1、一、必记 3 个知识点1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点 偶函数如 果 函 数f(x)的 定 义 域 内_x 都有_，那么函数 f(x)是偶函数关 于 _对称奇函数如 果 函 数f(x)的 定 义 域 内_x 都有_，那么函数 f(x)是奇函数关 于 _对称任意一个f(x)f(x)y 轴 任意一个f(x)f(x)原点2.奇偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_(填“相同”、“相反”)(2)在公共定义域内()两个奇函数的和函数是_，两个奇函数的积函数是_.()两个偶函数的和函数、积函数是_.()一个奇函数与一个偶函数的积函数是_.(3)若
2、f(x)是奇函数且在 x0 处有意义，则 f(0)_.相同相反奇函数偶函数偶函数奇函数03函数的周期性(1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT)_，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最 小 正 周 期：如 果 在 周 期 函 数 f(x)的 所 有 周 期 中 _的正数，那么这个_就叫做 f(x)的最小正周期(3)常见结论：若 f(xa)f(x)，则 T2a；若 f(xa)1fx，则 T2a；若 f(xa)1fx，则 T2a.f(x)存在一个最小最小正数二、必明 2 个易误点1判断函数的奇偶
3、性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是判断函数具有奇偶性的一个必要条件2判断函数 f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个 x，均有 f(x)f(x)或 f(x)f(x)，而不能说存在 x0 使 f(x0)f(x0)、f(x0)f(x0)【小题热身】1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“ab0”是“函数 f(x)在区间a，b(ab)上具有奇偶性”的必要条件()(2)若函数 f(x)是奇函数，则必有 f(0)0.()(3)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数 yf(x)的图象关于直线xa 对称()(4)若函数 yf(xb)是奇函数，则函数 yf(x)的图
4、象关于点(b,0)中心对称()(5)已知函数 yf(x)是定义在 R 上的偶函数，若在(，0)上是减函数，则在(0，)上是增函数()(6)若 T 为 yf(x)的一周期，那么 nT(nZ)是函数 f(x)的周期()2已知 f(x)ax2bx 是定义在a1,2a上的偶函数，那么 ab 的值是()A13 B.13 C.12 D12解析：f(x)ax2bx 是定义在a1,2a上的偶函数，a12a0，a13.又 f(x)f(x)，b0，ab13.答案：B32020西藏山南二高一模下列函数中，是偶函数且在区间(0，)上单调递减的函数是()Ay2x By xCy|x|Dyx21解析：A 选项，根据 y2x
5、 的图象知该函数非奇非偶，可知 A 项错误；B 选项，由 y x的定义域为0，)，知该函数非奇非偶，可知 B 项错误；C 选项，当 x(0，)时，y|x|x 为增函数，不符合题意，可知 C 项错误；D 选项，由(x)21x21，可知该函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在(0，)上单调递减，可知 D 项正确故选 D 项答案：D42020安徽江南十校联考设 f(x)xsin x(xR)，则下列说法错误的是()Af(x)是奇函数Bf(x)在 R 上单调递增Cf(x)的值域为 R Df(x)是周期函数解析：因为 f(x)xsin(x)(xsin x)f(x)，所以f(x)为奇函数，故 A 正确；因为
6、 f(x)1cos x0，所以函数 f(x)在 R 上单调递增，故 B 正确；因为 f(x)在 R 上单调递增，所以 f(x)的值域为 R，故 C 正确；f(x)在 R 上单调递增，故不是周期函数答案：D5教材改编设函数 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的偶函数，当x0,1时，f(x)x1，则 f32 _.解析：依题意得，f(2x)f(x)，f(x)f(x)，则 f32 f12 f12 12132.答案：32考点一 函数奇偶性的判定自主练透型判断下列函数的奇偶性(1)f(x)1x2 x21；(2)f(x)|x1|x1|；(3)f(x)1x2|x2|2；(4)f(x)x2x，x0.解析：(1
7、)由x210，1x20，得 x1，f(x)的定义域为1,1又 f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即 f(x)f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数(2)函数的定义域为(，)，关于原点对称f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)，f(x)|x1|x1|是奇函数(3)由1x20，|x2|20，得1x1，x0且x4.故 f(x)的定义域为1,0)(0,1，关于原点对称，且有 x20.从而有 f(x)1x2x22 1x2x，这时有 f(x)1x2x 1x2xf(x)，故 f(x)为奇函数(4)法一 画出函数 f(x)x2x，x0的图象如图所示，图象关于 y 轴对称，故 f(x)
