1、第五章 三角函数5.4 三角函数图象与性质5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)必备知识探新知基础知识知识点1正弦、余弦函数的最值正弦曲线：余弦曲线：可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的_定义域_都是实数集R，_值域_都是1,1对于正弦函数ysinx，xR有：当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1；当且仅当x2k，kZ时，取得最小值1.对于余弦函数ycosx，xR有：当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1；当且仅当x(2k1)，kZ时，取得最小值1.思考1：(1)正、余弦函数的定义域、值域各是什么？(2)从图象的变化趋势来看，正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么
2、位置？提示：(1)正弦、余弦函数的定义域为R，值域为1,1(2)正弦、余弦函数的最大值、最小值均处于图形拐弯的地方知识点2正弦、余弦函数的单调性(1)正弦函数ysinx的增区间为2k，2k(kZ)；减区间为2k，2k(kZ)(2)余弦函数ycosx的增区间为2k，2k(kZ)；减区间为2k，2k(kZ)思考2：(1)正弦函数在，上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？(2)余弦函数在，上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？提示：(1)观察图象可知：当x，时，曲线逐渐上升，是增函数，sinx的值由1增大到1；当x，时，曲线逐渐下降，是减函数，sinx的值由1减小到1.推广到整个定义
3、域可得当x2k，2k(kZ)时，正弦函数ysinx是增函数，函数值由1增大到1；当x2k，2k(kZ)时，正弦函数ysinx是减函数，函数值由1减小到1.(2)观察图象可知：当x，0时，曲线逐渐上升，是增函数，cosx的值由1增大到1；当x0，时，曲线逐渐下降，是减函数，cosx的值由1减小到1.推广到整个定义域可得当x2k，2k，kZ时，余弦函数ycosx是增函数，函数值由1增大到1；当x2k，(2k1)，kZ时，余弦函数ycosx是减函数，函数值由1减小到1.基础自测1在下列区间中，使函数ysinx为增函数的是( C )A0，B，C，D，22下列函数中在上是增函数的是( D )Aysinx
4、BycosxCysin2xDycos2x【解析】ysinx在上是减函数，不满足条件ycosx在上是减函数，不满足条件ysin2x的周期是，在上不单调，不满足条件ycos2x的周期是，在上是增函数，满足条件3函数y3sin的一个单调递减区间为( B )A BC D【解析】y3sin3sin，检验各选项可知，只有B项所给区间是单调递减区间，故选B4函数y2sinx取得最大值时x的值为_.【解析】y2sinx，当sinx1时，ymax3，此时x2k(kZ)5函数ysinx(x)的值域为_.关键能力攻重难题型探究题型一三角函数的单调区间【例1】求下列函数的单调递减区间：(1)ycos(2x)；(2)y
5、3sin3x)【分析】(1)可采用整体换元法并结合正弦函数、余弦函数的单调区间求解；(2)可先将自变量x的系数转化为正数再求单调区间【解析】(1)令z2x，而函数ycosz的单调递减区间是2k，2k(kZ)当原函数单调递减时，可得2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)原函数的单调递减区间是k，k(kZ)(2)y3sin(3x)3sin(3x)令z3x，则y3sinz，由y3sinz的单调递减区间，即为ysinz的单调递增区间2kz2k，kZ.即2k3x2k，kZ.解得x，kZ.所以原函数的单调减区间为，kZ.【归纳提升】与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧：(1)结合正弦、余弦函数的图象
6、，熟记它们的单调区间(2)确定函数yAsin(x)(A0，0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将x看作一个整体，可令“zx”，即通过求yAsinz的单调区间而求出函数的单调区间若0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数【变式训练1】求下列函数的单调区间：(1)函数ysin(x)的单调增区间；(2)函数y3sin(2x)的单调减区间【解析】(1)函数ysinx在2k，2k(kZ)上是增函数，函数ysin(x)为增函数，当且仅当2kx2k时，即2kx2k(kZ)函数ysin(x)的单调增区间为：2k，2k(kZ)(2)令u2x，则u是x的减函数ysinu在2k，2k(kZ)上为增函数，原函
7、数y3sin(2x)在区间2k，2k(kZ)上递减，2k2x2k，即kxk(kZ)原函数y3sin(2x)的单调减区间为：k，k(kZ)题型二 三角函数单调性的应用【例2】比较下列各组值的大小：(1)sin与sin；(2)sin与cos5.【分析】比较三角函数值大小的一般思路是先判断三角函数值的正负，若同号，再利用诱导公式转化到同一单调区间内的同名函数值进行比较【解析】(1)sinsin(4)sin，sinsin(8)sin.ysinx在0，上单调递增，又0，sinsin，sinsin.(2)cos5cos(25)，sincos()，ycosx在0，上递减，又025cos()，cos5sin.
