1、第五节 三角函数的值域与最值第五节 三角函数的值域与最值 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 yatb 对于函数 yasinxb，可设 tsinx，化为一次函数 _在区间_上的最值求解 对于函数 yasinxbcosxc，引入辅助角(tan_)，化为 y a2b2sin(x)c 的最值求解1,1ba3对于函数 yasin2xbsinxc，设 tsinx，化为二次函数_在区间_上的最值求解4对于函数 yasinxcosxb(sinxcosx)c，可设 tsinxcosx，化为二次函数 yat212btc 在区间_上的最值求解5对于函数 yasinxb
2、csind，根据正弦函数的有界性也可转化为斜率问题求解yat2btc1,1 2，2提示：不是虽然1sinx1，1cosx1，但2sinxcosx2 是错误的因为二者的单调性不一致正确的解法：ysinxcosx 2sin(x4)，2y 2.思考感悟函数ysinxcosx的值域是2,2吗？课前热身 1 (2011 年 无 锡期 中测试)函 数 y sin(x 3)(x2)的值域为_答案：1，32 2(2011 年常州期中测试)已知函数 f(x)3sin(x6)(0)和 g(x)3cos(2x)的图象的对称中心完全相同，若 x0，2，则 f(x)的值域是_答案：32，3答案：1，22 3定义运算 a
3、ba，abb，ab，例如：12=1,32=2，则函数 f(x)sinxcosx的值域是_*4f(x)2cos2x 3sin2xa(a 为常数)在区间0，2上的最小值为4，那么 a 的值等于_答案：4 考点探究挑战高考 考点突破 可化为二次函数的三角函数求最值 将所给的三角函数转化为二次函数，通过配方法结合数形结合方法求得函数的值域与最值问题 例1 求函数ysin2xpsinxq(p，qR)的最值【思路分析】设tsinx，转化为二次函数，利用配方法，但要注意分类讨论【解】ysin2xpsinxq(sinxp2)24qp24.令 tsinx，当1p21，即2p2，则 tsinxp2时，ymin4q
4、p24.当1p20，即 0p2，sinx1 时，ymax1pq(如图(1)当 02，则当 tsinx1 时，ymin1pq；当 tsinx1 时，ymax1pq(如图(2)当p21 即 p0 时，bf(x)3ab，3ab1b5，解得a2b5.当 a0 时，3abf(x)b.3ab5b1，解得a2b1.a、b 的值为a2b5 或a2b1.方法感悟 方法技巧求三角函数的值域与最值，除了有基本不等式、单调性等方法外，结合三角函数的特点，还有常用的一些方法，如下：将所给的三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化成yasin2xbsinxc型的值域问题 利用sinx、cosx的有界性求值域 换
5、元法，利用换元法求三角函数的值域，要注意前后的等价性，不能只注意换元，不注意其等价性 失误防范1正、余弦函数是有界的 2当三角函数在指定定义域内求值域时，要准确地利用不等式的运算性质求得角的范围考向瞭望把脉高考 考情分析 三角函数的值域、最值问题是近几年江苏高考的热点内容之一，考查的形式有填空题、解答题，通常与向量、实际问题等知识结合，难度中等 预测在2012年的江苏高考中，三角函数值域问题的考查机会较大，要注重其方法、技能的掌握运用 规范解答 例(本题满分 14 分)(2010 年高考山东卷)已知函数f(x)12sin2xsincos2xcos12sin(2)(0)，其图象过点(6，12)(
6、1)求 的值；(2)将函数 yf(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数 yg(x)的图象，求函数 g(x)在0，4上的最大值和最小值【解】(1)因为 f(x)12sin2xsincos2xcos12sin(2)(0)，所以 f(x)12sin2xsin1cos2x2cos12cos12sin2xsin12cos2xcos12(sin2xsincos2xcos)12cos(2x).5 分函数图象过点(6，12)，所以1212cos(26)，即 cos(3)1.又 0，所以 3.7 分(2)由(1)知 f(x)12cos(2x3)，将函数 yf(x)的图象上各点的横坐标缩
7、短到原来的12，纵坐标不变，得到函数 yg(x)的图象，可知 g(x)f(2x)12cos(4x3).10 分因为 x0，4，所以 4x0，因此 4x33，23，故12cos(4x3)1，13 分所以 yg(x)在0，4上的最大值和最小值分别为12和14.14 分【名师点评】三角函数值域的考查，主要是将函数转化为yAsin(x)B类型为主，因而其重点在于转化解析式的过程要准确、高效，要注意加强这方面的训练 名师预测 1 函数 y2sin(62x)，x6，2的值域为_解析：x6，2，(62x)56，6，2sin(62x)2，1答案：2，12已知函数f(x)(sinxcosx)|sinxcosx|
8、，则f(x)的值域是_解析：f(x)(sinxcosx)|sinxcosx|2sinxsinxcosx，2cosxsinx0，|2)的图象如图(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若 F(x)f2(x)2 3f(x)f(x)f2(x)，求F(x的最大值及其对应 x 的值解：(1)图象最高点(4，2)，相邻与 x 轴的交点(34，0)，周期 T2，即 1.图象过点(4，2)，2sin(4)2，422k(kZ)，又|2，4.f(x)2sin(x4)(2)F(x)4sin2(x 4)23 2sin(x 4)2sin(x4)4sin2(x4)22cos(2x2)8 3sin(x4)cos(x4)22cos(2x2)4sin2x4 3cos2x8sin(2x3)F(x)的最大值为 8，此时 xk512(kZ)本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
