1、 基础知识 一、函数的表示方法 1函数常用的表示方法有、2函数的解析式就是用和把数和表示数的字母连结而成的式子解析法图象法列表法数学运算符号括号 二、函数的定义域 1函数的定义域是 2根据函数解析式求函数定义域的依据有分式的分母；偶次方根的被开方数；对数函数的真数必须；指数函数和对数函数的底数必须；三角函数中的正切函数ytanx(xR，且xk，kZ)，余切函数ycotx(xR，xk，kZ)等；0的0次幂没有意义x0指使函数有意义的自变量的取值范围不得为0不得小于0大于0大于0且不等于1(x0)3已知f(x)的定义域是a，b，求fg(x)的定义域，是指满足的x的取值范围；已知fg(x)的定义域是
2、a，b指的是x求f(x)的定义域，是指在xa，b的条件下，求g(x)的 4实际问题或几何问题给出的函数的定义域：这类问题除要考虑函数解析式外，还应考虑使实际问题或几何问题ag(x)ba，b值域有意义有意义 5如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都实数集合 6求定义域的一般步骤：(1)；(2)；(3)有意义的写出函数式有意义的不等式(组)解不等式(组)写出函数的定义域 三、区间的概念名称符号对应集合数轴表示 答案：闭区间 a，b x|axb 开区间(a，b)x|axb 半闭半开区间 a，b)x|axb 半开半闭区间(a，b x|ab 易错知识 一、定义域应用失误
3、1若函数y的定义域是一切实数，则k的取值范围是_ 答案：0k 二、对复合函数的定义域不理解而失误 2设函数f(x)的定义域是2,1，则函数f()的定义域是_ 答案：，)3设函数f(2x)的定义域是1,1，则f(log2x)的定义域是_ 答案：，4 三、用换元法求函数解析式时未重视“新元”的范围是否变化而失误 4已知f(1)x2 ，则f(x)_.答案：x21(x1)5已知f()，则f(x)_.答案：回归教材 1下列用图表给出的函数关系中，当x6时，对应的函数值y等于()A.2 B3 C4 D无法确定 解析：当5x10时，y3，x6时，y3.答案：Bx0 x11x55x10 x0y1234 2(教
4、材P97例1改编题)函数y的定义域是()A(0，)B(0,1)C(1，)D(，1)解析：由x1.答案：C 3图中的图象所表示的函数的解析式为()Ay|x1|(0 x2)By|x1|(0 x2)Cy|x1|(0 x2)Dy1|x1|(0 x2)答案：A 4已知f(x)的定义域为1,2，则f(2x)的定义域为_ 答案：0,1 5(教材P566题改编)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分析计价该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量(单位千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.
5、56850及以下的部分0.288超过50至200的部分0.598超过50至200的部分0.318超过200的部分0.668超过200的部分0.388 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为_(元)(用数字作答)解析：高峰时段电费a500.568(20050)0.598118.1(元)低谷时段电费b500.288(10050)0.31830.3(元)故该家庭本月应付的电费为ab148.4(元)答案：148.4【例1】求下面函数的定义域：解析(1)由得 函数的定义域为(，2)(2，11,2)(2，)(2)由得 函数的定
6、义域为(，)(，)(，)(3)由得 函数的定义域为 5，)(，)(，5 反思归纳(1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是基本代数式的意义，如分式的分母不等于零、偶次根式的被开方数为非负数、零指数幂的底数不为零、对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义等(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值(2009福建，2)下列函数中，与函数y有相同定义域的是()Af(x)lnx Bf(x)Cf(x)|x|Df(x)ex 答案：A 解析：y的定义域为(0，)故选A.(2009江西，2)函数y的定义域为()A(4，1
7、)B(4,1)C(1,1)D(1,1 答案：C 解析：定义域1x1，故选C.【例2】(2006湖北高考)设f(x)lg ，则f()f()的定义域为()A(4,0)(0,4)B(4，1)(1,4)C(2，1)(1,2)D(4，2)(2,4)命题意图 本题主要考查复合函数的定义域的求法 解析 解法一：f(x)lg 的定义域为x|2x2，则要使f()f()有意义，只需，解得：4x1或1x4，因此f()f()的定义域为(4，1)(1,4)解法二：f()f()lg lg (x0)x1不适合，排除A，x2适合，排除C、D，故选B.答案 B 2008江西，3)若函数yf(x)的定义域是0,2，则函数g(x)