8、【归纳提升】比较三角函数值大小的步骤：(1)异名函数化为同名函数(2)利用诱导公式把角化到同一单调区间上(3)利用函数的单调性比较大小【变式训练2】比较下列各组数的大小：(1)sin194与cos160；(2)sin与sin.【解析】(1)sin194sin(18014)sin14，cos160cos(18020)cos20sin70.0147090，sin14sin70，即sin194cos160.(2)cossin，0cossin1.而ysinx在(0,1)内递增，sinsin.误区警示忽略函数的定义域而致错【例3】已知定义在0，上的函数f(x)cos(x)(0)在x时取得最小值，求f(x
9、)在0，上的单调递增区间【错解】函数f(x)cos(x)(0)在x时取得最小值，cos()1，2k，kZ.又0，故f(x)cos(x)令2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ.f(x)的单调递增区间是2k，2k，kZ.【错因分析】造成错解的原因是忽略了函数定义域的限制，从而扩大了单调区间【正解】函数f(x)cos(x)(0)在x时取得最小值，cos()1，2k，kZ.又0，故f(x)cos(x)令2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ.又x0，f(x)在0，上的单调递增区间是，【方法点拨】解决与三角函数有关的函数问题时，定义域是首先要考虑的问题，要在定义域内思考问题学科素养与三角函数有关的函数的值
10、域(或最值)的求解问题1求形如yasinxb的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(1sinx1)求解2对于形如yAsin(x)k(A，0)的函数，当定义域为R时，值域为|A|k，|A|k；当定义域为某个给定的区间时，需确定x的范围，结合函数的单调性确定值域3求形如yasin2xbsinxc，a0，xR的函数的值域或最值时，可以通过换元，令tsinx，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性4求形如y，ac0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y.【例4】(1)求使下列函数取得最大值和最小值
11、时的x值，并求出函数的最大值和最小值： y2sinx1；ysin2xsinx.(2)求下列函数的值域：y2sin(2x)，x，；y.【分析】(1)先确定sinx的最值再求y的最值；换元转化为二次函数的最值，通过确定新元的范围，求y的最值(2)利用ysinx的图象求解；利用分离常数法或|sinx|1求解【解析】(1)由1sinx1知，当x2k，kZ时，函数y2sinx1取得最大值，ymax1；当x2k，kZ时，函数y2sinx1取得最小值，ymin3.ysin2xsinx(sinx)2，因为1sinx1，所以当sinx，即x2k或x2k(kZ)时，函数取得最大值，ymax；当sinx1，即x2k
12、(kZ)时，函数取得最小值，ymin.(2)x，2x，2x，由ysint的图象(如图所示)可得sin(2x)，1，则2sin(2x)1,2，即y2sin(2x)，x，的值域为1,2方法一：y1.当sinx1时，ymax，由题易得该函数的值域为(，方法二：由y，得(sinx1)ysinx2，即(1y)sinxy2，显然y1，sinx.1sinx1，1sincosBcoscossinCcossincosDcossin【解析】sincos()，coscos()0，而ycosx在0，上单调递减，coscos()cos()，即cossin0时，f(x)1，x0时，1f(x)1，所以函数f(x)的值域为1
13、，)，D正确3(多选题)关于x的函数f(x)sin(x)，则下列命题正确的是(BD)AR，f(x2)f(x)BR，f(x1)f(x)CR，f(x)都不是偶函数DR，f(x)是奇函数【解析】A错误，若命题f(x2)sin(x2)sin(x)成立，则必须为整数，所以A是假命题；B正确，当2时，函数f(x)sin(x)满足f(x1)sin(2x2)sin(2x)f(x)，所以B是真命题；C错误，当时，f(x)cosx满足f(x)cos(x)cosxf(x)，所以存在实数使得函数为偶函数，所以C是假命题；D正确，当2时，f(x)sin2x满足f(x)sin(2x)sin2xf(x)，所以存在实数使得函
14、数为奇函数，所以D是真命题，故选BD4(多选题)已知函数f(x)cos(2x)，下列结论正确的是(CD)A函数f(x)是周期为的偶函数B函数f(x)在区间，上是增函数C若函数f(x)的定义域为(0，)，则值域为(，1D函数f(x)的图象与g(x)sin(2x)的图象重合【解析】A错，函数f(x)是周期为的函数，但不是偶函数；B错，x，时，2x0，0，所以函数f(x)在区间，上是减函数；C正确，若函数f(x)的定义域为(0，)，则2x(，)，其值域为(，1；D正确，g(x)sin(2x)sin(2x)sin(2x)cos(2x)，故D正确，故选CD二、填空题5y的定义域为_2k，2k(kZ)_，
15、单调递增区间为_2k，2k，kZ_.【解析】sinx0，2kx2k，kZ；当x0，时，y在0，上单调递增其递增区间为：2k，2k，kZ.6(2019江苏镇江高一期末)已知函数f(x)2ksinx3，若对任意x，都有f(x)0恒成立，则实数k的取值范围为_3,3_.【解析】由x，得sinx，当k0时，k32ksinx3k3，由f(x)0得k30，解得0k3；当k0时，k32ksinx3k3，由f(x)0得k30，解得3k0)在区间，上是增函数，其在区间0，上恰好取得一次最大值2，则的取值范围是_，_.【解析】由函数f(x)2sinx(0)在区间，上是增函数，得，即，解得.当x0，时，x0，又函数f(x)在区间0，上恰好取得一次最大值，所以，0时，解得a0时，解得综上，a2，b5或a2，b1.
