1、数学 第2节 函数的单调性与最值 数学 最新考纲 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.数学 知识链条完善 考点专项突破 易混易错辨析 数学 知识链条完善 把散落的知识连起来【教材导读】1.由增减函数的定义,判断并证明一个函数在某一区间上具有单调性的步骤有哪些?提示:取值作差变形判号定论.2.若函数f(x)在区间C和区间D上都是增(减)函数,则函数f(x)在区间CD上是增(减)函数吗?提示:不一定.如 f(x)=1x,在区间(-,0)及(0,+)上都是减函数,但在(-,0)(0,+)上不是减函数,如取 x1=-1,x2=1,x1f(x2)不
2、成立.数学 3.当一个函数的增区间(或减区间)有多个时,能否用“”将函数的单调增区间(减区间)连接起来?提示:不能直接用“”将它们连接起来,例如:函数y=x3-3x的单调增区间有两个:(-,-1)和(1,+),不能写成(-,-1)(1,+).4.函数一定存在值域,那么它一定存在最值吗?提示:对一个函数来说,其值域是确定的,但它不一定有最值,如函数y=x3.如果函数有最值,其最值一定是值域中的一个元素.数学 知识梳理 1.函数的单调性(1)单调函数的定义 增函数 减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为I:如果对于定义域 I内某个区间D 上的任意两个自变量的值 x1,x2 定义 当 x1x2时
3、,都有 ,那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 当 x1x2时,都有 ,那么就说函数 f(x)在区间D 上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是 自左向右看图象是 f(x1)f(x2)上升的 下降的 数学(2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是 或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,叫做函数y=f(x)的单调区间.增函数 区间D 2.函数的最值 前提一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意的xI,都有 ;(2)存在x0I,使得 .(3)对于任意的xI,都有 ;(4)存在x0I,使得 .结论M为最大值M为最小值
4、f(x)M f(x0)=M f(x)M f(x0)=M 数学【重要结论】1.“对勾函数”y=x+ax(a0)的增区间为(-,-a 和a,+);减区间为-a,0)和(0,a,且对勾函数为奇函数.2.设任意 x1,x2a,b,且 x10f(x)在a,b上是增函数;1212f xf xxx0f(x)在a,b上是增函数;(x1-x2)f(x1)-f(x2)0f(x)在a,b上是减函数.3.若函数f(x)在闭区间a,b上是增函数,则f(x)min=f(a),f(x)max=f(b);若函数f(x)在闭区间a,b上是减函数,则f(x)min=f(b),f(x)max=f(a).数学 夯基自测 1.下列函数
5、中,在区间(0,1)上是增函数的是()(A)y=3-x (B)y=1x(C)y=-x2+4(D)y=|x|D 解析:结合函数的图象易知选D.数学 2.函数 y=(2k+1)x+b 在 xR 上是减函数,则 k 的取值范围是()(A)(12,+)(B)(-,12)(C)(-12,+)(D)(-,-12)D 解析:由 2k+10 得 k-12.数学 3.给出下列命题:函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调增区间是(-,0(0,+).若定义在R上的函数f(x),有f(-1)0,则函数f(x)在D上是增函数.闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点处取到.其中正确的是()(A)(B)(C)(
6、D)D 数学 解析:错误.函数的单调递增区间应为(-,0和(0,+).错误.对R上的特殊的-13,有f(-1)0,则x1x2时,f(x1)f(x2);x1x2时,f(x1)0)在 x(-1,1)上的单调性.解:法一(定义法)设-1x1x21,则 f(x1)-f(x2)=1211axx-2221axx=221212 12221211ax xaxax xaxxx=21122212111a xxx xxx.因为-1x1x20,x1x2+10,(21x-1)(22x-1)0.因此当 a0 时,f(x1)-f(x2)0,即 f(x1)f(x2),此时函数 f(x)在(-1,1)上为减函数.数学(教师备用
7、)法二(导数法)f(x)=2222121a xaxx=22211a xx.又 a0,所以 f(x)0)在(0,+)上的单调性.解:法一(定义法)设 x1,x2是任意两个正数,且 0 x1x2,则 f(x1)-f(x2)=(x1+1ax)-(x2+2ax)=1212xxx x(x1x2-a).当 0 x1x2a 时,0 x1x2a,又 x1-x20,即 f(x1)f(x2),所以函数 f(x)在(0,a 上是减函数;当a x1a,又 x1-x20,所以 f(x1)-f(x2)0,即 f(x1)0 得 1-2ax0,即 x2a,解得 xa.由 f(x)0 得 1-2ax0,即 x2a,解得 0 x
8、0,解得 x3 或 x-1.又 u=x2-2x-3 在(3,+)上单调递增,y=12log u 在(0,+)上单调递减,所以函数 f(x)=12log (x2-2x-3)在(3,+)上单调递减.故选 A.数学 反思归纳 求函数单调区间的常见方法:(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,再求单调区间.(2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义求解.(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法:利用导数确定函数的单调区间.数学【即时训练】(1)函数f(x)=|x-2|(x-4)的单调减区间是()(A)
