1、惠州市2015届高三第三次调研考试 数 学 试 题 （文科） 2015.1 【试卷综述】试题紧扣教材，内容全面，题型设计合理、规范，体现了新课程数学教学的目标和要求，能较全面的考查学生对数学思想方法的应用及数学知识的掌握情况。本试题知识点覆盖面广，重视基本概念、基础知识、基本技能的考察，同时也考查了逻辑思维能力，运算能力、空间想象能力以及运用所学数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。难度、区分度都很好，以基础题为主，但又穿插有一定梯度和灵活性的题目，总体而言，通过这次模拟考试，能够起到查漏补缺，发现薄弱章节，便于调整复习的作用.【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每
2、小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项.【题文】1若集合则集合（ ）A B C D【知识点】并集及其运算 B4【答案】【解析】A 解析：直接可得,故选A【思路点拨】根据集合A与B，求出两集合的并集即可【题文】2已知0a2，复数(i是虚数单位)，则的取值范围是（ ）A B(1,5) C(1,3) D【知识点】复数求模 B4【答案】【解析】D 解析：，而，即，故选D .【思路点拨】先求出，然后借助于0a2求出其取值范围即可.【题文】3函数的定义域为（ ）A B C D【知识点】函数的定义域.B4【答案】【解析】C 解析：函数式若有意义需满足条件： 取交集可得：，故选
3、C .【思路点拨】根据题意列出不等式组，然后解之即可.【题文】4等差数列的前项和为，且，则公差等于（ ）A1 B C D3【知识点】等差数列的性质；等差数列的前n项和.B4【答案】【解析】C 解析：等差数列中，由，且得，则，故选C .【思路点拨】先利用求出，再结合其通项公式可结果.【题文】5已知，则“”是“”成立的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【知识点】充要条件B4【答案】【解析】A 解析：因为，所以，则“”是“”的充分而不必要条件。先解出，再进行判断即可。故选A .【思路点拨】对两个命题进行双向判断即可.【题文】6圆与圆的位置关系为（ ）A内切
4、 B相交 C外切 D相离【知识点】圆与圆的位置关系B4【答案】【解析】B 解析：通过求出两圆心的距离为：5，即，因此选B .【思路点拨】先求出两圆的圆心之间的距离，然后利用做出判断即可.【题文】7下列命题正确的是（ ）A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【知识点】线面平行的性质定理；面面平行的判定定理；面面平行的性质定理.B4【答案】【解析】C 解析：若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也
5、可能为异面直线，也可能相交，所以A错；两平面相交时也可以有三个点到另一个平面的距离相等，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.【思路点拨】借助于线面平行的性质定理、面面平行的判定定理、面面平行的性质定理依次作出判断。【题文】8设变量满足约束条件,则的最大值为（ ） A B C D【知识点】简单的线性规划B4【答案】【解析】B 解析：目标函数可以变形为，则表示为可行域内的点和原点连线的直线的斜率，由图可知：当其经过点时，直线的斜率最大，即有最大值为，故选B .【思路点拨】首先画出变量满足约束条件的线性区域，结合目标函数的几何意义，进而判断出其经过点时，
6、直线的斜率最大，最后代入点坐标求出最大值。【题文】9右图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为（ ）A72 B36 C24 D12【知识点】由三视图求面积、体积 B4【答案】【解析】D 解析：本题的直观图是一个三棱锥.由三视图知底面三角形的高为3，底边长为6，则底面三角形的面积为，由侧视图知有一条侧棱与底面垂直，三棱锥的高为4，直接代公式可求体积，故选D .【思路点拨】通过三视图，判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可【题文】10已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意两个实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）A B C D【知识点】函数的奇偶性与单调性B4【答案】【解析】
