1、第6节对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数.知 识 梳 理1.对数的概念如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：alogaNN；logaabb(a0，且a1)
2、.(2)对数的运算性质如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR).(3)换底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1，N0).3.对数函数及其性质(1)概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，).(2)对数函数的图象与性质a10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数4.反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称.常用结论与微点提醒1.换底
3、公式的两个重要结论(1)logab(a0，且a1；b0，且b1).(2)logambnlogab(a0，且a1；b0；m，nR，且m0).2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数ylogax(a0，且a1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函数图象只在第一、四象限.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)log2x22log2x.()(2)函数ylog2(x1)是对数函数.()(3)函数yln 与yln(1x)ln(1x)的定义域相同.()(4)当x1时，若logaxlogbx，则ab.()解析(1)log2x22log2|x|
4、，故(1)错.(2)形如ylogax(a0，且a1)为对数函数，故(2)错.(4)若0b1bc B.acbC.cba D.cab解析0a1，b1.cab.答案D4.(2018全国卷)设alog0.20.3，blog20.3，则()A.abab0 B.abab0C.ab0ab D.ab00，log0.320.0log0.30.41，即00，b0，故abab0，且a1)的图象如图，则下列结论成立的是()A.a1，c1B.a1，0c1C.0a1D.0a1，0c1解析由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0a0，即logac0，所以0c1.答案D6.(2020河北“五个一”名校联盟诊断)已知函数f(
5、x)是定义在R上的奇函数，当x0，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练1】 (1)(2019北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2m1lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k1，2).已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.1010.1(2)(多填题)已知ab1，若logablogba，abba，则a_，b_.解析(1)依题意，m126.7，m21.45，代入所给公式得lg 1.45(26.7)25.25.所以lg
6、25.2510.1，即1010.1.(2)设logb at，则t1，因为t，所以t2，则ab2.又abba，所以b2bbb2，即2bb2，又ab1，解得b2，a4.答案(1)A(2)42考点二对数函数的图象及应用【例2】 (1)(2020南昌调研)已知lg alg b0，则函数f(x)ax与函数g(x)logbx的图象可能是()(2)已知函数f(x)且关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是_.解析(1)由lg alg b0，得ab1.f(x)axbx，因此f(x)bx与g(x)logbx单调性相同.A，B，D中的函数单调性相反，只有C的函数单调性相同.(2)如图，在同
7、一坐标系中分别作出yf(x)与yxa的图象，其中a表示直线yxa在y轴上的截距.由图可知，当a1时，直线yxa与yf(x)只有一个交点.答案(1)C(2)(1，)规律方法1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练2】 (1)若函数f(x)log2(x1)，且abc0，则，的大小关系是()A. B.C. D.(2)当x(1，2)时，不等式(x1)2bc时，.(2)由题意，易知a1.如图，在同一坐标系内作出y(x1)2，x(1，2)及
