1、专题04 和差化积-因式分解的方法（2） 阅读与思考 因式分解还经常用到以下两种方法 1主元法 所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法 2待定系数法即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是： （1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系
2、数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解例题与求解 【例l】因式分解后的结果是（） A B C D（上海市竞赛题） 解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列，改变原式结构，寻找解题突破口 【例2】分解因式： （1）；（“希望杯”邀请赛试题） （2）（天津市竞赛题） 解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法分解 【例3】分解因式（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：因的最高次数低于的最高次数，故将原式整理成字母的二次三项式 【例4】为何值时，多项式有一个因式是（“五羊杯”竞赛试题）解题
3、思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手 【例5】把多项式写成一个多项式的完全平方式.（江西省景德镇市竞赛题） 解题思路：原多项式的最高次项是，因此二次三项式的一般形式为，求出即可 【例6】如果多项式能分解成两个一次因式，的乘积（为整数），则的值应为多少？（江苏省竞赛试题） 解题思路：由待定系数法得到关于的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出的值能力训练A 级1分解因式：_（“希望杯”邀请赛试题）2分解因式：_（河南省竞赛试题）3分解因式：_（重庆市竞赛试题）4多项式的最小值为_（江苏省竞赛试题）5把多项式分解因式的结果是（） A B C D6已知能分
4、解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数的个数是（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6个7若被除后余3，则的值为（ ） A2 B4 C9 D10（“CASIO杯”选拔赛试题）8若，则的值是（ ） A B C D0 （大连市“育英杯”竞赛试题）9分解因式：（1）；（吉林省竞赛试题）（2）；（昆明市竞赛试题）（3）；（天津市竞赛试题）（4）；（四川省联赛试题）（5）（天津市竞赛试题）10如果能够分割成两个多项式和的乘积（为整数），那么应为多少？（兰州市竞赛试题）11 已知代数式能分解为关于的一次式乘积，求的值（浙江省竞赛试题）B级1若有一个因式是，则_ （“希望杯”邀请赛试题）2设可分
5、解为一次与二次因式的乘积，则_（“五羊杯”竞赛试题）3已知是的一个因式，则_ （“祖冲之杯”邀请赛试题）4多项式的一个因式是，则的值为_（北京市竞赛试题）5若有两个因式和，则（） A8 B7 C 15 D21 E22（美国犹他州竞赛试题）6多项式的最小值为（ ） A4 B5 C16 D25（“五羊杯”竞赛试题）7若（为实数），则M的值一定是（ ） A正数 B负数 C零 D整数 (“CASIO杯”全国初中数学竞赛试题）8设满足，则（ ） A（2，2）或（2，2） B（2，2）或（2，2） C（2，2）或（2，2） D（2，2）或（2，2） （“希望杯”邀请赛试题）9为何值时，多项式能分解成两个一
6、次因式的积？（天津市竞赛试题）10证明恒等式：（北京市竞赛试题）11已知整数，使等式对任意的均成立，求的值（山东省竞赛试题）12证明：对任何整数，下列的值都不会等于33（莫斯科市奥林匹克试题）专题04 和差化积-因式分解的方法(2)例1. A 提示: 将原式重新整理成关于的二次三项式例2. (1) 提示: 原式 (2) 提示: 原式例3. 原式 例4. 提示: 可设原式展开比较对应项系数得解得k12例5原式例6设x2（a5）x5a1（xb）（xc）x2（bc）xbc52得bc5（bc）26，bc5（bc）251，（b5）（c5）1或或故a5A级1（3a2bc）（3a2bc）2（x3y）（x2y
7、1）3（xy1）（xy3）4185C6D7D8D9（1）（2ab）（abc）；（2）（ac2b）2；（3）（x2）（x2xa）；（4）（x2y3）（2x3y4）；（5）（x1）（y1）（x1）（y1）10提示：由题意得4，得（b4）（c4）1，推得或故a411x23xy4y（xy）（x4y），可设原式（xym）（x4yn），展开比较对应项系数得b6或9B级1k522提示：原式x（x23xk）2y（x2），令x235提示：令原式（xy4）A，取一组x，y的值代入上式435C提示：x1，x2是方程x3ax2bx80的解6C提示：原式（x2y）2（2x3）2167A提示：原式2（x2y）2（x2）2
8、（y3）20，且这三个数不能同时为零，M08C9k3提示：因x23x2（x1）（x2），故可令原式（xmy1）（x十ny2），展开比较对应项系数求出k10提示：左边（a2b2）22a2b2（a2b22ab）2（a2b2）22a2b2（a2b2）24ab（a2b2）4a2b22（a2b2）4ab（a2b2）2a2b22（a2b2ab）2右边11将原等式展开x2（abc）xabl0cx210x1110得ab10a10b111（a10）（b10）11或或或或或或代入得c0或2012原式（x53x4y）（5x3y15x2y3）（4xy412y5）x4（x3y）5x2y2（x3y）4y4（x3y）（x3y）（x45x2y24y2）（x3y）（x24y2）（x3y）（xy）（xy）（x2y）（x2y）当y0时，原式x533;当y0时，x3y，xy，x2y，x2y，xy互不相同，而33不可能分解为4个以上不同因数的积，所以，当x取任意整数，y取不为0的任意整数，原式33
