1、数学 第二课时 求空间角与距离 数学 考点专项突破 解题规范夯实 数学 考点专项突破 在讲练中理解知识 考点一 向量法求异面直线所成的角【例 1】(2016沈阳高三一轮质量监测)在直三棱柱 ABC A1B1C1中,若 BCAC,BAC=3,AC=4,点 M 为 AA1的中点,点 P 为 BM 的中点,Q 在线段 CA1上,且A1Q=3QC,则异面直线 PQ 与 AC 所成角的正弦值为 .数学 解析:由题意,以 C 为原点,以 AC 边所在直线为 x 轴,以 BC 边所在直线为 y 轴,以 CC1边所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系,如图所示.设棱柱的高为 a,由BAC=3,AC=4,得 BC
2、=43,所以 A(4,0,0),B(0,43,0),C(0,0,0),A1(4,0,a),B1(0,43,a),C1(0,0,a),M(4,0,2a),P(2,23,4a),Q(1,0,4a).所以 QP=(1,23,0),CA=(4,0,0).设异面直线 QP 与 CA 所成的角为,所以|cos|=|QP CAQPCA=|1 42 300 0|134=1313.所以 sin=2 3913,因为异面直线所成角的正弦值为正,所以 sin=2 3913即为所求.答案:2 3913 数学 反思归纳 向量法求异面直线所成角的方法(1)选好基底或建立空间直角坐标系;(2)求出两直线的方向向量 v1,v2
3、;(3)代入公式|cos|=1212|vvvv求解.提醒:两异面直线所成角的范围是(0,2,两向量的夹角的范围是0,当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线的夹角.数学【即时训练】(2014 高考新课标全国卷)直三棱柱 ABC A1B1C1中,BCA=90,M,N 分别是 A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为()(A)110(B)25(C)3010 (D)22 解析:建立空间直角坐标系如图,设 BC=CA=CC1=2,则 B(0,2,0),A(2,0,0),N(1,0,2
4、),M(1,1,2),所以 BM=(1,-1,2),AN=(-1,0,2),所以 BM AN=-1+0+4=3,|BM|AN|=6 5=30.所以 cos=|BM ANBMAN=330=3010.故选 C.数学 考点二 向量法求直线与平面所成的角【例 2】(2016 长春高三模拟)如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,DAB=60,PD平面 ABCD,PD=AD=1,点 E,F 分别为 AB和 PD 的中点.(1)求证:直线 AF平面 PEC;(1)证明:作 FMCD 交 PC 于 M,连接 ME.因为点 F 为 PD 的中点,所以 FM=12CD.所以 AE=12AB=F
5、M.所以 AEMF 为平行四边形,所以 AFEM,因为 AF 平面 PEC,EM 平面 PEC,所以直线 AF平面 PEC.数学(2)求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值.(2)解:连接 DE,因为DAB=60,所以 DEDC.如图所示,建立坐标系,则 P(0,0,1),C(0,1,0),E(32,0,0),A(32,-12,0),B(32,12,0),所以 AP=(-32,12,1),AB=(0,1,0).设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z).则 n AB=0,n AP=0,所以310,220,xyzy取 x=1,则 z=32,所以平面 PAB 的一个法向量为 n=(1,0,3
6、2).因为 PC=(0,1,-1),设向量 n 与 PC 所成的角为,所以 cos=|n PCnPC=32724=-4214,所以 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值为4214.数学 反思归纳 直线和平面所成的角的求法 如图所示,设直线 l 的方向向量为 e,平面的法向量为 n,直线 l 与平面所成的角为,两向量 e 与 n 的夹角为,则有 sin =|cos|=|n en e.数学【即时训练】(2016 郑州一检)在三棱柱 ABC A1B1C1中,侧面 ABB1A1为矩形,AB=1,AA1=2,D 为 AA1的中点,BD 与 AB1交于点 O,CO侧面 ABB1A1.(1)证明:BCAB1
