1、曲线与方程 211&212 曲线与方程 求曲线的方程预习课本 P3436，思考并完成以下问题1曲线的方程、方程的曲线的定义分别是什么？2求曲线方程的一般步骤是什么？新知初探1曲线的方程、方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线 C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)0 的实数解建立了如下的关系：曲线上点的坐标都是；以这个方程的解为坐标的点都是那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线这个方程的解曲线上的点2求曲线的方程的步骤小试身手1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)过点 P(x0，y0)斜率为 k 的直线的方程是yy0 xy0
2、k()(2)若点 P(x0，y0)在曲线 C 上，则有 f(x0，y0)0()(3)以 A(0,1)，B(1,0)，C(1,0)为顶点的ABC 的 BC 边上中线的方程是 x0()答案：(1)(2)(3)2下列各组方程中表示相同曲线的是()Ax2y0 与 xy0 B xy0 与 x2y20Cyx 与 yx2xDxy0 与 ylg 10 x答案：D答案：B4若点 P(2，3)在曲线 x2ky21 上，则实数 k_答案：133动点 P 到点(1，2)的距离为 3，则动点 P 的轨迹方程为()A(x1)2(y2)29 B(x1)2(y2)29C(x1)2(y2)23D(x1)2(y2)23曲线的方程
3、与方程的曲线的概念典例 分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线与方程|x|2 之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于 5 的点与方程 xy5 之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程 xy0 之间的关系解(1)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线上的点的坐标都是方程|x|2 的解；但以方程|x|2 的解为坐标的点不一定都在过点 A(2,0)且平行于 y 轴的直线上因此，|x|2 不是过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线的方程(2)与两坐标轴的距离的积等于 5 的点的坐标不一定满足方程 xy5；但以方程 xy5 的解为坐标的点与两
4、坐标轴的距离之积一定等于 5因此，与两坐标轴的距离的积等于 5 的点的轨迹方程不是 xy5(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足 xy0；反之，以方程 xy0 的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是 xy0这类题目主要是考查“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则活学活用命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)0 的解”是真命题，下列命题中正确的是()A方程 f(x，y)0 的曲线是 CB方
5、程 f(x，y)0 的曲线不一定是 CCf(x，y)0 是曲线 C 的方程D以方程 f(x，y)0 的解为坐标的点都在曲线 C 上解析：选 B“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)0 的解”，但“以方程 f(x，y)0 的解为坐标的点”不一定在曲线 C 上，故 A、C、D 都不正确，B 正确曲线与方程的判定问题典例 下列方程分别表示什么曲线：(1)(xy1)x10；(2)2x2y24x2y30解(1)由方程(xy1)x10 可得x10，xy10 或x10，x10，即 xy10(x1)或 x1故方程表示一条射线 xy10(x1)和一条直线 x1(2)对方程左边配方得 2(x1)2(y1)
6、202(x1)20，(y1)20，2x120，y120，解得x1，y1.从而方程表示的图形是一个点(1，1)判断方程表示什么曲线，常需对方程进行变形，如配方、因式分解或利用符号法则、基本常识转化为熟悉的形式，然后根据化简后的特点判断特别注意，方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线另外，当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想已知方程 x2(y1)210(1)判断点 P(1，2)，Q(2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点 Mm2，m 在此方程表示的曲线上，求 m 的值活学活用解：(1)12(21)210，(2)2(31)2610，点 P 在方程 x2(
7、y1)210 表示的曲线上，点 Q 不在方程 x2(y1)210 表示的曲线上(2)因为 xm2，ym 适合方程 x2(y1)210，即m22(m1)210，解得 m2 或 m185 所以 m 的值为 2 或185 典例 已知圆 C：x2(y3)29，过原点作圆 C 的弦 OP，求 OP 的中点 Q 的轨迹方程求曲线的方程解 法一 直接法如图所示，连接 QC，因为 Q 是 OP 的中点，所以OQC90设 Q(x，y)，由题意，得|OQ|2|QC|2|OC|2，即 x2y2x2(y3)29，所以 OP 的中点 Q 的轨迹方程为 x2y32294(去掉原点)法二 定义法如图所示，因为 Q 是 OP
8、 的中点，所以OQC90，则 Q 在以 OC 为直径的圆上故 Q 点的轨迹方程为 x2y32294(去掉原点)法三 代入法设 P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意得xx12，yy12，即x12x，y12y，又因为 x21(y13)29，所以 4x24y3229，即 x2y32294(去掉原点)直接法、定义法、代入法是求轨迹方程(或轨迹)的常用方法，对于此类问题，在解题过程中，最容易出错的环节是求轨迹方程中自变量的取值范围，一定要慎重分析和高度重视 过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1，l2，若 l1 交 x 轴于 A 点，l2 交 y 轴于 B 点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方
9、程活学活用解：法一：设点 M 的坐标为(x，y)M 为线段 AB 的中点A 点坐标是(2x,0)，B 点坐标是(0,2y)l1，l2 均过点 P(2,4)，且 l1l2，PAPB，当 x1 时，kPAkPB1而 kPA 4022x 21x，kPB42y20 2y1，21x2y1 1，整理，得 x2y50(x1)当 x1 时，A，B 点的坐标分别为(2,0)，(0,4)，线段 AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程 x2y50，综上所述，点 M 的轨迹方程是 x2y50法二：设 M 的坐标为(x，y)，则 A，B 两点坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接 PMl1l2，2|PM|AB|而|PM|x22y42，|AB|2x22y2，2 x22y424x24y2化简，得 x2y50，即为所求轨迹方程 “多练提能熟生巧”见“课时跟踪检测(六)”(单击进入电子文档)