1、第 1 讲 空间几何体1(2014安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A21 3B18 3C21D182(2015山东)在梯形 ABCD 中，ABC2，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形 ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.23B.43C.53D23(2014湖北)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V 136L2h.它实际上是将圆锥体积
2、公式中的圆周率 近似取为 3.那么，近似公式 V 275L2h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为()A.227B.258C.15750D.3551134(2014江苏)设甲，乙两个圆柱的底面积分别为 S1，S2，体积分别为 V1，V2.若它们的侧面积相等，且S1S294，则V1V2的值是_1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.热点一 三视图与直观图1一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即“长对
3、正、高平齐、宽相等”2由三视图还原几何体的步骤一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体例 1(1)(2014课标全国)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A三棱锥B三棱柱C四棱锥D四棱柱(2)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果跟踪演练
4、 1(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()热点二 几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧例 2(1)(2015北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A2 5B4 5C22 5D5(2)如图，在棱长为 6 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别在 C1D1
5、与 C1B1 上，且 C1E4，C1F3，连接 EF，FB，DE，BD 则几何体 EFC1DBC 的体积为()A66B68C70D72思维升华(1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和(2)求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差求解时注意不要多算也不要少算跟踪演练 2(2015四川)在三棱柱 ABCA1B1C1 中，BAC90，其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是直角边的长为 1 的等腰直角三角形，设点 M，N，P 分别是 AB，BC，B1C1 的中点，则三棱锥 PA1MN 的体积是_热点三 多面体与球与
6、球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径例 3(1)已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SA平面 ABC，SA2 3，AB1，AC2，BAC60，则球 O 的表面积为()A4B12C16D64(2)(2015课标全国)已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB90，C 为该球面上的动点，若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积
7、为()A36B64C144D256思维升华 三棱锥 PABC 可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形：(1)P 可作为长方体上底面的一个顶点，A、B、C 可作为下底面的三个顶点；(2)PABC 为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线跟踪演练 3 在三棱锥 ABCD 中，侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，ABC，ACD，ABD的面积分别为 22，32，62，则三棱锥 ABCD 的外接球体积为_1一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为()A16B8 28C2 22 68D4 24 682如图，将边长为 5 2的正方形，剪去阴影部分后，得到圆锥的侧面和底面的展开
8、图，则圆锥的体积是()A.2 303B.2 63 C.303 D.603 3(2015临汾一中测试)在正三棱锥 SABC 中，M 是 SC 的中点，且 AMSB，底面边长 AB2 2，则正三棱锥 SABC 的外接球的表面积为()A6B12C32D36提醒：完成作业 专题五 第 1 讲二轮专题强化练专题五第 1 讲 空间几何体A 组 专题通关1(2014重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A12B18C24D302如图是棱长为 2 的正方体的表面展开图，则多面体 ABCDE 的体积为()A2B.23C.43D.833已知正四棱锥的底面边长为 2a，其侧视图如图所示当正视图的面积
9、最大时，该正四棱锥的表面积为()A8B88 2C8 2D48 24(2015课标全国)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为 1620，则 r 等于()A1B2C4D85三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的表面上，SA平面 ABC，ABBC，又 SAABBC1，则球 O 的表面积为()A.32 B.32C3D126有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积为_7(2014山东)一个六棱锥的体积为 2 3，其底面是边长为
