1、第4讲万有引力定律及其应用建体系论要点_知识串联_熟记核心要点 思维导图要点熟记 1.重力和万有引力的关系(1)不考虑自转时，星球表面附近物体的重力等于物体与星球间的万有引力，即有Gmg，其中g为星球表面的重力加速度。(2)考虑自转时，在两极上才有mg，而赤道上则有mgmR。2.一个重要公式：黄金代换式GMgR2，应用于题目中没有给出引力常量G或天体质量M，而提供了天体表面重力加速度g的信息的情况。3.万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力(1)列出五个连等式：Gmamm2rmr。(2)导出四个表达式：aG，v，T。(3)定性结论：r越大，向心加速度a、线速度v、角速度均越小，而周期T越大。4
2、.三类天体(1)近地卫星：Gmgm。(2)同步卫星：Gm(Rh)()2(T24 h)。(3)双星：m12r1m22r2，r1r2L。5.卫星变轨问题：当卫星速度减小时，F向小于F万，卫星做近心运动而轨道下降，此时F万做正功，使卫星速度增大，变轨成功后可在低轨道上稳定运动；当卫星速度增大时，与此过程相反。 研考向提能力_考向研析_掌握应试技能考向一天体质量及密度的计算1两条思路(1)利用中心天体的半径和表面的重力加速度g计算。由Gmg求出M，进而求得。(2)利用环绕天体的轨道半径r和周期T计算。由Gmr，可得出M。若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动，轨道半径rR，则。2两点提醒(1)利用Gm
3、r只能计算中心天体的质量，不能计算绕行天体的质量。(2)注意区分轨道半径r和中心天体的半径R，计算中心天体密度时应用而不是。典例1(2020浙江省名校联合体高三下学期3月第二次联考)2020年，我国将一次实现火星的“环绕、着陆、巡视”三个目标。假设探测器到达火星附近时，先在高度恰好等于火星半径的轨道上环绕火星做匀速圆周运动，测得运动周期为T，之后通过变轨、减速落向火星。探测器与火星表面碰撞后，以速度v竖直向上反弹，经过时间t再次落回火星表面。不考虑火星的自转及火星表面大气的影响，已知万有引力常量为G，则火星的质量M和火星的半径R分别为()AM，RBM，RCM，RDM，R解析探测器与火星表面碰撞
4、后，以速度v竖直向上反弹，经过时间t再次落回火星表面，则火星表面的重力加速度g，根据万有引力定律，对火星表面的物体有Gm0g，探测器在高度恰好等于火星半径的轨道上环绕火星做匀速圆周运动周期为T，则Gm2R，联立解得R，M，故A正确，B、C、D错误。答案A1. (2020四川成都高三诊断)2019年1月3日上午，“嫦娥四号”顺利着陆月球背面，成为人类首颗成功软着陆月球背面的探测器(如图所示)。已知地球和月球的半径之比为a，表面重力加速度之比为b，则地球和月球的密度之比为为()A.BC. D解析：设星球的密度为，由Gmg得GMgR2，联立解得，则，B正确。答案：B2为研究太阳系内行星的运动，需要知
5、道太阳的质量。已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T，则太阳的质量为()A. BC. D解析：对绕太阳公转的地球，根据万有引力定律得Gmr，根据地球表面的万有引力近似等于重力，对地球表面物体m有Gmg，两式联立得M，D正确。答案：D3(多选)(2020江西南昌模拟)下表是一些有关火星和地球的数据，利用万有引力常量G和表中选择的一些信息可以完成的估算是()信息序号信息内容地球一年约365天地表重力加速度约为9.8 m/s2火星的公转周期为687天日地距离大约是1.5亿公里地球半径约6 400 kmA.选择可以估算地球质量B选择可
6、以估算太阳的密度C选择可以估算火星公转的线速度D选择可以估算太阳对地球的吸引力解析：由Gmg，解得地球质量M，所以选择可以估算地球质量，选项A正确；Gmr()2，解得M，所以选择可以估算太阳的质量，由于不知太阳半径(太阳体积)，因而不能估算太阳的密度，选项B错误；根据开普勒定律，选择可以估算火星公转轨道半径r，火星公转的线速度vrr，选项C正确；选择可以估算地球围绕太阳运动的加速度，由于不知地球质量，不能估算太阳对地球的吸引力，选项D错误。答案：AC考向二卫星运行参数的分析1一种模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀
7、速圆周运动。2两条思路(1)万有引力提供向心力，即Gmamm2rmr。(2)天体对其表面物体的万有引力近似等于重力，即mg或GMgR2(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式GMgR2应用广泛，被称为“黄金代换式”。3两种特殊卫星(1)近地卫星轨道半径等于地球半径。卫星所受万有引力Fmg。卫星向心加速度ag。(2)同步卫星同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期。所有同步卫星都在赤道上空相同的高度上。典例2(2020山东济南区县联考)科学家预测银河系中所有行星的数量大概在23万亿之间。目前在银河系发现一颗类地行星，半径是地球半径的两倍，质量是地球质量的三倍。卫星a、b分别绕
