1、第四章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设f(x)=xa-ax(0a1),则f(x)在0,+)内的极大值点x0等于()A.0B.aC.1D.1-a解析:令f(x0)=ax0a-1-a=0(0a1),x0a-1=1.x0=1.答案:C2.若函数f(x)=x3-3x-a在区间0,3上的最大值,最小值分别是m,n,则m-n的值为()A.2B.4C.18D.20解析:令f(x)=3x2-3=0,x=1(x=-1舍去).f(0)=-a,f(1)=-2-a,f(3)=18-a,f(1)f(0)f(3).m=18-a,n=-2-a.m-n=(18-
2、a)-(-2-a)=20.答案:D3.函数f(x)=x2-ln x的递减区间是()A.0,22B.22,+C.-,-22,0,22D.-22,0,0,22解析:f(x)=2x-1x=2x2-1x,当00时,f(x)0,g(x)0,则x0,g(x)0B.f(x)0,g(x)0C.f(x)0D.f(x)0,g(x)0时是增加的,所以x0;g(x)为偶函数且x0时是增加的,所以x0时是减少的,g(x)0.答案:B5.对任意的xR,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是()A.0a21B.a=0或a=7C.a21D.a=0或a=21解析:f(x)=3x2+2ax+7a,当=4a2-
3、84a0,即0a21时,f(x)0恒成立,函数不存在极值点.答案:A6.已知函数f(x)=xln x,若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1,则x0的值等于()A.1B.-1C.1D.不存在解析:因为f(x)=xln x,所以f(x)=ln x+1,于是有x0ln x0+ln x0+1=1,解得x0=1.答案:A7.如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则函数的解析式为()A.y=1125x3-35xB.y=2125x3-45xC.y=3125x3-xD.y=-3125x3+15x解析:根据题意知,所求函数在(
4、-5,5)上是减少的.对于A,y=1125x3-35x,y=3125x2-35=3125(x2-25),x(-5,5),y0,y=1125x3-35x在(-5,5)上是减少的,同理可验证B,C,D均不满足此条件,故选A.答案:A8.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元,销售量为Q,则销售量Q(单位:件)与零售价P(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170P-P2.最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)()A.30元B.60元C.28 000元D.23 000元解析:设毛利润为L(P),由题意知L(P)=PQ-20Q=Q(P-20)=(8 300-170
5、P-P2)(P-20)=-P3-150P2+11 700P-166 000,所以,L(P)=-3P2-300P+11 700.令L(P)=0,解得P=30,或P=-130(舍去).此时,L(30)=23 000.根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23 000元.答案:D9.当x-2,1时,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,则实数a的取值范围是()A.-5,-3B.-6,-98C.-6,-2D.-4,-3解析:当x(0,1时,得a-31x3-41x2+1x,令t=1x,则t1,+),a-3t3-4t2+t,令g(t)=-3t3-4t2+t,t1,
6、+),则g(t)=-9t2-8t+1=-(t+1)(9t-1),显然在1,+)上,g(t)0,g(t)是减少的,所以g(t)max=g(1)=-6,因此a-6;同理,当x-2,0)时,得a-2.由以上两种情况得-6a-2,显然当x=0时也成立.故实数a的取值范围为-6,-2.答案:C10.已知函数f(x)是定义在(0,+)上的函数,其导数为f(x),且满足f(x)-f(x)=-exx2,又f(1)=e,则函数f(x)在定义域(0,+)上()A.有极大值B.有极小值C.是增加的D.是减少的解析:由f(x)-f(x)=-exx2可得f(x)-f(x)ex=-1x2,即f(x)ex=-1x2,于是f
7、(x)ex=1x+c,其中c为常数.又因为f(1)=e,所以ee=1+c,故c=0,从而f(x)=exx.于是f(x)=ex(x-1)x2,令f(x)=0得x=1,且0x1时,f(x)1时,f(x)0,故函数f(x)在定义域(0,+)上有极小值.答案:B11.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则a的取值范围是()A.(2,+)B.(-,-2)C.(1,+)D.(-,-1)解析:当a=0时,f(x)=-3x2+1有两个零点,不符合题意,故a0.f(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),令f(x)=0,得x=0或x=2a,由题意得a0,解得a-2,选B
8、.答案:B12.已知函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(2-x),且当x(-,1)时,(x-1)f(x)0,设a=f(0),b=f12,c=f(3),则a,b,c的大小关系为()A.abcB.cabC.cbaD.bca解析:由f(x)=f(2-x)知函数f(x)图像关于x=1对称.当x1时,由(x-1)f(x)0,即x1时,f(x)是增加的.a=f(0),b=f12,c=f(3)=f(-1),-1012,ca0,得-1x1,即函数f(x)的增区间为(-1,1).又f(x)在(m,2m+1)上是增加的,所以m-1,m2m+1,2m+11,解得-1m0.答案:(-1,0三、解答题(本大题
