1、高考资源网（） 您身边的高考专家4二次函数性质的再研究4.1二次函数的图像学 习 目 标核 心 素 养1.理解yx2与yax2(a0)，yax2与ya(xh)2k及yax2bxc的图像之间的关系(重点)2掌握a，h，k对二次函数图像的影响(难点、易混点)1通过作不同类型二次函数的图像，研究图像间的关系，培养直观想象素养2通过研究a，h，k对二次函数图像的影响，培养数学运算素养.1函数yx2与函数yax2(a0)的图像间的关系阅读教材P41P42第2自然段结束有关内容，完成下列问题二次函数yax2(a0)的图像可由yx2的图像各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的a倍得到其中a决定了图像的开口方向和
2、在同一直角坐标系中的开口大小思考1：函数y4x2的图像可由yx2的图像上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的4倍得到，还可以通过怎样的变换由yx2的图像得到y4x2的图像？提示因为y4x2(2x)2，所以y4x2的图像可由yx2的图像上各点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到思考2：对于函数yax2(a0)，a越大，其图像开口越小吗？提示不一定小例如函数yx2与yx2的图像的开口大小相同，决定其开口大小的是|a|，|a|越大，开口越小2函数yax2(a0)与函数ya(xh)2k(a0)的图像阅读教材P42第3自然段P44的有关内容，完成下列问题(1)yax2ya(xh)2ya(xh)2k.(2)将
3、二次函数yax2bxc(a0)通过配方化为ya(xh)2k(a0)的形式，然后通过函数yax2(a0)的图像左右、上下平移得到函数yax2bxc(a0)的图像思考3：通过怎样的变换，可以由函数yx2的图像得到y2(x1)2的图像？提示把函数yx2的图像上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y2x2的图像；把函数y2x2的图像向右平移1个单位长度得到y2(x1)2的图像1函数y2x(3x)的图像可能是()B由2x(3x)0得x0或x3，可知图像与x轴的交点为(0,0)，(3,0)，排除A，C.又y2x(3x)2x26x，所以图像开口向下，故排除D，因此选B.2把函数yx2的图像向下平移1个
4、单位长度，将得到的函数图像上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到的函数解析式为()Ay2x21By2x22Cy2x21Dy2x22Byx2yx21y2(x21)2x22.3二次函数y2x2与y2x2的图像开口大小_，开口方向_相同相反由|2|2|，知二者开口大小相同；由20，20，左正右负)；y轴上平移，即把y换成(yh)(h0，下负上正).(2)伸缩变换改变图像的形状.把横坐标变化到原来的(0且1)倍，即把x换成.把纵坐标变化到原来的(0且1)倍，即把y换成.1二次函数yx2bxc的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数yx22x1的图像，则b_，c_.66二次
5、函数yx2bxc的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的函数为y(x2)2b(x2)c3.整理得，yx2(b4)x72bc，又yx22x1，则解得b6，c6.求二次函数的解析式【例2】已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，3)，且过点P(2,0)，求这个函数的解析式思路探究已知二次函数的图像的顶点(1，3)，可设其解析式为ya(x1)23，再利用其图像过点(2,0)求a.解因为二次函数的图像的顶点坐标是(1，3)，所以，可设其解析式为ya(x1)23.又其图像过点P(2,0)，则a(21)230，解得a3.所以，这个函数的解析式为y3(x1)23.1(变条件)已知二次函数的图像
6、与x轴的交点为A(1,0)和B(1,0)，且与y轴的交点为(0，1)，求这个函数的解析式解因为二次函数的图像与x轴的交点为A(1,0)和B(1,0)，所以，可设其解析式为ya(x1)(x1)又其图像与y轴的交点为(0，1)，则a(01)(01)1，解得a1.所以，这个函数的解析式为y(x1)(x1)x21.2(变条件)已知二次函数的图像过点A(1,1)，B(0,2)，C(3,5)，求这个函数的解析式解设这个函数的解析式yax2bxc(a0)，依题意，得所以，这个函数的解析式为yx22x2.用待定系数法求二次函数解析式的设法技巧,求二次函数的解析式，应根据已知条件的特点，灵活地选用解析式的形式，
7、用待定系数法求之.(1)当已知抛物线上任意三点时，通常设所求二次函数为一般式yax2bxc(a，b，c为常数，a0)，然后列出三元一次方程组求解.(2)当已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值时，则设所求二次函数为顶点式ya(xh)2k其顶点是(h，k)，a0.,(3)当已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)时，则设所求二次函数为两点式ya(xx1)(xx2)(a0).二次函数图像的应用探究问题1如何由二次函数的图像解不等式x22x30?提示：画出函数yx22x3的图像：观察图像得，不等式x22x30的解集为(1,3)2如何讨论关于x的方程x22|x|
8、k解的个数提示：令f(x)x22|x|，则f(x)画出函数f(x)的图像因为方程x22|x|k解的个数为函数f(x)的图像与直线yk的交点个数所以，当k0时，方程有两个解；当k0时，方程有三个解；当1k4ac；2ab1；abc0；5a4ac.正确；因为对称轴为直线x1，所以1，即2ab0.错误；结合图像，当x1时，y0，即abc0，错误；因为图像开口向下，所以，a0，所以5a2ab.正确1画二次函数的图像，抓住抛物线的特征“三点一线一开口”“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向2二次函数的
9、图像变换规律(1)左右平移：只改变x，如y2x2y2(x1)2.规律：左加右减(2)上下平移：只改变y，如y2x2y2x21.规律：上加下减(3)纵向伸缩：只改变y，如yx21y2(x21)(4)横向伸缩：只改变x，如yf(x)ax2bxcyabc.1思考辨析(1)二次函数y3x2的开口比yx2的开口要大()(2)要得到y(x2)2的图像，需要将yx2向左平移2个单位长度()(3)要得到y2(x1)2的图像，需将y2(x1)21的图像向上平移1个单位()解析(1)，|a|越大，开口越小；(2)，应向右平移2个单位长度；(3).答案(1)(2)(3)2把函数y2(x1)23的图像向左平移1个单位
10、长度，并把所得到的函数图像上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，所得到的函数的解析式为()Ay(x2)2By(x2)23Cyx2Dyx23Ay2(x1)23y2(x1)1232(x2)23y(x2)2.3已知二次函数yf(x)的图像如图所示，则此函数的解析式为_yx23设ya(x2)(x2)(a0)，因为其图像过点(0,3)，所以，a(02)(02)3，解得，a.所以，此函数的解析式为y(x2)(x2)x23.4已知二次函数yax2bxc(xR)的部分对应值如下表：x3210123y6046640求该函数的解析式解由表可知该函数图像与x轴有两个交点(2,0)，(3,0)，故该函数可设为ya(x2)(x3)又其图像过点(0，6)，则6a6，解得a1.所以，该函数的解析式为y(x2)(x3)x2x6.- 9 - 版权所有高考资源网