10、 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_8如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别为线段 AA1，B1C 上的点，则三棱锥 D1EDF 的体积为_9已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为_10已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形，侧视图是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形(1)求该几何体的体积 V；(2)求该几何体的侧面积 S.B 组 能力提高11如图，侧棱长为 2 3的正三棱锥 VABC 中，AVBBVCCVA 40，过 A 作 截 面 AEF，则 截 面 AEF 的 周 长 的 最
11、 小 值 为_12已知矩形 ABCD 的面积为 8，当矩形周长最小时，沿对角线 AC 把ACD 折起，则三棱锥 DABC 的外接球的表面积等于_13已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，给出下列四个命题：对角线 AC1 被平面 A1BD 和平面 B1CD1 三等分；正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比 123；以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是16；正方体与以 A 为球心，1 为半径的球的公共部分的体积是6.其中正确命题的序号为_14如图，在 RtABC 中，ABBC4，点 E 在线段 AB 上过点 E 作 EFBC 交 AC 于点F，将AEF 沿 EF 折起
12、到PEF 的位置(点 A 与 P 重合)，使得PEB30.(1)求证：EFPB；(2)试问：当点 E 在何处时，四棱锥 PEFCB 的侧面 PEB 的面积最大？并求此时四棱锥PEFCB 的体积学生用书答案精析专题五 立体几何 第 1 讲 空间几何体高考真题体验1A 由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示因此该几何体的表面积为 6(412)2 34(2)221 3.故选 A.2C 过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E，梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆半径，ED 为高
13、的圆锥，如图所示，该几何体的体积为 VV 圆柱V 圆锥AB2BC13CE2DE1221312153.3B 设圆锥的底面半径为 r，则圆锥的底面圆周长 L2r，所以圆锥底面圆的半径 r L2，则圆锥的体积为 V13Sh13r2h13 L242h 112L2h.又 V 275L2h，所以 112L2h 275L2h，解得 258.4.32解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为 r1，r2 和 h1，h2，由S1S294，得r21r2294，则r1r232.由圆柱的侧面积相等，得 2r1h12r2h2，即 r1h1r2h2，所以V1V2r21h1r22h2r1r232.热点分类突破例 1(1)B(2)
14、B解析(1)由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选 B.(2)由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组合从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形跟踪演练 1(1)D(2)D解析(1)由俯视图，易知答案为 D.(2)如图所示，点 D1 的投影为 C1，点 D 的投影为 C，点 A 的投影为 B，故选 D.例 2(1)C(2)A解析(1)该三棱锥的直观图如图所示：过 D 作 DEBC，交 BC 于 E，连接 AE，则 BC2，EC1，AD1，ED2，S 表SBCDSACDSABDSABC122212 5112 51
15、122 522 5.(2)如图，连接 DF，DC1，那么几何体 EFC1DBC 被分割成三棱锥 DEFC1 及四棱锥 DCBFC1，那么几何体 EFC1DBC 的体积为 V13123461312(36)66125466.故所求几何体 EFC1DBC 的体积为 66.跟踪演练 2 124解析 由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为 1 的等腰直角三角形，高为 1 的直三棱柱，11P A MNAPMNVV，又AA1平面 PMN，1APMNA PMNVV，VA-PMN131211212 124，故1P A MNV 124.例 3(1)C(2)C解析(1)在ABC 中，BC
16、2AB2AC22ABACcos 603，AC2AB2BC2，即 ABBC，又 SA平面 ABC，三棱锥 SABC 可补成分别以 AB1，BC 3，SA2 3为长、宽、高的长方体，球 O 的直径12 322 324，故球 O 的表面积为 42216.(2)如图，要使三棱锥 O-ABC 即 C-OAB 的体积最大，当且仅当点 C 到平面OAB 的距离，即三棱锥 C-OAB 底面 OAB 上的高最大，其最大值为球 O的半径 R，则 VO-ABC 最大VC-OAB 最大13SOABR1312R2R16R336，所以 R6，得 S 球 O4R2462144，选 C.跟踪演练 3 6解析 如图，以 AB，
