1、第三节 两角和与差及二倍角公式第三节 两角和与差及二倍角公式 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)两角和与差的余弦公式 cos()_；cos()_.双基研习面对高考 基础梳理 coscossinsincoscossinsin(2)两角和与差的正弦公式 sin()_；sin()_(3)两角和与差的正切公式 sincoscossinsincoscossin.tan()_；tan()_.(，均不等于 k2，kZ)tantan1tantantantan1tantan思考感悟sin()sinsin能否成立？提示：sin()sinsin，当2k或2
2、k，kZ时成立2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2_；(2)cos2_11_；(3)tan2_(k2 4且 k2，kZ)2sincoscos2sin22cos22sin22tan1tan23降次公式(1)sin2_；(2)cos2_.4辅助角公式asinbcos_(其中 cosaa2b2，sinba2b2)1cos221cos22a2b2sin()121(2010年高考福建卷改编)计算sin43cos13cos43sin13的结果等于_ 2(2010年高考福建卷改编)计算12sin222.5的结果等于_ 22课前热身 答案：答案：3已知 2，则1cos2等于_.4已知(2，0)，cos
3、45，则 tan2_.答案：cos2答案：247考点探究挑战高考 两角和与差的公式 考点突破 应熟悉公式的逆用和变形应用公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用例1在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(12，cos2)在角 的终边上，点 Q(sin2，1)在角 的终边上且OPOQ12.(1)求 cos2 的值；(2)求 sin()的值【思路分析】(1)由OPO Q 的数量积公式可求得结果；(2)利用三角函数定义结合“和角”公式求之【解】(1)因为OP O Q
4、 12，所以12sin2cos212，即12(1cos2)cos212，所以 cos223，所以 cos22cos2113.(2)因为 cos223，所以 sin213，所以点 P(12，23)，点 Q(13，1)，又点 P(12，23)在角 的终边上，所以 sin45，cos35.同理 sin3 1010，cos 1010，所以 sin()sincoscossin45 1010 35(3 1010)1010.【名师点评】本题关键是利用数量积求出sin2，cos2，其次有关的公式要记准确 变式训练 1 已知 sin 55，(0，2)，tan13.(1)求 tan 的值；(2)求 tan(2)的
5、值解：(1)sin 55，(0，2)，cos1sin21152 55，tansincos5525512.(2)法一：tan13，tan2 2tan1tan2213113234，tan(2)tantan21tantan21234112342.法二：tan13，tan()1213112131，tan(2)tan()tantan1tantan11311132.三角函数式的化简求值 给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合三角公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解有时还可逆用、变形运用公式例2(1
6、)化简1sincossin2cos222cos(0)；(2)求值：1cos202sin20 sin10(1tan5tan5)【思路分析】(1)从把角 变为2入手，合理使用公式(2)应用公式把非 10角转化为 10的角，切化弦【解】(1)原式2sin2cos22cos22sin2cos24cos22cos2sin22cos22cos2cos2coscos2.因为 0，所以 020，所以原式cos.(2)原 式 2cos21022sin10cos10 sin10(cos5sin5 sin5cos5)cos102sin10sin10cos25sin25sin5cos5 cos102sin10sin1
7、0 cos1012sin10 cos102sin102cos10cos102sin202sin10cos102sin30102sin10cos10212cos1032 sin102sin10 3sin102sin10 32.【名师点评】要善于观察和分析所要化简的表达式，对比它与和、差、倍角公式结构上的相似之处，以便确定相应的公式进行化简整理求值问题 三角函数求值问题有三类：给角求值；给值求值；给值求角其中“给角求值”类，一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，要仔细观察非特殊角与特殊角的关系“给值求值”解题的关键在于变角，使其角相同或具有某种关系“给值求角”就是转化为“给值求值”其中常见的
8、角的变换有：2()()，2()()等 例3 已知 cos(2)19，sin(2)23，且2，02，求 cos2 的值【思路分析】观察题目中涉及的角之间的联系，利用角的拆分方法转化【解】(2)(2)2，2，02，42，422，sin(2)1cos224 59，cos(2)1sin22 53，cos2cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)7 527.【名师点评】角的变换非常灵活，如(4)4(4)4，即()，2 2 等，需要在平时的训练中细心体会互动探究 2 若例 3改为：已知 cos(2)19，cos(2)23，且42，02，求 cos()的值解：(2)(2)2，42，02，4234，8
9、234，又cos(2)190，cos(2)230，2234，2234.sin(2)1cos224 59，sin(2)1cos22 53，cos2 cos(2)(2)cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)(19)(23)4 59 53 2227.cos()2cos221239729.已知 02，tan212，cos()210.(1)求 sin的值；(2)求 的值例4【思路分析】(1)利用倍角公式先求tan，再结合sin2cos21求sin；(2)求的一个三角函数值，然后求角【解】(1)tan2tan21tan2243，所以sincos43，又因为 sin2cos21，解得 sin45.