7、D 解析：函数是定义在上的奇函数，则关于原点对称，由函数的图像向左平移一个单位得到函数的图像，则函数的图像关于点对称；又对于任意的满足不等式可知，函数在上单调递增，结合图像可知得，则，故选D【思路点拨】对于任意两个实数，不等式恒成立，可得函数f（x）在R上单调递增由函数f（x-1）是定义在R上的奇函数，可得f（-1）=0，即可解出【题文】二、填空题：（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分20分）【题文】（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答【题文】11已知向量，且，则实数_【知识点】平面向量数量积的运算 B4【答案】【解析】0 解析：，且，解之可得x=
8、0故答案为0.【思路点拨】利用向量垂直与数量积的关系即可得出【题文】12在中，内角对边的边长分别是，若，则_【知识点】正弦定理B4【答案】【解析】 解析：根据正弦定理可得解得，又因为，则，故B为锐角，所以，故答案为.【思路点拨】由正弦定理列出关系式，将a，b，sinA的值代入求出sinB的值，再利用同角三角函数间基本关系求出cosB的值即可【题文】13是平面内不共线的三点，点在该平面内且有，现将一粒黄豆随机撒在内，则这粒黄豆落在内的概率为_【知识点】几何概型 B4【答案】【解析】 解析：由，则点是边的三等分点（靠近点），得长度关系，且与的高相等，则：，所以所求概率为.【思路点拨】先由，判定点P
9、的位置，然后长度关系，两三角形的高相等得到两三角形面积的关系，最后根据几何概型的概率公式解之即可【题文】（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。【题文】14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为_【知识点】简单曲线的极坐标方程 B4【答案】【解析】 解析：直线的直角坐标方程为，圆的直角坐标方程为，因为圆心（0,0）到直线的距离d=2,半径r=4，所以截得的弦长为.【思路点拨】先利用三角函数的和角公式展开直线的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，进行代换即得直角坐标方程，最后利用直角坐标中直线与圆的关系求出截得的
10、弦长即可【题文】15（几何证明选做题）如图，已知内接于圆，点在的延长线上，切圆于，若,则的长为_【知识点】三角形中的几何计算 B4【答案】【解析】 解析：OA=OC，且，AOC是等边三角形，OA=AC=2，OAD=90，D=30，AD=AO=故答案为：【思路点拨】根据已知可得AOC是等边三角形，从而得到OA=AC=2，则可以利用勾股定理求得AD的长【题文】三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤【题文】16.（本小题满分12分）已知向量.令，（1）求的最小正周期；（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的值.【知识点】的图像及性质.B4【答案】【解析】（1）；
11、2）当时，函数取得最小值。 解析：.2分 .4分 5分 （1）由最小正周期公式得： 6分 （2），则7分 令，则，.8分 从而在单调递减，在单调递增 .10分 即当时，函数取得最小值 12分【思路点拨】(1)先利用平方差公式把原式展开，再利用辅助角公式进行化简，（1）由最小正周期公式得结果；（2）借助于三角函数的单调性求出单调区间，同时求出最大值。【题文】17.（本小题满分12分）惠州市某县区共有甲、乙、丙三所高中的高三文科学生共有800人，各学校男、女生人数如右表：已知在三所高中的所有高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为（1）求表中的值；（2）惠州市第三次调研考试后，该县区决定
12、从三所高中的所有高三文科学生中利用随机数表法抽取100人进行成绩统计分析，先将800人按001,002，,800进行编号。如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；（下面摘取了随机数表中第7行至第9行）8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 8392 6301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 4439 1326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931（3）已知，求丙高中学校中的女生比男生人数
13、多的概率。【知识点】随机数表；古典概型B4【答案】【解析】（1）；（2）165,538,629；（3） 解析：（1）由，得，即表中的值为 2分（2）依题意，最先检测的3个人的编号依次为165,538,629； 5分（3）设“丙高中高三文科学生中的女生比男生人数多”的事件为，其中女生男生数记为.由（1）知，则，且， 满足条件的有：（145，155）；（146，154）；（147，153）；（148，152）；（149，151）；（150，150）；（151，149）；（152，148）；（153，147）；（154，146）；（155，145）共11组，且每组出现的可能性相同. 9分其中事件包含
