1、第6节对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用;2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,10,的对数函数的图象;3.体会对数函数是一类重要的函数模型;4.了解指数函数yax(a0,且a1)与对数函数ylogax(a0,且a1)互为反函数.知 识 梳 理1.对数的概念如果axN(a0,且a1),那么x叫做以a为底N的对数,记作xlogaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质:alogaNN;logaabb(a0,且a1)
2、.(2)对数的运算性质如果a0且a1,M0,N0,那么loga(MN)logaMlogaN;logalogaMlogaN;logaMnnlogaM(nR).(3)换底公式:logbN(a,b均大于零且不等于1,N0).3.对数函数及其性质(1)概念:函数ylogax(a0,且a1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,).(2)对数函数的图象与性质a10a1时,y0;当0x1时,y1时,y0;当0x0在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数4.反函数指数函数yax(a0,且a1)与对数函数ylogax(a0,且a1)互为反函数,它们的图象关于直线yx对称.常用结论与微点提醒1.换底
3、公式的两个重要结论(1)logab(a0,且a1;b0,且b1).(2)logambnlogab(a0,且a1;b0;m,nR,且m0).2.在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数ylogax(a0,且a1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),函数图象只在第一、四象限.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)log2x22log2x.()(2)函数ylog2(x1)是对数函数.()(3)函数yln 与yln(1x)ln(1x)的定义域相同.()(4)当x1时,若logaxlogbx,则ab.()解析(1)log2x22log2|x|
4、,故(1)错.(2)形如ylogax(a0,且a1)为对数函数,故(2)错.(4)若0b1bc B.acbC.cba D.cab解析0a1,b1.cab.答案D4.(2018全国卷)设alog0.20.3,blog20.3,则()A.abab0 B.abab0C.ab0ab D.ab00,log0.320.0log0.30.41,即00,b0,故abab0,且a1)的图象如图,则下列结论成立的是()A.a1,c1B.a1,0c1C.0a1D.0a1,0c1解析由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以0a0,即logac0,所以0c1.答案D6.(2020河北“五个一”名校联盟诊断)已知函数f(
5、x)是定义在R上的奇函数,当x0,且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.【训练1】 (1)(2019北京卷)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2m1lg ,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k1,2).已知太阳的星等是26.7,天狼星的星等是1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.1010.1(2)(多填题)已知ab1,若logablogba,abba,则a_,b_.解析(1)依题意,m126.7,m21.45,代入所给公式得lg 1.45(26.7)25.25.所以lg
6、25.2510.1,即1010.1.(2)设logb at,则t1,因为t,所以t2,则ab2.又abba,所以b2bbb2,即2bb2,又ab1,解得b2,a4.答案(1)A(2)42考点二对数函数的图象及应用【例2】 (1)(2020南昌调研)已知lg alg b0,则函数f(x)ax与函数g(x)logbx的图象可能是()(2)已知函数f(x)且关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是_.解析(1)由lg alg b0,得ab1.f(x)axbx,因此f(x)bx与g(x)logbx单调性相同.A,B,D中的函数单调性相反,只有C的函数单调性相同.(2)如图,在同