8、地球、类地行星做匀速圆周运动，它们距中心天体表面的高度均等于地球的半径，则卫星a、b的()A线速度之比为1B角速度之比为32C周期之比为2D加速度之比为43解析设地球的半径为R，质量为M，则类地行星的半径为2R，质量为3M，卫星a的运动半径为Ra2R，卫星b的运动半径为Rb3R，万有引力充当向心力，根据公式Gm，可得va，vb，故线速度之比为1，A错误；根据公式Gm2r，可得a ，b ，故角速度之比为32，根据T可得周期之比为23，B正确，C错误；根据公式Gma，可得aa，ab，故加速度之比为34，D错误。答案B规律总结做圆周运动的卫星运行参量与轨道半径的四个关系越高越慢4. (多选)2020
9、年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射。北斗系统空间段由若干地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道卫星组成。如图所示，地球静止轨道卫星A与倾斜地球同步轨道卫星B距地面高度均约为36 000 km，中圆轨道卫星C距地面高度约为21 500 km。已知地球静止轨道卫星A与中圆轨道卫星C质量相同，引力势能公式为Ep。下列说法正确的是()AA与B运行的周期相同BA与B受到的向心力大小相同C正常运行时A比C的动能小D正常运行时A比C的机械能大解析：地球静止轨道卫星A与倾斜地球同步轨道卫星B距地面高度均约为36 000 km，两者轨道半径大小相等，根据开普勒第三定律得，可知A与B
10、运行的周期相同，选项A正确；题述没有给出地球静止轨道卫星A与倾斜地球同步轨道卫星B的质量关系，由万有引力提供向心力得F向G，可知A与B受到的向心力大小不一定相同，选项B错误；地球静止轨道卫星A距地面高度约为36 000 km，中圆轨道卫星C距地面高度约为21 500 km，可知地球静止轨道卫星A的轨道半径大于中圆轨道卫星C的轨道半径，由万有引力提供向心力有，解得v，所以A比C运行的线速度小，根据动能公式Ekmv2，可知正常运行时A比C的动能小，卫星正常运行时的机械能Emv2Ep，则正常运行时A比C的机械能大，选项C、D正确。答案：ACD5(2019高考天津卷)2018年12月8日，肩负着亿万中
11、华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的()A周期为 B动能为C角速度为 D向心加速度为解析：探测器绕月球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有Gm()2r，解得周期T ，A对；由Gm知，动能Ekmv2，B错；由Gmr2得，角速度，C错；由Gma得，向心加速度a，D错。答案：A6(2020浙江7月选考)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径
12、与地球公转轨道半径之比为32，则火星与地球绕太阳运动的()A轨道周长之比为23B线速度大小之比为C角速度大小之比为23D向心加速度大小之比为94解析：轨道周长C2r，与半径成正比，故轨道周长之比为32，A错误；由万有引力提供向心力，m，得v，得，B错误；由万有引力提供向心力，m2r，得，所以，C正确；由ma得a，得，D错误。答案：C7(2020山西大同十九中高三下学期3月线上模拟)已知同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是()A. B()2C. D解析：地球同步卫星的角速度和
13、地球赤道上的物体随地球自转的角速度相同，由a12r，a22R得，故A正确，B错误；对于地球同步卫星和以第一宇宙速度运动的近地卫星，由万有引力提供做匀速圆周运动所需向心力得到Gm，Gm，解得，故C、D错误。答案：A考向三卫星变轨问题1变轨实质：卫星变轨的运动模型是向心运动和离心运动。当由于某种原因卫星速度v突然增大时，有Gm，卫星将做向心运动。2五点注意(1)卫星的a、v、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化。(2)a、v、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定。(3)卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆周轨道上的运行