8、为偶函数法二 f(x)还可以写成 f(x)x2|x|(x0)，故 f(x)为偶函数悟技法判断函数奇偶性的三种方法(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点的对称区域，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点的对称区域，再判断 f(x)是否等于f(x)或判断 f(x)f(x)是否等于零，或判断 fxfx(f(x)0)是否等于1 等(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或 y 轴)对称(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数
9、的积为奇函数(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)提醒 对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在 x0 使f(x0)f(x0)，不能判断函数 f(x)是奇函数.考点二 函数周期性的应用互动讲练型例 1(1)2019山东聊城二模已知函数 f(x)fx2，x2，ex1x2，x2，则 f(2 019)()A2 B.1eC2 De4解析：(1)因为 x2 时，f(x)f(x2)，所以 f(x2)f(x)，故 f(x4)f(x2)f(x)，因此当 x2 时，函数 f(x)是以 4 为周期的函数，所以 f(2 019)f(34504)f(3)f(1)，又当 x2 时，f(x)ex1x2，所以 f(2
10、 019)f(1)(11)2.故选 C 项答案：(1)C(2)已知定义在 R 上的函数满足 f(x2)1fx，x(0,2时，f(x)2x1.则 f(1)f(2)f(3)f(2 017)的值为_解析：f(x4)1fx2f(x)，函数 yf(x)的周期 T4.又 x(0,2时，f(x)2x1，f(1)1，f(2)3，f(3)1f11，f(4)1f213.f(1)f(2)f(3)(2 017)504f(1)f(2)f(3)f(4)f(50441)50413113 11 345.答案：(2)1 345悟技法1.明确解题的 2 个关键(1)根据函数的周期性将待求函数值的自变量转化到分段函数中的定义域范围
11、内，再代入相应解析式求解(2)对其函数解析式变形，使得其满足函数周期性的相关定义，进而归纳总结确定对应的周期，为进一步分析与求解打下基础2熟记 4 种常见抽象函数的周期(1)若 f(xa)f(x)，则 T2a.(2)若 f(xa)1fx，则 T2a.(3)若 f(xa)1fx，则 T2a.(4)若 f(xa)f(xa)，则 T2a.变式练(着眼于举一反三)1设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1,1)时，f(x)4x22，1x0，x，0 x1，则 f32 _.解析：f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，且 f(x)4x22，1x0，x，0 x1，f32 f12 41
12、2221.答案：122020开封市高三考试已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x2)，当 x(0,2时，f(x)2xlog2x，则 f(2 015)()A5 B.12C2 D2解析：由 f(x)f(x2)，得 f(x4)f(x)，所以函数 f(x)是周期为 4 的周期函数，所以 f(2 015)f(50343)f(3)f(12)f(1)(20)2，故选 D.答案：D考点三 函数性质的综合应用分层深化型考向一：奇偶性的应用例 2 2019全国卷已知 f(x)是奇函数，且当 x0 时，x0 时，f(x)f(x)eax，所以 f(ln 2)ealn 212a8，所以 a3.答案：3考
13、向二：单调性与奇偶性的结合例 3 2019全国卷设 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且在(0，)单调递减，则()解析：根据函数 f(x)为偶函数可知，flog314 f(log34)f(log34)，因为 023222320 flog314.答案：C考向三：奇偶性与周期性结合例 4 2020江西九江模拟已知函数 f(x)满足：对任意xR，f(x)f(x)0，f(x4)f(x)0 成立；当 x(0,2时，f(x)x(x2)，则 f(2 019)()A1 B0C2 D1解析：f(x)f(x)0，函数 f(x)是奇函数，f(x4)f(x)0，f(x)f(x4)，f(x)是以 4 为周期的函数，f(
14、2 019)f(15054)f(1)f(1)1.故选 A 项答案：A考向四：对称性、奇偶性与周期性的结合例 5 2020山东师大附中模拟已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数，满足 f(1x)f(1x)，若 f(1)2，则 f(1)f(2)f(3)f(2 018)_.解析：因为 f(x)是定义域为 R 的奇函数，所以 f(x)f(x)由f(1x)f(1x)得 f(x2)f(x)，即 f(x2)f(x)，进而得 f(x4)f(x2)f(x)，故 f(x)是周期为 4 的函数，所以 f(3)f(1)f(1)2，f(2)f(0)0，f(4)f(0)0，则 f(1)f(2)f(3)f(4)20200，