7、;(1)证明:由题意 tanABD=ADAB=22,tanAB1B=1ABBB=22,注意到 0ABD,AB1B 2,所以ABD=AB1B,所以ABD+BAB1=AB1B+BAB1=2,所以 AB1BD,又 CO侧面 ABB1A1,所以 AB1CO.又 BD 与 CO 交于点 O,所以 AB1平面 CBD,又 BC 平面 CBD,所以 BCAB1.数学(2)若 OC=OA,求直线 C1D 与平面 ABC 所成角的正弦值.(2)解:如图,以 O 为原点,分别以 OD,OB1,OC 所在的直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系 Oxyz.则 A(0,-33,0),B(-63,0,0),C(0,
8、0,33),B1(0,2 33,0),D(66,0,0),又1CC=2 AD,所以 C1(63,2 33,33).又 AB=(-63,33,0),AC=(0,33,33),1DC=(66,2 33,33).数学 设平面 ABC 的法向量为 n=(x,y,z),则0,0,AB nAC n 即630,33330,33xyyz 令 x=1,可得 n=(1,2,-2)是平面 ABC 的一个法向量,设直线 C1D 与平面 ABC 所成的角为.则 sin=|cos|=11|DCnDCn=3 5555.数学 向量法求二面角的大小(高频考点)考点三 考查角度 1:计算二面角的大小.高考扫描:2014 高考新课
9、标全国卷,2013 高考新课标全国卷,2012 高考新课标全国卷,2011 高考新课标全国卷【例 3】(2014 高考新课标全国卷)如图,三棱柱 ABC A1B1C1中,侧面BB1C1C 为菱形,ABB1C.(1)证明:AC=AB1;数学(1)证明:连接BC1,交B1C于点O,连接AO.因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1CBC1,且 O 为 B1C 及 BC1的中点.又 ABB1C,所以 B1C平面 ABO.由于 AO 平面 ABO,故 B1CAO.又 B1O=CO,故 AC=AB1.数学(2)解:因为 ACAB1,且 O 为 B1C 的中点,所以 AO=CO.又因为 AB=BC,所以BOA
10、BOC.故 OAOB,从而 OA,OB,OB1两两互相垂直.以 O 为坐标原点,OB 的方向为 x 轴正方向,|OB|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz,因为CBB1=60,所以CBB1为等边三角形,又 AB=BC,则 A(0,0,33),B(1,0,0),B1(0,33,0),C(0,-33,0),1AB=(0,33,-33),11A B=AB=(1,0,-33),11BC=BC=(-1,-33,0).设 n=(x,y,z)是平面 AA1B1的法向量,则1110,0,n ABn A B 即330,3330,3yzxz 所以可取 n=(1,3,3),设 m 是平面 A1B1C1的
11、法向量,则11110,0.m A Bn B C 同理可取 m=(1,-3,3),则 cos=|n mn m=17,所以二面角 A A1B1 C1的余弦值为 17.(2)若ACAB1,CBB1=60,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值.数学 反思归纳 利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.数学 考查角度 2:
12、已知二面角的大小求长度(或体积).高考扫描:2014 高考新课标全国卷【例 4】如图,在长方体 ABCD A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E 为 CD 中点.(1)求证:B1EAD1;数学(1)证明:以 A 为原点,AB,AD,1AA 的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设 AB=a,则 A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(2a,1,0),B1(a,0,1),故1AD=(0,1,1),1B E=(-2a,1,-1),1AB=(a,0,1),AE=(2a,1,0).因为1AD 1B E=-2a 0+11+(-1)1=0,所以 B1
13、EAD1.数学(2)在棱 AA1上是否存在一点P,使得 DP平面 B1AE?若存在,求 AP 的长;若不存在,说明理由;解:(2)假设在棱 AA1上存在一点 P(0,0,z0)(0z01),使得 DP平面 B1AE.此时 DP=(0,-1,z0).设平面 B1AE 的法向量 n=(x,y,z),因为 n平面 B1AE,所以 n1AB,n AE,得0,0.2axzaxy取 x=1,得平面 B1AE 的一个法向量 n=(1,-2a,-a).要使 DP平面 B1AE,只要 n DP,有2a-az0=0,解得 z0=12.即 AP=12.数学(3)若二面角 A B1E A1的大小为 30,求 AB 的
