1、第6讲双曲线基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1(2015甘肃二次诊断)设双曲线1(a0,b0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为()Ayx Byx Cyx Dy2x解析因为2b2,所以b1,因为2c2,所以c,所以a,所以双曲线的渐近线方程为yxx,故选B.答案B2(2014大纲全国卷)双曲线C:1(a0,b0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于()A2 B2 C4 D4解析由已知,得e2,所以ac,故bc,从而双曲线的渐近线方程为yxx,由焦点到渐近线的距离为,得,解得c2,故2c4,故选C.答案C3设F1,F2是双曲线x21的两个焦点,P是双曲线上的
2、一点,且3|PF1|4|PF2|,则PF1F2的面积等于() A4 B8 C24 D48解析由可解得又由|F1F2|10可得PF1F2是直角三角形,则SPF1F2|PF1|PF2|24.答案C4(2014山东卷)已知ab0,椭圆C1的方程为1,双曲线C2的方程为1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为()Axy0 B.xy0Cx2y0 D2xy0解析椭圆C1的离心率为,双曲线C2的离心率为,所以,所以a4b4a4,即a44b4,所以ab,所以双曲线C2的渐近线方程是yx,即xy0.答案A5(2014重庆卷)设F1,F2分别为双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|
3、PF1|PF2|3b,|PF1|PF2|ab,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D3解析由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a,又|PF1|PF2|3b,所以(|PF1|PF2|)2(|PF1|PF2|)29b24a2,即4|PF1|PF2|9b24a2,又4|PF1|PF2|9ab,因此9b24a29ab,即940,则0,解得,则双曲线的离心率e.答案B二、填空题6(2014北京卷)设双曲线C经过点(2,2),且与x21具有相同渐近线,则C的方程为_;渐近线方程为_解析设C的方程为x2(0),把点(2,2)代入上式得3,所以C的方程为1,其渐近线方程为y2x.答案1y2x7已知双曲线
4、1的一个焦点是(0,2),椭圆1的焦距等于4,则n_解析因为双曲线的焦点(0,2),所以焦点在y轴上,所以双曲线的方程为1,即a23m,b2m,所以c23mm4m4,解得m1.所以椭圆方程为x21,且n0,椭圆的焦距为4,所以c2n14或1n4,解得n5或3(舍去)答案58已知F为双曲线C:1的左焦点,P,Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则PQF的周长为_解析由1,得a3,b4,c5.|PQ|4b162a.又A(5,0)在线段PQ上,P,Q在双曲线的右支上,且PQ所在直线过双曲线的右焦点,由双曲线定义知|PF|QF|28.PQF的周长是|PF|QF|PQ|2
5、81644.答案44三、解答题9已知椭圆D:1与圆M:x2(y5)29,双曲线G与椭圆D有相同焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切,求双曲线G的方程解椭圆D的两个焦点为F1(5,0),F2(5,0),因而双曲线中心在原点,焦点在x轴上,且c5.设双曲线G的方程为1(a0,b0),渐近线方程为bxay0且a2b225,又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r3.3,得a3,b4,双曲线G的方程为1.10已知双曲线1(a0,b0)的一条渐近线方程为2xy0,且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程;(2)设P为双曲线上一点,A,B两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、二象限,若,求AOB的面
6、积解(1)依题意得解得故双曲线的方程为x21.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y2x,设A(m,2m),B(n,2n),其中m0,n0,由得点P的坐标为.将点P的坐标代入x21,整理得mn1.设AOB2,tan2,则tan ,从而sin 2.又|OA|m,|OB|n,SAOB|OA|OB|sin 22mn2.能力提升题组(建议用时:25分钟)11过双曲线C:1的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为yx
7、,因此可设点A的坐标为(a,b)设右焦点为F(c,0),由已知可知c4,且|AF|4,即(ca)2b216,所以有(ca)2b2c2,又c2a2b2,则c2a,即a2,所以b2c2a2422212.故双曲线的方程为1,故选A.答案A12(2015石家庄模拟)已知点F是双曲线1(a0,b0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1,) B(1,2)C(1,1) D(2,1)解析由题意易知点F的坐标为(c,0),A(c,),B(c,),E(a,0),因为ABE是锐角三角形,所以0,即(ca,)(
8、ca,)0,整理得3e22ee4,e(e33e31)0,e(e1)2(e2)1,e(1,2),故选B.答案B13(2014惠州模拟)已知F1,F2分别是双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是_解析如图所示,过点F2(c,0)且与渐近线yx平行的直线为y(xc),与另一条渐近线yx,联立得解得即点M.|OM|.点M在以线段F1F2为直径的圆外,|OM|c,即c,得2.双曲线率心率e2.故双曲线离心率的取值范围是(2,)答案(2,)14.如图,O为坐标原点,双曲线C1:1(
9、a10,b10)和椭圆C2:1(a2b20)均过点P,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形(1)求C1,C2的方程;(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|?证明你的结论解(1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c22,2a12,从而a11,c21.因为点P在双曲线x21上,所以1.故b3.由椭圆的定义知2a22.于是a2,bac2,故C1,C2的方程分别为x21,1.(2)不存在符合题设条件的直线若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,所以直线l的方程为x或x.当x时,易知A(,),B(,),所以|2,|2.此时,|.当x时,同理可知,|.若直线l不垂直于x轴,设l的方程为ykxm.由得(3k2)x22kmxm230.当l与C1相交于A,B两点时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,从而x1x2,x1x2.于是y1y2k2x1x2km(x1x2)m2.由得(2k23)x24kmx2m260.因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式16k2m28(2k23)(m23)0.化简,得2k2m23,因此x1x2y1y20,于是222222,即|2|2,故|.综合,可知,不存在符合题设条件的直线.