14、速度变化由v 判断。(4)质量相同的航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。(5)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。典例3 (多选)(2020四川成都七中二诊)2020年3月9日我国成功发射第54颗北斗导航卫星，意味着北斗全球组网仅差一步之遥。人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星从近地圆轨道的A点先变轨到椭圆轨道，然后在B点变轨进入地球同步轨道，则()A卫星在同步轨道上的运行速度小于7.9 km/sB卫星在轨道上稳定运行时，经过A点时的速率比过B点时小C若卫星在、轨道上运行的周
15、期分别为T1、T2、T3，则T1T2T3D现欲将卫星由轨道变轨进入轨道，则需在B点通过点火减速来实现解析卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有，得v，可知卫星运动半径r越大，运行速度v越小，所以卫星绕近地轨道运行时速度最大，即地球的最大环绕速度(7.9 km/s)，则卫星在同步轨道上的运行速度小于7.9 km/s，选项A正确。卫星在轨道上从A向B运动过程中，万有引力对卫星做负功，动能逐渐减小，速率也逐渐减小，所以卫星在轨道上过A点时的速率比卫星在轨道上过B点时的速率大，选项B错误。设卫星在轨道上运行的轨道半径为r1、轨道的半长轴为r2、在轨道上运行的轨道半径为r3，根据图中几何关系可
16、知r1r2r3，又由开普勒第三定律有k，可得T1T2T3，选项C正确。卫星在B点要进入轨道必须加速做离心运动，所以卫星在B点通过点火加速可实现由轨道进入轨道，选项D错误。答案AC8. (多选)(2020福建龙岩高三上学期期末)2019年5月17日23时48分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号丙运载火箭成功发射了第四十五颗北斗导航卫星。如图所示，先将卫星送入近地圆轨道，当卫星进入赤道上空P点时，控制火箭点火，使卫星进入椭圆轨道，卫星到达远地点Q时，再次点火，卫星进入相对地球静止的轨道。下列说法正确的是()A卫星在轨道上的线速度大于在轨道上的线速度B卫星在轨道上的运动周期等于在轨道上的运动周期C卫
17、星在轨道通过P点的加速度等于在轨道通过P点的加速度D卫星在轨道通过Q点的线速度小于在轨道通过Q点的线速度解析：根据万有引力提供向心力可知m，解得线速度v ，轨道半径越大，线速度越小，所以卫星在轨道上的线速度大于在轨道上的线速度，故A正确；轨道的半径小于轨道半长轴的长度，根据开普勒第三定律可知，卫星在轨道上的运动周期小于在轨道上的运动周期，故B错误；卫星只受万有引力作用，同一位置，加速度相等，所以卫星在轨道通过P点的加速度等于在轨道通过P点的加速度，故C正确；卫星在轨道通过Q点时，加速变轨到轨道，所以卫星在轨道通过Q点的线速度小于在轨道通过Q点的线速度，故D正确。答案：ACD9(多选)(2020
18、江西南昌安义中学月考)2019年1月3日10时26分，在反推发动机和着陆缓冲机构的“保驾护航”下，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面的预选着陆区。已知“嫦娥四号”的运行过程示意图如图所示，下列说法正确的是()A“嫦娥四号”的发射速度可以小于第一宇宙速度B“嫦娥四号”从地月转移轨道进入绕月椭圆轨道时必须减速C“嫦娥四号”在绕月轨道上运行时，轨道降低，周期减小D“嫦娥四号”在向月球着陆过程中始终处于失重状态解析：第一宇宙速度是最小的发射速度，“嫦娥四号”的发射速度一定大于第一宇宙速度，故A错误；“嫦娥四号”从地月转移轨道进入绕月椭圆轨道时，轨道半径减小，做近心运动，必须减速，故B正确；“嫦娥四号
19、”在绕月轨道上运行时，轨道降低，根据开普勒第三定律k知，周期减小，故C正确；“嫦娥四号”在向月球着陆过程中，做减速运动，加速度向上，处于超重状态，故D错误。答案：BC10.中国航天的发展一直偏重应用，而在纯科学的空间天文与深空探测方面，过去长期是空白的，所以中国航天局计划于2020年左右进行第一次火星探测。之前美国已发射了凤凰号着陆器降落在火星北极进行勘察，如图为凤凰号着陆器经过多次变轨后登陆火星的轨迹图，轨道上的P、S、Q三点与火星中心在同一直线上，P、Q两点分别是椭圆轨道的远火星点和近火星点，且PQ2QS(已知轨道为圆轨道)。关于着陆器，下列说法正确的是()A在P点由轨道进入轨道需要点火加速B在轨道上S点的速度小于在轨道上Q点的速度C在轨道上S点与在轨道上P点受到的万有引力相同D在轨道上由P到S的时间是其在轨道上由P到Q时间的2倍解析：在P点由轨道进入轨道需点火减速，选项A错误；在椭圆轨道上Q点的速度比近火星圆轨道卫星的速度大，由Gm可得v ，即近火星圆轨道卫星的速度大于在圆轨道上的速度，所以在轨道上S点的速度小于在轨道上Q点的速度，选项B正确；在S和P两点受到的万有引力大小相等，方向不同，选项C错误；由P到S的时间与从P到Q的时间都是在各自轨道运动周期的一半，由开普勒第三定律可得，因为PQ2QS，解得TT，选项D错误。答案：B