14、长.解:(3)连接 A1D,B1C,由长方体 ABCD A1B1C1D1及 AA1=AD=1,得 AD1A1D.因为 B1CA1D,所以 AD1B1C.又由(1)知 B1EAD1,且 B1CB1E=B1,所以 AD1平面 DCB1A1,所以1AD 是平面 A1B1E 的一个法向量,此时1AD=(0,1,1).设1AD 与 n 所成的角为,则 cos=11|n ADnAD=2222 14aaaa.因为二面角 A B1E A1的大小为 30,所以|cos|=cos 30,即23252 14aa=32,解得 a=2,即 AB 的长为 2.数学 反思归纳 已知二面角求长度(或体积)的方法 建立恰当的空
15、间直角坐标系,将两平面的法向量用与待求相关的参数(字母)表示,利用两向量的夹角公式构建方程或不等式或函数,进而求解.数学【例 5】(2015 南阳高三适应性监测)如图 M 是棱长为 2 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 DD1的中点.(1)证明:AC1CD1;考点四 向量法计算空间距离(1)证明:以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系如图.则 D(0,0,0),A(2,0,0),A1(2,0,2),C(0,2,0),C1(0,2,2),D1(0,0,2),M(0,0,1).则1AC=(-2,2,2),1CD=(0,-2,2),所以1AC
16、 1CD=-20+2(-2)+22=0.所以1AC 1CD,即 AC1CD1.数学(2)解:AM=(-2,0,1),1AC=(-2,2,2),1MA=(2,0,1).设 n=(x,y,z)是平面 AC1M 的法向量,则 n AM,n1AC,所以10,0,n AMn AC 即20,2220,xzxyz 令 x=1,则 y=-1,z=2,所以 n=(1,-1,2).则 A1点到平面 AC1M 的距离为 d=|1|MA nn|=46=4 66=2 63.(2)求A1到平面AC1M的距离.数学 反思归纳 (1)空间中两点间的距离的求法 两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模.因此,要求两点间的距离除
17、了使用距离公式外,还可转化为求向量的模.(2)求点 P 到平面的距离的三个步骤:在平面内取一点 A,确定向量 PA 的坐标;确定平面的法向量n.代入公式 d=|PA nn求解.数学【即时训练】(2016 孝感模拟)如图,BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形,平面 MCD平面 BCD,AB平面 BCD,AB=23,则点 A 到平面 MBC 的距离为 .解析:设 CD 的中点 E,连接 ME,BE,因为MCD 是正三角形,所以 MECD.又因为平面 MCD平面 BCD,ME 平面 MCD.平面 MCD平面 BCD=CD.所以 ME平面 BCD.数学 因为BCD 是正三角形,所以 BECD,
18、以 E 点为坐标原点,ED,EB,EM 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系如图.则 E(0,0,0),M(0,0,3),C(-1,0,0),B(0,3,0),A(0,3,23).所以 MA=(0,3,3),BM=(0,-3,3),CM=(1,0,3),设 n=(x,y,z)是平面 MBC 的法向量,则 n BM,nCM,所以 n BM=0,n CM=0,所以330,30,yzxz 令 z=1,则 y=1,x=-3,所以 n=(-3,1,1).所以 A 到平面 MBC 的距离为 d=|MA nn|=2 35=2 155.答案:2 155 数学 备选例题 【例 1】(2015
19、高考重庆卷)如图,三棱锥 P ABC 中,PC平面 ABC,PC=3,ACB=2.D,E分别为线段 AB,BC 上的点,且 CD=DE=2,CE=2EB=2.(1)证明:DE平面 PCD;(1)证明:由 PC平面 ABC,DE 平面 ABC,得 PCDE.由 CE=2,CD=DE=2 得CDE为等腰直角三角形,故 CDDE.由 PCCD=C,DE 垂直于平面 PCD 内两条相交直线,故 DE平面 PCD.数学(2)解:由(1)知,CDE 为等腰直角三角形,DCE=4.如图,过 D 作 DF 垂直 CE 于 F,易知 DF=FC=FE=1,又已知 EB=1,故 FB=2.由ACB=2得 DFAC