8、的定义域是()A0,1 B0,1)C0,1)(1,4 D(0,1)答案：B 解析：f(x)的定义域是0,2，g(x)的定义域需.0 x1.【例3】(1)已知f(x)x3，求f(x)；(2)已知f(1)lgx，求f(x)；(3)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)；(4)已知f(x)满足2f(x)f()3x，求f(x)思路点拨(1)可用配凑法；(2)用换元法；(3)已知是一次函数，可用待定系数法；(4)用方程组法 解析(1)f(x)(x)33(x)，f(x)x33x，x(，22，)(2)令1t，则x，f(t)lg ，f(x)lg (x1)(3)设f(x)ax
9、b，a0，则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2baxb5a2x17，a2，b7，f(x)2x7.(4)2f(x)f()3x，把中的x换成，得 2f()f(x)，2得3f(x)6x，f(x)2x，x(，0)(0，)点评 求函数的解析式应根据不同的题意，寻求不同的方法换元法求解析式时，要注意换元后变量范围应保持一致例如：已知f(cosx)cosx，求f(x)，可求得f(x)x，但此处应有|x|1.方程组法求解析式的实质是用了对称的思想，一般来说，当自变量互为相反数，互为倒数或是函数具有奇偶性时，均可用此法 温馨提示 在用换元法与整体代换法求函数的解析式时，容易在最后确定函数解析式的
10、定义域时出现错误，因此在引入“元”时要注意引入“元”的范围，即确定定义域 已知f(x)是定义在6,6上的奇函数，它在0,3上是一次函数，在3,6上是二次函数，且当x3,6时，f(x)f(5)3，f(6)2，求f(x)的解析式 解析：x3,6时，yf(x)是二次函数，f(6)2且f(x)f(5)3，当x5时，二次函数有最大值3，当x3,6时可设f(x)a(x5)23，由f(6)2，a32，得a1，当x3,6时，f(x)(x5)23，则f(3)1，由yf(x)为奇函数，f(0)0 当x0,3时，yf(x)为一次函数，由f(0)0，f(3)1，得f(x)x，由yf(x)为奇函数 当x3,0时，f(x
11、)f(x)x.当x6，3时，f(x)f(x)(x5)23 f(x)【例4】某商场促销饮料，规定一次购买一箱在原价48元的基础上打9折，一次购买两箱可打8.5折，一次购买三箱可打8折，一次购买三箱以上均可享受7.5折的优惠若此饮料只整箱销售且每人每次限购10箱，试用解析法写出顾客购买的箱数x与每箱所支付的费用y之间的函数关系，并画出其图象 思路点拨 明确x、y的含义，用分段函数来表示y与x的函数关系式 解析 当x1时，y480.9；当x2时，y480.85；当x3时，y480.8；当3x10，xN时，y480.75.即y 图象如图所示：方法技巧(1)建立函数模型应充分理解函数y与x的对应关系，解
12、答本题应注意：y与购买数量有关且y是每箱的价格，并非购买x箱所支付的总费用(2)在解决实际问题时，一定要注意所涉及函数的定义域 甲、乙两地相距150千米，某货车从甲地运送货物到乙地，以每小时50千米的速度行驶，到达乙地后将货物卸下用了1小时，然后以每小时60千米的速度返回甲地从货车离开甲地起到货车返回甲地为止，设货车离开甲地的时间和距离分别为x小时和y千米，试写出y与x的函数关系式 思路点拨：根据已知条件列出等式，这个含有x、y的方程就是所求的函数，这是一个分段函数，要注意距离与时间的变化关系 解析：由题意，可知货车从甲地前往乙地用了3小时，而从乙地返回甲地用了2.5小时(1)当货车从甲地前往
13、乙地时，由题意，可知y50 x(0 x3)；(2)当货车卸货时，y150(3x4)；(3)当货车从乙地返回甲地时，由题意，知y15060(x4)(4x6.5)所以y 1求函数的解析式一般有四种情况(1)根据某实际问题需建立一种函数关系式，这种情况需引入合适的变量，根据数学的有关知识找出函数关系式(2)已知函数类型，求函数解析式时，可用待定系数法，比如函数是二次函数，可设为f(x)ax2bxc(a0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可(3)换元法求解析式，形如f(h(x)g(x)，求f(x)的问题，往往可设h(x)t，从中解出x，代入g(x)进行换元来解(4)解方程组法，已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f(x)，f()等，必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)2求函数定义域的常见题型及求法(1)已知函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可(2)已知函数f(x)的定义域，求函数f(g(x)的定义域，此时f(x)的定义域即为g(x)的值域(3)涉及实际问题的定义域问题需考虑问题的实际意义(4)当解析式中含有参数时，需对参数进行讨论 3定义域问题经常作为基本条件出现在试题中，具有一定的隐蔽性所以在解决函数问题时，必须树立起“定义域优先”的观点，以先分析定义域来帮助解决问题
