1、第四节 复 数 第四节 复 数 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1复数的定义 设a，b都是实数，形如abi的数叫做复数，其中i叫做_，满足_，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部全体复数所构成的集合叫做复数集，记作_.2复数的分类 复数abi(a、bR)是实数的充要条件是_；是纯虚数的充要条件是a0且b0；是虚数的充要条件是_ 虚数单位i21Cb0.b03复数相等 两个复数z1abi，z2cdi(a、b、c、dR)，则z1z2 _.4复数的几何意义(1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位
2、是1，y轴的单位是i.显然，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示_ ac且bd纯虚数(2)复数 zabi(a、bR)一一对应有序数对(a，b)一一对应点 Z(a，b)(3)设OZ abi(a、bR)，则向量OZ 的长度叫做复数 abi(a、bR)的模(或绝对值)，记作|abi|，且|abi|_a2b2.5共轭复数 如果两个复数实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共轭复数，即复数zabi的共轭复数为z_.6复数的运算(1)复数的加、减法运算法则(abi)(cdi)(ac)(bd)i.即：两个复数相加(减)就是_，_分别相加(减)abi实部与实部虚部与虚部(2)复数的乘法 设
3、z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)是任意两个复数，那么它们的积(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任意z1，z2，z3C，有：z1z2z2z1；(z1z2)z3z1(z2z3)；z1(z2z3)_ z1z2z1z3.两个共轭复数 z 与 z的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即 z z_.(3)复数的除法设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR 且 cdi0)，则z1z2abicdi_|z|2|z|2acbdc2d2 bcadc2d2 i.课前热身 1(2010 年高考湖南卷改编)复数 21i等于_答
4、案：1i 2复数z在复平面上对应的点位于第_象限1ii答案：一 3已知0a2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是_答案：(1，5)4(2011 年无锡质检)若将复数 2i12i表示为 abi(a，bR，i 是虚数单位)的形式，则 ab_.解 析：复 数 2i12i 2i12i12i12i 2i4i25i，则 ab1.答案：1 考点探究挑战高考 考点突破 复数的有关概念 1 复 数 的 分 类(a bi)(a、b R)实数b0虚数b0纯虚数a0非纯虚数a0.2若 abi0(a，bR)，则a0b0.例13处理有关复数概念的问题，首先要找准复数的实部与虚部(若复数为非标准的代数形式，则
5、应通过代数运算化为代数形式)，然后根据定义解题实数 x 分别取什么值时，复数 zx2x6x3(x22x15)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？【思路分析】确定实部和虚部列方程或不等式 求解【解】(1)当 x 满足x22x150 x30，即 x5 时，z 是实数(2)当 x 满足x22x150 x30，即 x3 且 x5 时，z 是虚数(3)当 x 满足x2x6x30 x22x150，即 x2 或 x3 时，z 是纯虚数【名师点评】(1)当复数不是abi(a、bR)的形式时，要通过变形化为abi的形式，以便确定实部和虚部(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根 互
6、动探究1 本例中若zm2(1i)m(3i)6i，mR，如何求解？解：z(m23m)(m2m6)i，(1)当x满足m2m60，即m2或m3时，z为实数(2)当x满足m2m60，即m2且m3时，z为虚数(3)当 x 满足m23m0m2m60，即 m0 时，z 为纯虚数利用复数相等解决有关问题 两个复数相等的充要条件是两个复数的实部、虚部分别对应相等，解决相关问题时，常利用复数相等的条件，构造方程组来解决(1)已知 x2y22xyi2i，求实数 x、y的值；(2)关于 x 的方程 3x2a2x1(10 x2x2)i 有实根，求实数 a 的值例2【思路分析】先确定“”两边复数的实部和虚部，然后列方程组