7、一坐标系中分别作出yf(x)与yxa的图象,其中a表示直线yxa在y轴上的截距.由图可知,当a1时,直线yxa与yf(x)只有一个交点.答案(1)C(2)(1,)规律方法1.在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.【训练2】 (1)若函数f(x)log2(x1),且abc0,则,的大小关系是()A. B.C. D.(2)当x(1,2)时,不等式(x1)2bc时,.(2)由题意,易知a1.如图,在同一坐标系内作出y(x1)2,x(1,2)及
8、ylogax,x(1,2)的图象.若ylogax过点(2,1),得loga21,所以a2.根据题意,函数ylogax,x(1,2)的图象恒在y(x1)2,x(1,2)的上方.结合图象,a的取值范围是(1,2.答案(1)B(2)C考点三解决与对数函数性质有关的问题多维探究角度1比较大小【例31】 (1)已知alog23log2,blog29log2,clog32,则a,b,c的大小关系是()A.abc C.abbc(2)(2019天津卷)已知alog52,blog0.50.2,c0.50.2,则a,b,c的大小关系为()A.acb B.abcC.bca D.ca1,blog29log2log23
9、a,clog32c.(2)因为ylog5x是增函数,所以alog52log0.50.51.因为y0.5x是减函数,所以0.50.51c0.50.20.501,即0.5c1.所以ac2的解集为()A.(2,) B.(2,)C.(,) D.(,)(2)已知函数f(x)loga(8ax)(a0,且a1),若f(x)1在区间1,2上恒成立,则实数a的取值范围是_.解析(1)因为偶函数f(x)在(,0上是减函数,所以f(x)在(0,)上是增函数,又f(1)2,所以不等式f(log2x)2,即|log2x|1,解得0x2.(2)当a1时,f(x)loga(8ax)在1,2上是减函数,由f(x)1在区间1,
10、2上恒成立,则f(x)minf(2)loga(82a)1,且82aa,解得1a.当0a1在区间1,2上恒成立,知f(x)minf(1)loga(8a)1,且82a0.8a0,此时解集为.综上可知,实数a的取值范围是.答案(1)B(2)规律方法形如logaxlogab的不等式,借助ylogax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a1与0a0恒成立.即a恒成立,由于(,0),故只要a0,则a的取值范围是0,).(3)由已知得函数f(x)是减函数,故f(x)在区间0,1上的最大值是f(0)log2(1a),最小值是f(1)log2.由题设得log2(1a)log22,则log2(1a)log2(4
11、a2).解得bc B.bacC.cba D.cab(2)(角度2)设f(x)lg是奇函数,则使f(x)0,且a1)的图象恒过定点(m,n),且函数g(x)mx22bxn在1,)上单调递减,则实数b的取值范围是_.解析(1)法一因为alog2e1,bln 2(0,1),cloglog23log2ea1,所以cab.法二loglog23,如图,在同一坐标系中作出函数ylog2x,yln x的图象,由图知cab.(2)由f(x)是奇函数可得a1,f(x)lg,定义域为(1,1).由f(x)0,可得01,1x0,且a1)的图象恒过定点(m,n),令x21,求得x1,f(x)3,可得函数的图象经过定点(
12、1,3),m1,n3.函数g(x)mx22bxnx22bx3,在1,)上单调递减,1,即b1,所以实数b的取值范围为1,).答案(1)D(2)(1,0)(3)1,)赢得高分基本初等函数的应用“瓶颈题”突破以基本初等函数为载体考查函数的应用,常考常新.命题多与函数零点(不等式)、参数的求值交汇,如2017全国卷T15,2018全国卷T9,2019全国卷T11,解题的关键是活用函数的图象与性质,重视导数的工具作用.【典例】 (2020淄博模拟)已知函数f(x)ex,g(x)ln ,对任意aR,存在b(0,),使f(a)g(b),则ba的最小值为()A.21 B.e2C.2ln 2 D.2ln 2解
13、析存在b(0,),使f(a)g(b),则ealn ,令tealn 0.aln t,b2et,则ba2etln t.设(t)2etln t,则(t)2et(t0).显然(t)在(0,)上是增函数,当t时,0.(t)有唯一零点t.故当t时,(t)取得最小值2ln 2.答案D思维升华1.解题的关键:(1)由f(a)g(b),引入参数t表示a,b两个量.(2)构造函数,转化为求函数的最值.2.可导函数唯一极值点也是函数的最值点,导数是求解函数最值的工具.【训练】 (2020石家庄一中检测)函数f(x)若互不相等的实数a,b,c满足f(a)f(b)f(c),则2a2b2c的取值范围是()A.(16,32