20、,DFAC=FBBC=23,故 AC=32DF=32.以 C 为坐标原点,分别以 CA,CB,CP 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则 C(0,0,0),P(0,0,3),A(32,0,0),E(0,2,0),D(1,1,0),ED=(1,-1,0),(2)求二面角A-PD-C的余弦值.数学 DP=(-1,-1,3),DA=(12,-1,0).设平面 PAD 的法向量为 n1=(x1,y1,z1),由 n1 DP=0,n1 DA=0,得2111130,10,2xyzxy 故可取 n1=(2,1,1).由(1)可知 DE平面 PCD,故平面 PCD 的法向量 n2可取
21、为 ED,即 n2=(1,-1,0).从而法向量 n1,n2的夹角的余弦值为 Cos=1212|n nnn=36,故所求二面角 A PD C 的余弦值为36.数学【例 2】如图所示,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,侧棱 PA底面ABCD,AB=3,BC=1,PA=2,E 为 PD 的中点.(1)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值;数学 解:(1)以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在的直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E(0,12,1),从而
22、 AC=(3,1,0),PB=(3,0,-2).设 AC 与 PB 的夹角为,则 cos =|AC PBACPB=32 7=3 714.所以 AC 与 PB 所成角的余弦值为 3 714.数学 解:(2)由于点 N 在平面 PAB 内,故可设点 N 的坐标为(x,0,z),则 NE=(-x,12,1-z).又 AP=(0,0,2),AC=(3,1,0),由 NE平面 PAC,可得0,0,NE APNE AC即1(,1)(0,0,2)0,21(,1)(3,1,0)0.2xzxz 化简,得2(1)0,130,2zx所以3,61.xz 即点 N 的坐标为(36,0,1),从而点 N 到 AB,AP
23、的距离分别为 1,36.(2)在平面PAB内找一点N,使NE平面PAC,并求出点N到直线AB和AP的距离.数学 解题规范夯实 把典型问题的解决程序化 向量法求空间角【典例】(2015 高考新课标全国卷)如图,四边形 ABCD 为菱形,ABC=120,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE平面 ABCD,DF平面 ABCD,BE=2DF,AEEC.(1)证明:平面 AEC平面 AFC;(2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.数学 审题点拨:关键点 所获信息 四边形 ABCD 为菱形,ABC=120 ABC,ADC 为等腰三角形,连接 BD 交 AC 于 G,再利用已知数据得线线垂
24、直 BE平面 ABCD,DF平面 ABCD 由线面垂直得线线垂直 解题突破:首先利用勾股定理得 EGFG,然后得到 EG平面 AFG,进而可得平面 AEC平面 AFC,建立空间直角坐标系,利用向量法求解.数学 满分展示:(1)连接 BD.设 BDAC=G,连接 EG,FG,EF.在菱形 ABCD 中,不妨设 GB=1.由ABC=120,可得 AG=GC=3.由 BE平面 ABCD,AB=BC,可知 AE=EC.又 AEEC,所以 EG=3,且 EGAC.在 RtEBG 中,可得 BE=2,故 DF=22.在 RtFDG 中,可得 FG=62.在直角梯形 BDFE 中,由 BD=2,BE=2,D
25、F=22,可得 EF=3 23.从而 EG2+FG2=EF2,所以 EGFG.又 ACFG=G,可得 EG平面 AFC.因为 EG 平面 AEC,所以平面 AEC平面 AFC.数学(2)如图,以 G 为坐标原点,分别以 GB,GC 的方向为 x 轴,y 轴正方向,|GB|为单位长,建立空间直角坐标系 Gxyz.由(1)可得 A(0,-3,0),E(1,0,2),F(-1,0,22),C(0,3,0),所以AE=(1,3,2),CF=(-1,-3,22).故 cos=|AE CFAE CF=-33.所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为33.数学 答题模板:利用向量求空间角的步骤 第一步:建立空间直角坐标系.第二步:确定点的坐标.第三步:求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标.第四步:计算向量的夹角(或函数值).第五步:将向量夹角转化为所求的空间角.数学 点击进入课时训练点击进入阶段检测试题数学