14、的基本事件，即满足的有：（151，149）；（152，148）；（153，147）；（154，146）；（155，145）共5组. 11分丙高中高三文科学生中的女生比男生人数多的概率. 12分【思路点拨】（1）根据比例关系可得结果；（2）根据随机数表的方法即可；（3）设“丙高中高三文科学生中的女生比男生人数多”的事件为，其中女生男生数记为.先找出满足条件的的组数，再找出满足的基本事件的个数，利用古典概型的计算公式即可。【题文】18（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，、分别是，的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若，求三棱锥的体积【知识点】线面平行的判定定理；面面垂直的判定定
15、理；棱锥的体积公式。B4【答案】【解析】（1）见解析（2）见解析（3） 解析：（1）连结， 因为直三棱柱中，四边形是矩形，故点在上，且为的中点在中，因为 E，F分别是，的中点， 故 2分又因平面，平面，所以平面 4分（其它方法参照给分）（2）在直三棱柱中，平面，所以 6分由（1）知，且，则因，故平面 9分 又平面，故平面平面 10分（3） 12分 14【思路点拨】（1）证明EFBC，可得EF平面ABC；（2）证明平面AEF平面AA1B1B，只需证明EF平面ABB1A1；（3）把体积转化可求。【题文】19（本小题满分14分）已知递增等差数列中的是函数的两个零点数列满足，点在直线上，其中是数列的前
16、项和（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前n项和【知识点】等差、等比数列的通项公式；错位相减法求数列的和.B4【答案】【解析】（1）；2） 解析：（1）因为，是函数的两个零点，则 ，解得：或.2分 又等差数列递增，则，所以 .4分因为点在直线上，则。当时，即.5分当时， ，即.6分所以数列为首项为，公比为的等比数列，即.7分(2)由（1）知：且， .8分则 .9分所以 . 10分-得： .12分所以. 或写 . 14分【思路点拨】（1）先解出两个零点，再利用等差、等比数列的通项公式即可；（2）直接使用错位相减法求之即可。【题文】20.（本小题满分14分）已知直线上有一个动点，过点作直线
17、垂直于轴，动点在上，且满足(为坐标原点)，记点的轨迹为（1）求曲线的方程；（2）若直线是曲线的一条切线，当点到直线的距离最短时，求直线的方程【知识点】抛物线的标准方程；直线的一般式方程 B4【答案】【解析】（1）.（2）或. 解析：（1）设点的坐标为,则点的坐标为. , . （或者用向量：，且得出） 当时,得,化简得. 2分当时, 、三点共线，不符合题意，故.曲线的方程为. 4分解法1: 直线与曲线相切,直线的斜率存在. 设直线的方程为, 5分 由 得. 直线与曲线相切, 则 ,即. 直线的方程为 6分 点到直线的距离 7分 8分 9分 . 10分 当且仅当，即时，等号成立.此时. 12分直线
18、的方程为或. 14分 解法2：由，得， 5分 直线与曲线相切, 设切点的坐标为，其中，则直线的方程为：，化简得. 6分点到直线的距离 7分 8分 9分 . 10分 当且仅当，即时，等号成立. 12分直线的方程为或. 14分 解法3：由，得， 5分 直线与曲线相切, 设切点的坐标为，其中，则直线的方程为：，化简得. 6分点到直线的距离 7分 8分 9分 . 10分 当且仅当，即时，等号成立,此时. 12分直线的方程为或. 14分【思路点拨】（1）先设P点坐标，进而得出Q点坐标，再根据，求出曲线方程；（2）设出直线直线l2的方程，然后与曲线方程联立，由于直线l2与曲线C相切，得出二次函数有两个相等
19、实根，求出b，再由点到直线距离公式表示出d，根据基本不等式，即可得到直线方程【题文】21(本小题满分14分)已知函数的导函数（1）若，不等式恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程；（3）设函数，求时的最小值【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的单调区间。B4【答案】【解析】（1）；（2）见解析；（3） 解析：(1)因为，所以， 1分又因为，知所以在时恒成立，因为， 2分所以 3分 因为，所以，所以，则或 4分当时，所以或； 5分当时，或，所以或或； 6分当时，所以或 7分因为，若，则时，所以，从而的最小值为； 9分若，则时，所以，当时，的最小值为，当时，的最小值为，当时，的最小值为 11分若，则时，当时，最小值为；当时，最小值为因为，所以最小值为 13分综上所述， 14分【思路点拨】（1）利用已知条件把原不等式转化为在时恒成立，再解a的范围即可；（2）由，得到，所以，则或再对a分类讨论即可；（3）先由，得到再分类讨论。