14、) B.(18,34)C.(17,35) D.(6,7)解析画出函数f(x)的图象如图所示.不妨设abc,则a0.由f(a)f(b),得12a2b1,则2a2b2.又f(a)f(b)f(c),结合图象,得05c1,则4c5.162c32.故182a2b2c34.答案BA级基础巩固一、选择题1.已知函数f(x)则f(2log23)的值为()A.24 B.16 C.12 D.8解析因为32log234,所以f(2log23)f(3log23)23log2382log2324.答案A2.(2020湖南长郡中学联考)已知实数a2ln 2,b22ln 2,c(ln 2)2,则a,b,c的大小关系是()A
15、.cba B.acbC.bac D.cab解析由于0ln 22,c(ln 2)2(0,1).因此bac.答案D3.若函数f(x)axax(a0且a1)在R上为减函数,则函数yloga(|x|1)的图象可能是()解析由f(x)在R上是减函数,知0a1时,yloga(x1)的图象由ylogax的图象向右平移一个单位得到.因此选项D正确.答案D4.(2020西安联考)若函数f(x)|x|x3,则f(lg 2)ff(lg 5)f()A.2 B.4 C.6 D.8解析由于f(x)|x|x3,得f(x)f(x)2|x|.又lg lg 2,lg lg 5.所以原式2|lg 2|2|lg 5|2(lg 2lg
16、 5)2.答案A5.若函数f(x)loga(a0,且a1)在区间内恒有f(x)0,则f(x)的单调递增区间为()A.(0,) B.(2,)C.(1,) D.解析令Mx2x,当x时,M(1,),恒有f(x)0,所以a1,所以函数ylogaM为增函数,又M,因为M的单调递增区间为.又x2x0,所以x0或x,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,).答案A二、填空题6.(2020肇庆统考)已知23log4x27,则x的值为_.解析23log4x2log2xx,又2733(32)9,所以x9,所以x9.答案97.(2019全国卷)已知f(x)是奇函数,且当x0,x1时,由1log2x2,解得x,所以x
17、1.综上可知,x0.答案0,)三、解答题9.已知函数f(x)log2(a为常数)是奇函数.(1)求a的值与函数f(x)的定义域;(2)若当x(1,)时,f(x)log2(x1)m恒成立,求实数m的取值范围.解(1)因为函数f(x)log2是奇函数,所以f(x)f(x),所以log2log2,即log2log2,所以a1,f(x)log2,令0,解得x1,所以函数的定义域为x|x1.(2)f(x)log2(x1)log2(1x),当x1时,x12,所以log2(1x)log221.因为x(1,)时,f(x)log2(x1)m恒成立,所以m1,所以m的取值范围是(,1.10.已知函数f(x)是定义
18、在R上的偶函数,且f(0)0,当x0时,f(x)logx.(1)求函数f(x)的解析式;(2)解不等式f(x21)2.解(1)当x0,则f(x)log(x).因为函数f(x)是偶函数,所以f(x)f(x)log(x),所以函数f(x)的解析式为f(x)(2)因为f(4)log42,f(x)是偶函数,且f(0)02,所以不等式f(x21)2转化为f(|x21|)f(4).又因为函数f(x)在(0,)上是减函数,所以|x21|4,解得x0,且a1)的图象可能是()解析若a1,则y单调递减,A,B,D不符合,且yloga过定点,C项不符合,因此0a1.当0a1时,函数yax的图象过定点(0,1),在
19、R上单调递减,于是函数y的图象过定点(0,1),在R上单调递增,函数yloga的图象过定点,在上单调递减.因此, 选项D中的两个图象符合.答案D12.(2017全国卷)设x,y,z为正数,且2x3y5z,则()A.2x3y5z B.5z2x3yC.3y5z2x D.3y2x1.则xlog2t,同理,y,z.2x3y0,2x3y.又2x5z0,2x5z,3y2x5z.答案D13.设实数a,b是关于x的方程|lg x|c的两个不同实数根,且ab10,则abc的取值范围是_.解析由题意知,如图,在(0,10)上,函数y|lg x|的图象和直线yc有两个不同交点,所以ab1,0ckg(x)恒成立,求实
20、数k的取值范围.解(1)h(x)(42log2x)log2x22(log2x1)2因为x1,4,所以log2x0,2,故函数h(x)的值域为0,2.(2)由f(x2)f()kg(x),得(34log2x)(3log2x)klog2x,令tlog2x,因为x1,4,所以tlog2x0,2,所以(34t)(3t)kt对一切t0,2恒成立,当t0时,kR;当t(0,2时,k恒成立,即k4t15,因为4t12,当且仅当4t,即t时取等号,所以4t15的最小值为3.所以k0,且a1)是“半保值函数”,则t的取值范围为()A. B.C. D.解析函数f(x)loga(axt2)(a1时,zaxt2在R上递增,ylogaz在(0,)上递增,可得f(x)为R上的增函数;当0a0,则u2ut20有两个不相等的正实根.得14t20,且t20,0t2,解得t.答案B