7、求解【解】(1)x2y22xyi2i，x2y202xy2，解得x1y1 或x1y1.(2)设方程的实数根为 xm，则原方程可变为3m2a2m1(10m2m2)i，3m2a2m1010m2m20，解得 a11 或 a715.【名师点评】利用复数相等，可实现复数问题的实数化，其步骤是：按照题设条件把复数整理成其代数形式，由复数相等的充要条件列出方程组，通过解方程组达到解决问题的目的一般可以解决如下问题：(1)解复数方程；(2)复系数方程的有实解问题；(3)求轨迹问题复数的代数运算 复数代数形式的运算是复数部分的重点，其基本思路就是应用运算法则进行计算复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并
8、同类项)，复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(abi)2a22abib2与(ab)2a22abb2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(abi)(abi)a2b2与(ab)(ab)a2b2，防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误 计算：(1)(1i1i)6 2 3i3 2i；(2)(12 32 i)4.例3【思路分析】利用复数的乘法、除法等运算法则运算【解】(1)原式i6 2 3ii 3 2iii2 2 3ii2 3i 1i.(2)原式(12 32 i)22(12 32 i)212 32 i.【名师点
9、评】复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i的特点及熟练应用运算技巧 变式训练2 计算：(1)1i2ii3；(2)12i231i2i；(3)1i1i2 1i1i2；(4)1 3i 3i2；(5)(1i2)2012(1i2)2012.解：(1)1i2ii33ii 13i.(2)12i231i2i34i33i2i i2ii2i51525i.(3)1i1i2 1i1i21i2i 1i2i 1i21i21.(4)1 3i 3i2 3ii 3i2 i3ii 3i414 34
10、i.方法感悟 方法技巧1数学中很多概念本身就是解题手段和方法认真理解复数的基本概念并运用它去解题是本章的重点和难点 2复习本章内容，要抓住复数的分类，掌握一个复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件；两个复数互为共轭复数的充要条件；两个复数相等的充要条件，明确复数问题实数化是解决复数问题的最基本的思想方法 3复数的代数形式运算类似于多项式的运算，加法类似于合并同类项，乘法类似于多项式乘多项式，除法类似于分母有理化(实数化)，但复数运算有它独特的技巧，如i的运算规律(1i)22i，i的立方等 4技巧固然重要，但基本方法更重要，要在掌握基本方法的基础上细心研究各种技巧 5对于代数形式的乘方要能够利用二项
11、式定理展开，对于代数形式的开方运算关键在于熟练求出一个复数的平方根 6在进行复数的运算时，不能把实数集的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当 zC 时不总是成立的：(1)(zm)nzmn(m，n 为分数)；(2)zmznmn(z1)；(3)z21z220z1z20.7解答复数问题，要学会从整体的角度出发去分析和求解(整体思想贯穿整个复数内容)如果遇到复数就设zabi(a，bR)，则有时会给问题的解答带来不必要的运算上的困难，如能把握住复数的整体性质，充分运用整体思想求解，则能事半功倍失误防范1i21，在运算中，易写成“1”2复数的代数运算，除法运算中分子、分母同乘以分母的共轭复数，
12、分母应为复数的模的平方，易写成复数的模 考向瞭望把脉高考 考情分析 复数是高考必考的内容之一，从近几年的江苏高考试题统计分析来看，对复数的考查固定在一个填空题，难度不大，以考查复数的概念和代数运算为主从具体的题目分析看，主要为复数的乘除运算 预测在2012年的江苏高考仍会有一道填空题，考查复数的代数运算 真题透析 例(2010年高考江苏卷)设复数z满足z(23i)64i(i为虚数单位)，则z的模为_【解 析】由 已 知 条 件 可 得 z 64i23i 64i23i23i23i26i13 2i，|z|2.【答案】2【名师点评】本题主要考查了复数的除法运算及复数的模，考生平时要注意对复数运算法则
13、等基础知识的掌握 名师预测 解析：z22zz1 1i221i1i12i22ii2i.1 已 知 复 数 z 1 i，则z22zz1 等 于_答案：2i 2在复平面内，若zm2(1i)m(4i)6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是_ 解析：整理得 z(m24m)(m2m6)i，对 应 点 在 第 二 象 限，则m24m0，解得 3m4答案：3m4 3 设 i 是 虚 数 单 位，复 数 z tan45 isin60，则z2等于_解析：z1 32 i，z214 3i.答案：14 3i4已知实数 m，n 满足 m1i1ni(其中 i是虚数单位)，则双曲线 mx2ny21 的离心率为_解析：m(1i)(1ni)(1n)(1n)i，则m1n，1n0，n1，m2，从而 e 3.答案：3本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
