1、第6讲双曲线基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2015甘肃二次诊断)设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()Ayx Byx Cyx Dy2x解析因为2b2，所以b1，因为2c2，所以c，所以a，所以双曲线的渐近线方程为yxx，故选B.答案B2(2014大纲全国卷)双曲线C：1(a0，b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于()A2 B2 C4 D4解析由已知，得e2，所以ac，故bc，从而双曲线的渐近线方程为yxx，由焦点到渐近线的距离为，得，解得c2，故2c4，故选C.答案C3设F1，F2是双曲线x21的两个焦点，P是双曲线上的
2、一点，且3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积等于() A4 B8 C24 D48解析由可解得又由|F1F2|10可得PF1F2是直角三角形，则SPF1F2|PF1|PF2|24.答案C4(2014山东卷)已知ab0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()Axy0 B.xy0Cx2y0 D2xy0解析椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以，所以a4b4a4，即a44b4，所以ab，所以双曲线C2的渐近线方程是yx，即xy0.答案A5(2014重庆卷)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|
3、PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为()A. B. C. D3解析由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|3b，所以(|PF1|PF2|)2(|PF1|PF2|)29b24a2，即4|PF1|PF2|9b24a2，又4|PF1|PF2|9ab，因此9b24a29ab，即940，则0，解得，则双曲线的离心率e.答案B二、填空题6(2014北京卷)设双曲线C经过点(2，2)，且与x21具有相同渐近线，则C的方程为_；渐近线方程为_解析设C的方程为x2(0)，把点(2，2)代入上式得3，所以C的方程为1，其渐近线方程为y2x.答案1y2x7已知双曲线
4、1的一个焦点是(0，2)，椭圆1的焦距等于4，则n_解析因为双曲线的焦点(0，2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为1，即a23m，b2m，所以c23mm4m4，解得m1.所以椭圆方程为x21，且n0，椭圆的焦距为4，所以c2n14或1n4，解得n5或3(舍去)答案58已知F为双曲线C：1的左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则PQF的周长为_解析由1，得a3，b4，c5.|PQ|4b162a.又A(5，0)在线段PQ上，P，Q在双曲线的右支上，且PQ所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知|PF|QF|28.PQF的周长是|PF|QF|PQ|2
5、81644.答案44三、解答题9已知椭圆D：1与圆M：x2(y5)29，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程解椭圆D的两个焦点为F1(5，0)，F2(5，0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c5.设双曲线G的方程为1(a0，b0)，渐近线方程为bxay0且a2b225，又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r3.3，得a3，b4，双曲线G的方程为1.10已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为2xy0，且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程；(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求AOB的面
6、积解(1)依题意得解得故双曲线的方程为x21.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y2x，设A(m，2m)，B(n，2n)，其中m0，n0，由得点P的坐标为.将点P的坐标代入x21，整理得mn1.设AOB2，tan2，则tan ，从而sin 2.又|OA|m，|OB|n，SAOB|OA|OB|sin 22mn2.能力提升题组(建议用时：25分钟)11过双曲线C：1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析由双曲线方程知右顶点为(a，0)，不妨设其中一条渐近线方程为yx
7、，因此可设点A的坐标为(a，b)设右焦点为F(c，0)，由已知可知c4，且|AF|4，即(ca)2b216，所以有(ca)2b2c2，又c2a2b2，则c2a，即a2，所以b2c2a2422212.故双曲线的方程为1，故选A.答案A12(2015石家庄模拟)已知点F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(1，2)C(1，1) D(2，1)解析由题意易知点F的坐标为(c，0)，A(c，)，B(c，)，E(a，0)，因为ABE是锐角三角形，所以0，即(ca，)(
8、ca，)0，整理得3e22ee4，e(e33e31)0，e(e1)2(e2)1，e(1，2)，故选B.答案B13(2014惠州模拟)已知F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是_解析如图所示，过点F2(c，0)且与渐近线yx平行的直线为y(xc)，与另一条渐近线yx，联立得解得即点M.|OM|.点M在以线段F1F2为直径的圆外，|OM|c，即c，得2.双曲线率心率e2.故双曲线离心率的取值范围是(2，)答案(2，)14.如图，O为坐标原点，双曲线C1：1(
9、a10，b10)和椭圆C2：1(a2b20)均过点P，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形(1)求C1，C2的方程；(2)是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2只有一个公共点，且|？证明你的结论解(1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c22，2a12，从而a11，c21.因为点P在双曲线x21上，所以1.故b3.由椭圆的定义知2a22.于是a2，bac2，故C1，C2的方程分别为x21，1.(2)不存在符合题设条件的直线若直线l垂直于x轴，因为l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为x或x.当x时，易知A(，)，B(，)，所以|2，|2.此时，|.当x时，同理可知，|.若直线l不垂直于x轴，设l的方程为ykxm.由得(3k2)x22kmxm230.当l与C1相交于A，B两点时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，从而x1x2，x1x2.于是y1y2k2x1x2km(x1x2)m2.由得(2k23)x24kmx2m260.因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式16k2m28(2k23)(m23)0.化简，得2k2m23，因此x1x2y1y20，于是222222，即|2|2，故|.综合，可知，不存在符合题设条件的直线.