9、共6小题,需写出演算过程与文字说明,共70分)17.(本小题满分10分)求函数y=x22x的单调区间.解y=x22x,y=2x2x-x22xln2(2x)2=2x-x2ln22x,解y0,即2x-x2ln22x0,得x2ln2.函数y=x22x在0,2ln2上是增加的,在(-,0),2ln2,+上是减少的.18.(本小题满分12分)(2017北京高考)已知函数f(x)=excos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间0,2上的最大值和最小值.解(1)因为f(x)=excos x-x,所以f(x)=ex(cos x-sin x)-1,f(0)
10、=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1,则h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.当x0,2时,h(x)0,所以h(x)在区间0,2上单调递减.所以对任意x0,2有h(x)h(0)=0,即f(x)0,则由f(x)=0得x=ln a.当x(-,ln a)时,f(x)0.故f(x)在(-,ln a)单调递减,在(ln a,+)单调递增.若a0,则由f(x)=0得x=ln-a2.当x-,ln-a2时,f(x)0.故f(x)在-,ln-a2单调递减,在ln-
11、a2,+单调递增.(2)若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)0.若a0,则由(1)得,当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a2ln a.从而当且仅当-a2ln a0,即a1时,f(x)0.若a0,则由(1)得,当x=ln-a2时,f(x)取得最小值,最小值为fln-a2=a234-ln-a2.从而当且仅当a234-ln-a20,即a-2e34时f(x)0.综上,a的取值范围是-2e34,1.20.导学号01844054(本小题满分12分)(2017全国高考)设函数f(x)=(1-x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x0时,f(x)ax+1,求a的取
12、值范围.解(1)f(x)=(1-2x-x2)ex.令f(x)=0得x=-1-2,x=-1+2.当x(-,-1-2)时,f(x)0;当x(-1+2,+)时,f(x)0.所以f(x)在(-,-1-2),(-1+2,+)内单调递减,在(-1-2,-1+2)内单调递增.(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.当a1时,设函数h(x)=(1-x)ex,h(x)=-xex0),因此h(x)在0,+)内单调递减,而h(0)=1,故h(x)1,所以f(x)=(x+1)h(x)x+1ax+1.当0a0(x0),所以g(x)在0,+)内单调递增,而g(0)=0,故exx+1.当0x(1-x)(1+x)2,(1-
13、x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=5-4a-12,则x0(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)ax0+1.当a0时,取x0=5-12,则x0(0,1),f(x0)(1-x0)(1+x0)2=1ax0+1.综上,a的取值范围是1,+).21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=1x2+aln x(aR).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若不等式xf(x)2x在(0,1)上恒成立,求实数a的取值范围.解(1)函数定义域为(0,+),f(x)=-2x3+ax=ax2-2x3.当a0时,f(x)0时,由f(x)=ax2-2x30,解得x2
14、a;由f(x)=ax2-2x30,解得0x0时,f(x)在0,2a上是减少的,在2a,+上是增加的.(2)不等式xf(x)2x,即x1x2+alnx2x,所以axln x1x在(0,1)上恒成立,由于x(0,1),所以ln x1x2lnx.令g(x)=1x2lnx,则g(x)=-2xlnx+12(x2lnx)2,令g(x)=0得x=1e,当0x0;当x1e时,g(x)-2e.22.导学号01844055(本小题满分12分)已知f(x)=ax-ln x,x(0,e,g(x)=lnxx,其中e是自然对数的底数,aR.(1)讨论当a=1时,f(x)的单调性、极值.(2)求证:在(1)的条件下,f(x
15、)g(x)+12.(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.解(1)f(x)=x-ln x,f(x)=1-1x=x-1x,当0x1时,f(x)0,此时f(x)是减少的;当1x0,此时f(x)是增加的.f(x)的极小值为f(1)=1,f(x)在定义域(0,e上无极大值.(2)f(x)的极小值为1,即f(x)在(0,e上的最小值为1,f(x)0,f(x)min=1.令h(x)=g(x)+12=lnxx+12,则h(x)=1-lnxx2,当0x0,h(x)在(0,e上是增加的,h(x)max=h(e)=1e+12g(x)+12.(3)假设存在实数a,使f(x)=ax-ln x,x(0,e有最小值3,f(x)=a-1x=ax-1x.当a0时,x(0,e,f(x)0,f(x)在(0,e上是减少的,f(x)min=f(e)=ae-1=3,解得a=4e(舍去).当01ae时,f(x)在0,1a上是减少的,在1a,e上是增加的,f(x)min=f1a=1+ln a=3,解得a=e2,满足条件.当1ae时,x(0,e,f(x)0,f(x)在(0,e上是减少的,f(x)min=f(e)=ae-1=3,解得a=4e(舍去).综上,存在实数a=e2,使得当x(0,e时f(x)有最小值3.