8、ylogax，x(1，2)的图象.若ylogax过点(2，1)，得loga21，所以a2.根据题意，函数ylogax，x(1，2)的图象恒在y(x1)2，x(1，2)的上方.结合图象，a的取值范围是(1，2.答案(1)B(2)C考点三解决与对数函数性质有关的问题多维探究角度1比较大小【例31】 (1)已知alog23log2，blog29log2，clog32，则a，b，c的大小关系是()A.abc C.abbc(2)(2019天津卷)已知alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则a，b，c的大小关系为()A.acb B.abcC.bca D.ca1，blog29log2log23
9、a，clog32c.(2)因为ylog5x是增函数，所以alog52log0.50.51.因为y0.5x是减函数，所以0.50.51c0.50.20.501，即0.5c1.所以ac2的解集为()A.(2，) B.(2，)C.(，) D.(，)(2)已知函数f(x)loga(8ax)(a0，且a1)，若f(x)1在区间1，2上恒成立，则实数a的取值范围是_.解析(1)因为偶函数f(x)在(，0上是减函数，所以f(x)在(0，)上是增函数，又f(1)2，所以不等式f(log2x)2，即|log2x|1，解得0x2.(2)当a1时，f(x)loga(8ax)在1，2上是减函数，由f(x)1在区间1，
10、2上恒成立，则f(x)minf(2)loga(82a)1，且82aa，解得1a.当0a1在区间1，2上恒成立，知f(x)minf(1)loga(8a)1，且82a0.8a0，此时解集为.综上可知，实数a的取值范围是.答案(1)B(2)规律方法形如logaxlogab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a0恒成立.即a恒成立，由于(，0)，故只要a0，则a的取值范围是0，).(3)由已知得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间0，1上的最大值是f(0)log2(1a)，最小值是f(1)log2.由题设得log2(1a)log22，则log2(1a)log2(4
11、a2).解得bc B.bacC.cba D.cab(2)(角度2)设f(x)lg是奇函数，则使f(x)0，且a1)的图象恒过定点(m，n)，且函数g(x)mx22bxn在1，)上单调递减，则实数b的取值范围是_.解析(1)法一因为alog2e1，bln 2(0，1)，cloglog23log2ea1，所以cab.法二loglog23，如图，在同一坐标系中作出函数ylog2x，yln x的图象，由图知cab.(2)由f(x)是奇函数可得a1，f(x)lg，定义域为(1，1).由f(x)0，可得01，1x0，且a1)的图象恒过定点(m，n)，令x21，求得x1，f(x)3，可得函数的图象经过定点(
12、1，3)，m1，n3.函数g(x)mx22bxnx22bx3，在1，)上单调递减，1，即b1，所以实数b的取值范围为1，).答案(1)D(2)(1，0)(3)1，)赢得高分基本初等函数的应用“瓶颈题”突破以基本初等函数为载体考查函数的应用，常考常新.命题多与函数零点(不等式)、参数的求值交汇，如2017全国卷T15，2018全国卷T9，2019全国卷T11，解题的关键是活用函数的图象与性质，重视导数的工具作用.【典例】 (2020淄博模拟)已知函数f(x)ex，g(x)ln ，对任意aR，存在b(0，)，使f(a)g(b)，则ba的最小值为()A.21 B.e2C.2ln 2 D.2ln 2解
13、析存在b(0，)，使f(a)g(b)，则ealn ，令tealn 0.aln t，b2et，则ba2etln t.设(t)2etln t，则(t)2et(t0).显然(t)在(0，)上是增函数，当t时，0.(t)有唯一零点t.故当t时，(t)取得最小值2ln 2.答案D思维升华1.解题的关键：(1)由f(a)g(b)，引入参数t表示a，b两个量.(2)构造函数，转化为求函数的最值.2.可导函数唯一极值点也是函数的最值点，导数是求解函数最值的工具.【训练】 (2020石家庄一中检测)函数f(x)若互不相等的实数a，b，c满足f(a)f(b)f(c)，则2a2b2c的取值范围是()A.(16，32
14、) B.(18，34)C.(17，35) D.(6，7)解析画出函数f(x)的图象如图所示.不妨设abc，则a0.由f(a)f(b)，得12a2b1，则2a2b2.又f(a)f(b)f(c)，结合图象，得05c1，则4c5.162c32.故182a2b2c34.答案BA级基础巩固一、选择题1.已知函数f(x)则f(2log23)的值为()A.24 B.16 C.12 D.8解析因为32log234，所以f(2log23)f(3log23)23log2382log2324.答案A2.(2020湖南长郡中学联考)已知实数a2ln 2，b22ln 2，c(ln 2)2，则a，b，c的大小关系是()A
