1、课时作业55椭圆及其几何性质一、选择题1(2019北京卷)已知椭圆1(ab0)的离心率为，则(B)Aa22b2 B3a24b2Ca2b D3a4b解析：由题意得，又a2b2c2，4b23a2.故选B.2(2020甘肃、青海、宁夏联考)如图所示，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为(B)A. B.C. D.解析：由题图知2b16.4,2a20.5，则，则离心率e.故选B.3(2020山西大学附属中学诊断)已知方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是(D)A(，1)(2，)B(2，)C(1,2)D(2，1)(2，)解析：椭圆的焦点在x轴上，m22m，即m22m0，解得
2、m2或m0，m2，m的取值范围为(2,1)(2，)故选D.4(2020河北衡水中学摸底)已知椭圆C：1(ab0)和直线l：1，若过椭圆C的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率为(A)A. B.C. D.解析：因为直线l的斜率为，且过椭圆C的左焦点和下顶点的直线与直线l平行，所以.又b2c2a2，即2c2a2，即c2a2，所以离心率e.故选A.5(2020福建三明检测)已知P是椭圆1上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且F1PF260，则F1PF2面积为(A)A3 B2C. D.解析：方法1：由椭圆的标准方程可得a5，b3，c4.设|PF1|t1，|PF2|t2，由椭圆的定义可得
3、t1t210.在F1PF2中，F1PF260，根据余弦定理可得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60|F1F2|2(2c)264，整理可得ttt1t264.把两边平方得tt2t1t2100 ，由得t1t212，SF1PF2t1t2sinF1PF23.故选A.方法2：由于椭圆焦点三角形的面积公式为Sb2tan，故所求面积为9tan303.故选A.6(2020河南郑州一中质量测评)已知F1，F2分别为椭圆C的两个焦点，P为椭圆上任意一点若的最大值为3，则椭圆C的离心率为(B)A. B.C. D.解析：点P到椭圆C的焦点的最大距离为ac，最小距离为ac.又的最大值为3，3，椭圆C的离
4、心率e.故选B.7(2020宁夏石嘴山月考)已知椭圆1(ab0)的左焦点为F1(2,0)，过点F1作倾斜角为30的直线与圆x2y2b2相交的弦长为b，则椭圆的标准方程为(A)A.1 B.1C.1 D.1解析：由左焦点为F1(2,0)，可得a2b24，过点F1作倾斜角为30的直线的方程为y(x2)，圆心(0,0)到直线的距离d1.由直线与圆x2y2b2相交的弦长为b，可得2b，解得b2，a2，则椭圆方程为1.故选A.8(2020滁州模拟)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的
5、取值范围是(A)A. B.C. D.解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得，|AF|BF|2a4，所以a2.设M(0，b)，因为d，所以1b2.又e，所以0|C1C2|6，即P在以C1(3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，所以点P的轨迹方程为1.11设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为(3，)解析：根据题意可知c4.因为MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|2c8，所以|F2M|2a84.设M(x，y)，则得所以M的坐标为(3，)12(2020嘉兴模拟)已知椭圆1(abc0，a2b2c2)的左、右焦点分别为F1
6、，F2，若以F2为圆心，bc为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(ac)，则椭圆的离心率e的取值范围是.解析：因为|PT|，|PF2|的最小值为ac，所以|PT|的最小值为.依题意，有(ac)，所以(ac)24(bc)2，所以ac2(bc)，所以ac2b，所以(ac)24(a2c2)，所以5c22ac3a20，所以5e22e30.又bc，所以b2c2，所以a2c2c2，所以2e21.联立，得eb0)的右焦点为F2(3,0)，离心率为e.(1)若e，求椭圆的方程；(2)设直线ykx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O
7、在以MN为直径的圆上，且e，求k的取值范围解：(1)由题意得c3，所以a2，又因为a2b2c2，所以b23.所以椭圆的方程为1.(2)由得(b2a2k2)x2a2b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x20，x1x2，依题意易知，OMON，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2BF2.因为(x13，y1)，(x23，y2)，所以(x13)(x23)y1y2(1k2)x1x290.即90，将其整理为k21.因为e，所以2a3，即12a2b0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积
8、等于16，求b的值和a的取值范围解：(1)连接PF1，由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的离心率e1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|2c16，1，1，即c|y|16，x2y2c2，1.由及a2b2c2得y2，又由知y2，故b4.由得x2(c2b2)，所以c2b2，从而a2b2c22b232，故a4.当b4，a4时，存在满足条件的点P.所以b4，a的取值范围为4，)15如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为(B)A. B.C. D.解析：设圆柱的底面半
9、径为1，则椭圆的短半轴长为1，长轴长为，即长半轴长为，所以半焦距为，故离心率为.16(2019浙江卷)已知椭圆1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是.解析：如图，取PF的中点M，连接OM，由题意知|OM|OF|2，设椭圆的右焦点为F1，连接PF1，在PFF1中，OM为中位线，所以|PF1|4，由椭圆的定义知|PF|PF1|6，所以|PF|2.因为M为PF的中点，所以|MF|1.在等腰三角形OMF中，过O作OHMF于点H，所以|OH|，所以kPFtanHFO.17已知点A在椭圆1上，点P满足(1)(R)，且72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为15.解析：(1)，则O，P，A三点共线，72，|72.设OP与x轴夹角为，A(x，y)，B为点A在x轴上的投影，则OP在x轴上的投影长度为|cos72727215，当且仅当|x|时等号成立则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为15.