17、AC，AD 为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长据题意ABAC 2，ACAD 3，ABAD 6，解得AB 2，AC1，AD 3，长方体的对角线长为AB2AC2AD2 6，三棱锥外接球的半径为 62.三棱锥外接球的体积为V43(62)3 6.高考押题精练1D 由三视图知，该几何体是底面边长为22222 2的正方形，高 PD2 的四棱锥 PABCD，因为 PD平面 ABCD，且四边形 ABCD是正方形，易得 BCPC，BAPA，又 PC PD2CD2222 222 3，所以 SPCDSPAD1222 22 2，SPABSPBC12
18、2 22 32 6.所以几何体的表面积为 4 64 28.2A 设圆锥底面半径为 RMO，底面周长2R弧长 FE142AM，AM4R，OC 2R，ACAMMOOC(5 2)R，正方形边长5 2 22 AC，即 5 2 22(5 2)R，R 2，AM4 2，h AM2R2 30，V13R2h132 302 303.3B 因为三棱锥 SABC 为正三棱锥，所以 SBAC，又 AMSB，所以 SB平面 SAC，所以 SBSA，SBSC，即 SA，SB，SC 三线两两垂直，且 AB2 2，所以 SASBSC2，所以(2R)232212，所以球的表面积 S4R212，故选 B.二轮专题强化练答案精析专题
19、五 立体几何 第 1 讲 空间几何体1C 由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示在图(1)中，1 1 1ABCA B CV棱柱SABCAA11243530，1 1 1PA B CV棱锥 131 1 1A B CSPB113124336.故几何体 ABCPA1C1 的体积为 30624.故选 C.2D 多面体 ABCDE 为四棱锥(如图)，利用割补法可得其体积 V44383，选 D.3B 由题意可知该正四棱锥的直观图如图所示，其正视图与侧视图相同
20、，设棱锥的高为 h，则 a2h24.故其正视图的面积为 S122ahaha2h222，即当 ah 2时，S 最大，此时该正四棱锥的表面积 S表(2a)24122a288 2，故选 B.4B 由正视图与俯视图想象出其直观图，然后进行运算求解如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为 r，圆柱的底面半径为 r，高为 2r，则表面积 S124r2r24r2r2r(54)r2.又 S1620，(54)r21620，r24，r2，故选 B.5C 如图，因为 ABBC，所以 AC 是ABC 所在截面圆的直径，又因为 SA平面 ABC，所以SAC 所在的截面圆是球的大圆，所以 SC是球的一条直
21、径由题设 SAABBC1，由勾股定理可求得：SB 2，SC 3，所以球的半径 R 32，所以球的表面积为 4(32)23.62 22解析 如图，在直观图中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，则在 RtABE 中，AB1，ABE45，BE 22.而四边形 AECD 为矩形，AD1，ECAD1，BCBEEC 22 1.由此可还原原图形如图在原图形中，AD1，AB2，BC 22 1，且 ADBC，ABBC，这块菜地的面积为S12(ADBC)AB12(11 22)22 22.712解析 设正六棱锥的高为 h，侧面的斜高为 h.由题意，得136122 3h2 3，h1，斜高 h12 322，S 侧61
22、22212.8.16解析 11DEDFFDD EVV131D DESAB131211116.9.332解析 由三视图可知，该几何体是底面半径为 1，高为 3，母线长为 2 的圆锥的一半，其表面积是整个圆锥表面积的一半与轴截面的面积之和所以，S1212221212122 332 3.10解 由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为 4，顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥 EABCD.(1)V13(86)464.(2)四棱锥 EABCD 的两个侧面 EAD，EBC 是全等的等腰三角形，且 BC 边上的高 h1428224 2；另两个侧面 EAB，ECD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高 h2
23、426225.因此 S2(1264 21285)4024 2.116解析 沿着侧棱 VA 把正三棱锥 VABC 展开在一个平面内，如图，则 AA即为截面AEF 周长的最小值，且AVA340120.在VAA中，由余弦定理可得 AA6，故答案为 6.1216解析 设矩形的两邻边长度分别为 a，b，则 ab8，此时 2a2b4 ab8 2，当且仅当 ab2 2时等号成立，此时四边形 ABCD 为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为 2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为 2 的球面上，这个球的表面积是 42216.13解析 设对角线 AC1 与平面 A1BD 相交于点 M，则 AM平面 A1
24、BD，13AM 34(2)21312111，解得 AM 33 13AC1，设对角线 AC1 与平面 B1CD1 相交于点 N，则 NC1平面 B1CD1，13C1N 34(2)21312111，解得 C1N 33 13AC1，因此对角线 AC1 被平面 A1BD 和平面 B1CD1 三等分，正确；正方体的内切球、与各棱相切的球、外接球的半径分别为12、22、32，因此它们的表面积之比为 4(12)24(22)24(32)2123，正确；以 A1，B，D，C1 为顶点的三棱锥的体积为 V1341613，不是16，不正确；正方体与以 A 为球心，1 为半径的球的公共部分的体积为 V1843 136，正确14(1)证明 EFBC 且 BCAB，EFAB，即 EFBE，EFPE.又 BEPEE，EF平面 PBE，又 PB平面 PBE，EFPB.(2)解 设 BEx，PEy，则 xy4.SPEB12BEPEsinPEB14xy14xy221.当且仅当 xy2 时，SPEB 的面积最大此时，BEPE2.由(1)知 EF平面 PBE，平面 PBE平面 EFCB，在平面 PBE 中，作 POBE 于 O，则 PO平面 EFCB.即 PO 为四棱锥 PEFCB 的高又 POPEsin 302121.SEFCB12(24)26.VPBCFE13612.