15、.cba B.acbC.bac D.cab解析由于0ln 22，c(ln 2)2(0，1).因此bac.答案D3.若函数f(x)axax(a0且a1)在R上为减函数，则函数yloga(|x|1)的图象可能是()解析由f(x)在R上是减函数，知0a1时，yloga(x1)的图象由ylogax的图象向右平移一个单位得到.因此选项D正确.答案D4.(2020西安联考)若函数f(x)|x|x3，则f(lg 2)ff(lg 5)f()A.2 B.4 C.6 D.8解析由于f(x)|x|x3，得f(x)f(x)2|x|.又lg lg 2，lg lg 5.所以原式2|lg 2|2|lg 5|2(lg 2lg
16、 5)2.答案A5.若函数f(x)loga(a0，且a1)在区间内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为()A.(0，) B.(2，)C.(1，) D.解析令Mx2x，当x时，M(1，)，恒有f(x)0，所以a1，所以函数ylogaM为增函数，又M，因为M的单调递增区间为.又x2x0，所以x0或x，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，).答案A二、填空题6.(2020肇庆统考)已知23log4x27，则x的值为_.解析23log4x2log2xx，又2733(32)9，所以x9，所以x9.答案97.(2019全国卷)已知f(x)是奇函数，且当x0，x1时，由1log2x2，解得x，所以x
17、1.综上可知，x0.答案0，)三、解答题9.已知函数f(x)log2(a为常数)是奇函数.(1)求a的值与函数f(x)的定义域；(2)若当x(1，)时，f(x)log2(x1)m恒成立，求实数m的取值范围.解(1)因为函数f(x)log2是奇函数，所以f(x)f(x)，所以log2log2，即log2log2，所以a1，f(x)log2，令0，解得x1，所以函数的定义域为x|x1.(2)f(x)log2(x1)log2(1x)，当x1时，x12，所以log2(1x)log221.因为x(1，)时，f(x)log2(x1)m恒成立，所以m1，所以m的取值范围是(，1.10.已知函数f(x)是定义
18、在R上的偶函数，且f(0)0，当x0时，f(x)logx.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)2.解(1)当x0，则f(x)log(x).因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)log(x)，所以函数f(x)的解析式为f(x)(2)因为f(4)log42，f(x)是偶函数，且f(0)02，所以不等式f(x21)2转化为f(|x21|)f(4).又因为函数f(x)在(0，)上是减函数，所以|x21|4，解得x0，且a1)的图象可能是()解析若a1，则y单调递减，A，B，D不符合，且yloga过定点，C项不符合，因此0a1.当0a1时，函数yax的图象过定点(0，1)，在
19、R上单调递减，于是函数y的图象过定点(0，1)，在R上单调递增，函数yloga的图象过定点，在上单调递减.因此， 选项D中的两个图象符合.答案D12.(2017全国卷)设x，y，z为正数，且2x3y5z，则()A.2x3y5z B.5z2x3yC.3y5z2x D.3y2x1.则xlog2t，同理，y，z.2x3y0，2x3y.又2x5z0，2x5z，3y2x5z.答案D13.设实数a，b是关于x的方程|lg x|c的两个不同实数根，且ab10，则abc的取值范围是_.解析由题意知，如图，在(0，10)上，函数y|lg x|的图象和直线yc有两个不同交点，所以ab1，0ckg(x)恒成立，求实
20、数k的取值范围.解(1)h(x)(42log2x)log2x22(log2x1)2因为x1，4，所以log2x0，2，故函数h(x)的值域为0，2.(2)由f(x2)f()kg(x)，得(34log2x)(3log2x)klog2x，令tlog2x，因为x1，4，所以tlog2x0，2，所以(34t)(3t)kt对一切t0，2恒成立，当t0时，kR；当t(0，2时，k恒成立，即k4t15，因为4t12，当且仅当4t，即t时取等号，所以4t15的最小值为3.所以k0，且a1)是“半保值函数”，则t的取值范围为()A. B.C. D.解析函数f(x)loga(axt2)(a1时，zaxt2在R上递增，ylogaz在(0，)上递增，可得f(x)为R上的增函数；当0a0，则u2ut20有两个不相等的正实根.得14t20，且t20，0t2，解得t.答案B