9、1,2(B)-1,0(C)0,2(D)2,3 解析:(1)f(x)=|x-2|(x-4)=2268,2,68,2.xxxxxx 结合函数图象知.当 x2,3时,函数 f(x)递减.故选 D.数学(2)函数 y=223113xx的单调递增区间为()(A)(1,+)(B)(-,34(C)(12,+)(D)34,+)解析：(2)令 u=2x2-3x+1=2(x-34)2-18.u=2(x-34)2-18在(-,34上递减,函数 y=(13)u在 R 上递减.所以 y=223113xx在(-,34上递增.故选 B.数学 函数单调性的应用 考点三 考查角度 1:求函数的值域或最值.【例 3】函数 f(x
10、)=21,1,2,1xxxx的最大值为 .解析:当 x1 时,函数 f(x)=1x为减函数,所以 f(x)在 x=1 处取得最大值,为 f(1)=1;当 x1 时,易知函数 f(x)=-x2+2 在 x=0 处取得最大值,为f(0)=2.故函数 f(x)的最大值为 2.答案:2 数学 反思归纳 利用单调性求最值,一般先确定函数的单调性,然后再由单调性求出最值.数学 考查角度 2:比较函数值的大小.【例 4】已知函数 f(x)=log2x+11x,若 x1(1,2),x2(2,+),则()(A)f(x1)0,f(x2)0(B)f(x1)0(C)f(x1)0,f(x2)0,f(x2)0 解析:因为
11、函数 f(x)=log2x+11x在(1,+)上为增函数,且 f(2)=0,所以当 x1(1,2)时,f(x1)f(2)=0,即 f(x1)0.故选 B.数学 反思归纳 比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性求解.数学 答案:(-1,3)考查角度3:利用函数的单调性解决不等式问题.高考扫描:2014高考新课标全国卷,2015高考新课标全国卷【例5】(2014高考新课标全国卷)已知偶函数f(x)在0,+)上单调递减,f(2)=0.若f(x-1)0,则x的取值范围是 .解析:由题意,得函数f(x)的草图如图所示.因为f(x-1)0,所以|x-1|2,所以-2x-1
12、2,所以-1x3.数学 反思归纳 在求解与抽象函数有关的不等式时,一般是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.数学 考查角度 4:利用函数的单调性求参数值(或范围).【例 6】已知函数 f(x)=314,1,log,1aaxa xx x满足对任意的实数 x1x2都有 1212f xf xxx0 成立,则实数 a 的取值范围为()(A)(0,1)(B)(0,13)(C)17,13)(D)17,1)解析:依题意,函数 f(x)为 R 上的单调递减函数,所以310,01,3114log 1,aaaaa 解得 17a1)的最小值为 .解析：(3)法一
13、 基本不等式法:f(x)=281xx=212191xxx=(x-1)+91x+2 2 911xx+2=8,当且仅当 x-1=91x,即 x=4 时,f(x)min=8.数学(教师备用)法二 导数法:f(x)=2421xxx,令 f(x)=0,得 x=4 或 x=-2(舍去).当 1x4 时,f(x)4 时,f(x)0,f(x)在(4,+)上递增,所以 f(x)在 x=4 处达到最小值,即 f(x)min=f(4)=8.答案：(3)8 数学 反思归纳 求函数最值(值域)的常用方法及适用类型(1)单调性法:易确定单调性的函数,利用单调性法研究函数最值(值域).(2)图象法:能作出图象的函数,用图象
14、法,观察其图象最高点、最低点,求出最值(值域).(3)基本不等式法:分子、分母其中一个为一次,一个为二次的函数结构以及两个变量(如x,y)的函数,一般通过变形使之具 备“一正、二定、三相等”的条件,用基本不等式法求最值(值域).(4)导数法:若f(x)是三次、分式以及含ex,ln x,sin x,cos x结构的函数且f(x)可求,可用导数法求函数的最值(值域).(5)换元法:对解析式较复杂的函数,可通过换元转化为以上类型中的某种,再求解.用换元法时,一定要注意新“元”的范围.数学 备选例题 【例 1】设函数 y=f(x)在(-,+)内有定义,对于给定的正数 k,fk(x)=,.f xf xk
15、k f xk取函数 f(x)=2-|x|,当 k=12时,函数 fk(x)的单调递增区间为()(A)(-,0)(B)(0,+)(C)(-,-1)(D)(1,+)解析:由 f(x)12,得-1x1,由 f(x)12,得 x-1 或 x1.所以12f(x)=2,1,1,11,22,1.xxxxx 其函数图象如图所示.故函数12f (x)的单调递增区间为(-,-1).故选 C.数学【例2】若f(x)为R上的增函数,则满足f(2-m)f(m2)的实数m的取值范围是 .解析:因为f(x)为R上的增函数,且f(2-m)f(m2),所以2-m0,解得m1或m-2,即实数m的取值范围是(-,-2)(1,+).答案:(-,-2)(1,+)数学 易混易错辨析 用心练就一双慧眼 分段函数的单调性问题【典例】(2016 金华模拟)f(x)=,1,42,12xaxa xx是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围是()(A)(1,+)(B)4,8)(C)(4,8)(D)(1,8)数学 解析:因为 f(x)是 R 上的单调递增函数,所以11,40,2412,2aaaa 解得 4a8.故选 B.数学 易错提醒:解答此类题目易忽视在定义域两段区间分界点上的函数值的大小比较而导致实数a的范围扩大.数学 点击进入课时训练数学