10、(2)因为 02，所以 0.因为 cos()210，所以 sin()7 210.又 sin45，所以 cos35.所以 sinsin()sin()coscos()sin7 210 35 21045 22.因为(2，)，所以 34.【名师点评】求角的基本步骤是：(1)确定所求角的范围；(2)求得所求范围内具有单调性的一个三角函数值；(3)确定角的值其中在求角的范围时，要尽可能地缩小角的范围 互动探究3 本例中，条件改为已知00，02，结果同例 4(1)；(2)由(1)知 cos35，0，又cos()210，02，coscos()cos()cossin()sin 210 357 210 45 22
11、，(0，)34.三角恒等式的证明 弦化切或切化弦是解决三角函数问题中时常遇到的解题方法，通过“名”的统一，使问题由复杂到简单，由不易联系到直观明确，使问题能简化至易于解答的形式，怎样“化”，需要不断积累经验 例5 求证：tan2x1tan2x23cos4x1cos4x.【思路分析】从左侧切化弦或从右侧弦化切化简【证明】法一：左边sin2xcos2xcos2xsin2xsin4xcos4xsin2xcos2xsin2xcos2x22sin2xcos2x14sin22x112sin22x14sin22x112sin22x181cos4x84sin22x1cos4x 44cos22x1cos4x42
12、1cos4x1cos4x23cos4x1cos4x 右边，所以原等式成立法二：右边221cos4x2sin22x222cos22x2sin22x41cos22x8sin2xcos2xsin2xcos2x2cos2xsin2x22sin2xcos2x2sin4xcos4x2sin2xcos2xtan2x1tan2x左边，所以原等式成立【名师点评】常见的证明三角恒等式的方法：从左到右，从右到左，左右同时向中间证，先证明一个恒等式成立，再推出需要证明的式子无论哪种方法都需要比较等号两边的“角”与“函数名称”的差异，化异求同 方法感悟 方法技巧1两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角的三角函
13、数的运算规律”了解公式能够解决的三类基本题型：求值题、化简题、证明题对公式会“正用”、“逆用”、“变形用”掌握角的变化技巧，如2()()，()等将公式和其它知识衔接起来使用，如与三角函数的性质的衔接等 2公式运用的熟练与准确，要依靠理解内涵、明确联系、应用、练习、尝试，不可以机械记忆，因为精通的目的在于应用 3当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”失误防范1应用公式时，公式记忆出错，如cos()与sin()记混淆，两角和与差的正切公式的变形公式，如
14、tantantan()(1tantan)，记不准确 2在求值问题中，要注意角的范围，出现多解现象要进行检验，判断是否都适合题意考向瞭望把脉高考 考情分析 通过对近几年江苏高考题的分析，利用两角和与差的三角函数公式进行化简、恒等变换，进而考查三角函数的性质，仍是高考考查的一个热点，常以解答题的形式考查代数式的恒等变形能力以及合理推理能力，属于中档题 预测在2012年江苏高考中，考查公式的熟练应用仍是考查的一个重点，主要以化简或求值的形式出现规范解答 例(本题满分 14 分)(2010 年高考四川卷)(1)证明两角和的余弦公式 C()：cos()coscossinsin；由 C()推导两角和的正弦
15、公式 S()：sin()sincoscossin；(2)已知 cos45，(，32)，tan13，(2，)，求 cos()【解】(1)证明：如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角，与，使角的始边为Ox，交O于点P1，终边交O于点P2；角的始边为OP2，终边交O于点P3，角的始边为OP1，终边交O于点P4.则P1(1,0)，P2(cos，sin)，P3(cos()，sin()，P4(cos()，sin().2分 由 P1P3 P2P4 及 两 点 间 的 距 离 公 式，得cos()12sin2()cos()cos2sin()sin2，展开并整理，得22cos()22(coscossin
16、sin)cos()coscossinsin.4分 由易得 cos(2)sin，sin(2)cos.sin()cos2()cos(2)()cos(2)cos()sin(2)sin()sincoscossin.sin()sincoscossin.7 分(2)(，32)，cos45，sin35.8 分(2，)，tan13.cos3 1010，sin 1010.11 分cos()coscossinsin(45)(3 1010)(35)1010 3 1010.14 分名师预测 解 析：原 式 sin45cos15 cos45sin15sin(4515)sin3012.答案：121sin45cos15co
17、s225sin15的值为_ 2.2cos5sin25sin65的值为_解 析：由 已 知 得：2cos5sin25sin652cos3025sin25cos25 3cos25cos25 3.答案：33已知 tanAtanBtanAtanB1，则cos(AB)的值是_解析：因为 tanAtanBtanAtanB1，所以tan(AB)tanA tanB1tanAtanB1，所以 cos(AB)22.答案：224已知 cos17，cos()1314，且 02.(1)求 tan2的值；(2)求.解：(1)由 cos17，02，得 sin1cos211724 37，tansincos4 37 714 3，于是 tan2 2tan1tan2 24 314 328 347.(2)由 02，得 02.又cos()1314，sin()1cos21131423 314.由()，得 coscos()coscos()sinsin()1713144 37 3 314 12，3.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