15、故 f(1)f(2)f(3)f(2 018)5040202.答案：2悟技法函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性(2)周期性与奇偶性结合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(3)周期性、奇偶性与单调性结合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.同类练(着眼于触类旁通)32019全国卷设 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)ex1，则当 x0 时，f(x)()Aex1 Bex1Cex1 Dex1解
16、析：当 x0，则 f(x)ex1，又f(x)为奇函数，f(x)f(x)(ex1)ex1.故选 D.答案：D42020江西南昌摸底考试若定义域为 R 的函数 f(x)在(4，)上为减函数，且函数 yf(x4)为偶函数，则()Af(2)f(3)Bf(2)f(5)Cf(3)f(5)Df(3)f(6)解析：yf(x4)是偶函数，f(x4)f(x4)，令 x2，得 f(2)f(24)f(24)f(6)，同理，f(3)f(5)，f(x)在(4，)上为减函数，f(5)f(6)，所以 f(3)f(6)，故选 D.答案：D变式练(着眼于举一反三)52020南昌模拟已知函数 f(x2)(xR)为奇函数，且函数f(
17、x)的图象关于直线 x1 对称，当 x0,1时，f(x)x2 018，则 f(2 018)()A2 018 B.12 018C.11 009 D0解析：由题意知，f(x2)f(x2)，f(x)f(x4)，又 f(x)f(x2)，f(x4)f(x2)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x)，f(x)的周期为 4，故 f(2 018)f(2 0162)f(2)f(0)0.答案：D62020辽宁鞍山一中三模奇函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x1)为偶函数，且 f(1)1，则 f(2 018)f(2 019)()A2 B1 C0 D1解析：因为 f(x1)为偶函数，f(x)为奇函数，所以 f(0
18、)0，f(x1)f(x1)f(x1)，即 f(x2)f(x)，则 f(x4)f(x2)f(x)，即 f(x)是周期为 4 的周期函数，f(2 018)f(50442)f(2)f(0)0，f(2 019)f(50451)f(1)1，故 f(2 018)f(2 019)011，故选 B 项答案：B拓展练(着眼于迁移应用)72019全国卷设函数 f(x)的定义域为 R，满足 f(x1)2f(x)，且当 x(0,1时，f(x)x(x1)若对任意 x(，m，都有 f(x)89，则 m 的取值范围是()A.，94 B.，73C.，52 D.，83解析：当1x0 时，0 x11，则 f(x)12f(x1)1
19、2(x1)x；当 1x2 时，0 x11，则 f(x)2f(x1)2(x1)(x2)；当2x3 时，0 x21，则 f(x)2f(x1)22f(x2)22(x2)(x3)，由此可得 f(x)12x1x，1x0，xx1，0 x1，2x1x2，1x2，22x2x3，2x3，由此作出函数 f(x)的图象，如图所示由图可知当 2x3 时，令 22(x2)(x3)89，整理，得(3x7)(3x8)0，解得 x73或 x83，将这两个值标注在图中要使对任意 x(，m都有 f(x)89，必有 m73，即实数 m 的取值范围是，73，故选 B.答案：B微专题(四)利用奇偶性及方程思想求函数中的参数值例 202
20、0浙江金华模拟若函数 f(x)x2x1xa为奇函数，则 a()A.12 B.23C.34D1解析：解法一 因为 f(x)是奇函数，所以 f(x)f(x)因为 f(x)x2x1xax2x212axa，所以x2x212axax2x212axa.所以(12a)12a，所以 12a0，所以 a12.解法二 根据奇函数取特殊值求解由已知 f(x)为奇函数，得 f(1)f(1)，即1211a1211a，所以 a13(1a)，解得 a12.经检验可知 a12时 f(x)为奇函数解法三 根据 f(x)形式特点分析因为 f(x)的分子是奇函数，所以要使 f(x)为奇函数，则它的分母必为偶函数，所以 12a0，所
21、以 a12.解法四 根据奇函数的特点及定义域求解因为 f(x)为奇函数，且12不在 f(x)的定义域内，故12也不在 f(x)的定义域内，所以12a0，所以 a12.答案：A名师点评 利用函数的奇偶性求参数的思路：利用函数的奇偶性的定义转化为 f(x)f(x)，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解变式练 2020河北省“五个一名校联盟”考试已知奇函数f(x)满足 f(x1)f(1x)，若当 x(1,1)时，f(x)lg1x1x，且 f(2 018a)1，则实数 a 的值可以是()A.911B.119C 911 D119解析：f(x1)f(1x)，f(x)f(2x)，又函数 f(x)为奇函数，f(x)f(x)，f(x)f(2x)，f(2x)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，函数 f(x)为周期函数，周期为 4.当 x(1,1)时，令 f(x)lg1x1x1，得 x 911，又 f(2 018a)f(2a)f(a)，a 可以是 911，故选 A.答案：A
