、点,求实数a的取值范围.思维引导由分类讨论思想,分a=0和a0两种情况,分别对应一次函数、二次函数加以判断.解答若a=0,则f(x)=-x-1,显然函数f(x)=-x-1只有一个零点-1;若a0,则y=ax2-x-1是二次函数,若函数只有一个零点,即方程ax2-x-1=0仅有一个实根,故=1+4a=0,得a=-.综上所述,当a=0或a=-时,函数y=ax2-x-1只有一个零点.(2014阜宁模拟)设函数y=x3与y=的图象的交点为(x0,y0),且x0(m,m+1),mZ,则m=.答案1解析令f(x)=x3-,易知函数y=x3在R上单调递增,y=在R上单调递减,所以y=-在R上单调递增,所以f
4、(x)在R上单调递增.又函数y=x3与y=的图象的交点为(x0,y0),所以f(x0)=0,即x0为f(x)的零点.又f(1)=1-=-10,f(x)在R上单调递增,所以x0(1,2),所以m=1.函数与方程的关系已知关于x的一元二次方程(x-1)(3-x)=a-x(aR),请你不用方程的判别式而利用函数的图象讨论方程的根的情况.思维引导方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点,据此,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标.解答原方程可化为-x2+5x-3=a.作出函数f(x)=-x2+5x-3的图象,再作出函数g(x)=a的图象(如图所示).由图象可知:当a=
5、时,方程有两个相等的实数根;当a时,方程没有实数根.(例5)精要点评将方程问题转化为函数问题,利用数形结合的思想求解.设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,求关于x的方程y=x的解的个数.解答所以f(x)=这个函数的图象如图所示.(变式)可知直线y=x与f(x)的图象有3个交点,所以关于x的方程y=x的解的个数为3.已知函数f(x)=ax2+4x+b(a0 的解集为(x1,x2),且方程f(x)=x的两实根为,.(1) 若|-|=1,求a,b之间的函数关系式;(2) 若12,求证:(x1+1)(x2+1)0,+=-,=.所以|-|=1,所以-=1.所以a2+4ab=9,所以
6、a,b的函数关系式为a2+4ab=9.(6分)(2) 令g(x)=ax2+3x+b,又a0,12,所以即又x1,x2是方程ax2+4x+b=0的两个根,所以x1+x2=-,x1x2=,所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-+1=+1. (10分)由线性约束条件画图可知,的取值范围为(-4,6), (12分)所以-3+16+1=7,所以(x1+1)(x2+1)7. (14分)1. 对于函数y=x2,y=,有下列说法:两个函数都是幂函数;两个函数在(0,+)上都单调递增;它们的图象关于直线y=x对称;两个函数都是偶函数.其中正确的说法有.(填序号)答案解析根据幂函数的图象和
7、性质.2. 已知幂函数f(x)=kx的图象过点,那么k+=.答案解析由函数f(x)=kx为幂函数,得k=1.又其图象过点,所以=.所以k+=.3. 在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间是.(填序号); ; ; .答案解析因为f(0)=-20,f=-20,所以f(x)=0的零点在区间内.4. (2014温州十校联考)设f(x)=lnx+x-2,若函数f(x)的零点所在的区间是(k,k+1),则k的值为.(第4题)答案1解析转化为函数g(x)=lnx,h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的范围.作出两函数的图象如图所示,由图象可知f(x)的零点所在的区间为(1,2),从而k=1.温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第25-26页).
